2019-2020年高中數(shù)學 第2章 推理與證明章末復習提升2 蘇教版選修1-2 1．歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結論不一定為真，有待進一步證明． 2．演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式．也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性． 3．直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學問題時，常把它們結合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法. 題型一　歸納推理和類比推理 歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴格證明．盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用． 運用合情推理時，要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的．在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進行驗證． 例1　觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝________. 答案　123 解析　記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 跟蹤演練1　給出下列三個類比結論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中正確結論的個數(shù)是________． 答案　1 解析　(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，ab≠0)，故①錯誤． sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立． 如α＝30，β＝60，sin90＝1，sin30sin60＝，故②錯誤． 由向量的運算公式知③正確． 題型二　直接證明 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學問題常用的思維方式．如果從解題的切入點的角度細分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構造函數(shù)法等，應用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應當把分析法和綜合法結合起來使用． 例2　已知a>0，求證：－≥a＋－2. 證明　要證－≥a＋－2， 只需證＋2≥a＋＋. ∵a>0，故只需證2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只需證2≥， 只要證4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 跟蹤演練2　 如圖，在四面體B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，求證： (1)直線EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 證明　(1)要證直線EF∥平面ACD， 只需證EF∥AD且EF?平面ACD. 因為E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點， 所以EF是△ABD的中位線， 所以EF∥AD，所以直線EF∥平面ACD. (2)要證平面EFC⊥平面BCD， 只需證BD⊥平面EFC， 只需證因為所以EF⊥BD. 又因為CB＝CD，F(xiàn)為BD的中點， 所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD. 題型三　反證法 如果一個命題的結論難以直接證明時，可以考慮反證法．通過反設結論，經(jīng)過邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結論成立． 反證法是高中數(shù)學的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要．反證法主要證明：否定性、惟一性命題；至多、至少型問題；幾何問題． 例3　已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且0<x<c時，f(x)>0. (1)證明：是函數(shù)f(x)的一個零點； (2)試用反證法證明>c. 證明　(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點， ∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝，∴x2＝(≠c)， ∴是f(x)＝0的一個根． 即是函數(shù)f(x)的一個零點． (2)假設<c，又>0，由0<x<c時，f(x)>0， 知f()>0與f()＝0矛盾，∴≥c， 又∵≠c，∴>c. 跟蹤演練3　若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a，b，c中至少有一個大于0. 證明　假設a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 則a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 這與a＋b＋c≤0矛盾，因此假設不成立， ∴a，b，c中至少有一個大于0. 1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理 (1)歸納推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某屬性，結論：?d∈M，d也具有某屬性． (2)類比推理的基本模式：A具有屬性a，b，c，d；B具有屬性a′，b′，c′；結論：B具有屬性d′.(a，b，c，d與a′，b′，c′，d′相似或相同) 2．使用反證法證明問題時，常見的“結論詞”與“反設詞”列表如下： 原結論詞 反設詞 原結論詞 反設詞 至少有一個 一個也沒有 對所有x成立 存在某個x不成立 至多有一個 至少有兩個 對任意x不成立 存在某個x成立 至少有n個 至多有n－1個 p或q p且q 至多有n個 n＋1個 p且q p或q