2019-2020年高中數(shù)學 第三章 不等式 第十課時 基本不等式教案（三） 蘇教版必修5 教學目標： 通過這節(jié)課，使學生能夠運用均值不等式定理來討論與不等式有關的各類問題。 教學重點、難點：均值不等式定理的靈活運用。 教學過程： 1．復習回顧 2．例題講解： 例1：已知a>1，0<b<1，求證：log ab＋log ba≤－2 解題思路分析： 　　由對數(shù)函數(shù)可知：log ba＝，log ab＜0，因此由log ab＋的結(jié)構(gòu)特點聯(lián)想到用基本不等式去縮小，但條件顯然不滿足，應利用相反數(shù)的概念去轉(zhuǎn)化。 　　∵log ab＜0 　　∴ －log ab＞0 　∴－log ab＋≥2＝2 　　∴l(xiāng)og ab＋≤－2 　　即log ab＋log ba≤－2 　　當且僅當－log ab＝，log a2b＝1，log ab＝－1時，等號成立，此時ab＝1。 例2：已知x，y為正實數(shù)，且x 2＋＝1，求x的最大值. 解題思路分析： 因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。同時還應化簡中y2前面的系數(shù)為 　　x＝x ＝x 下將x，分別看成兩個因式 x≤＝＝ ∴x＝x ≤ 例3：已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝＋的最值. 解題思路分析： 若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單 　＋ ≤＝＝2 　　否則，這樣思考： 　　條件與結(jié)論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。 　　W＞0，W2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋()2()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 　　∴ W≤＝2 例4：已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值. 解題思路分析： 這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。 法一：a＝，ab＝b＝ 　　　由a＞0得，0＜b＜15 　　　令t＝b＝1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34 ∵t＋≥2＝8 　　　∴ ab≤18 　　　∴ y≥ 　　　當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b 　　　∵ a＋2b≥2 　　　∴ 30－ab≥2 　　　令u＝　　　則u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 　　　∴≤3，ab≤18，y≥ 評注：在法一，通過消元得到一個分式函數(shù)，在分子（或分母）中含有二次式。這種類 型的函數(shù)一般都可轉(zhuǎn)化為x＋型，從而用基本不等式求解。其處理方法，請同學們仔細體會。實際上，一般含二次式的分式函數(shù)y＝（a，b，c，m，n，p不全為零）均可用此方法求解。 例5：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。 解題思路分析： 這是一道應用題，一般說來，涉及到“用料最省”、“造價最低”等實際問題時，考慮建立目標函數(shù)，求目標函數(shù)的最大值或最小值。在建立關于造價的目標函數(shù)時，造價是由池外圈周壁，中間隔墻造價，池底造價三部分組成，造價均與墻壁長度有關，應設相關墻壁長度為未知數(shù)。 　　若設污水池長為x米，則寬為 （米） 水池外圈周壁長：2x＋（米） 　　中間隔墻長：2（米） 　　池底面積：200（米2） 　　目標函數(shù)：y＝400（2x＋2）＋248 2＋80200＝800（x＋）＋1600 　　　　　　　　≥1600＋1600＝44800 3．課堂小結(jié) 注意利用轉(zhuǎn)化思想，不等式使用的廣泛性。 4．課后作業(yè) 1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 2）已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 3）若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。 4）某房屋開發(fā)公司用100萬元購得一塊土地，該地可以建造每層1000m2的樓房，樓 房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費用提高5%。已知建筑5層樓房時，每平方米建筑費用為400元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平方和的平均綜合費用最低（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），公司應把樓層建成幾層？