2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 第21課時 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課時作業(yè)（含解析）新人教A版必修4 1．若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120，則向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A．－3　　　　B．－2 C．2 D．－1 解析：a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2cos120＝－1，故選D. 答案：D 2.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于(　　) A. B．－ C． D．1 解析：∵(3a＋2b)(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)ab－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0. ∴λ＝，故選A. 答案：A 3．已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4ab＋|b|2＝41－40＋4＝8，∴|2a－b|＝2，故選B. 答案：B 4.在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則ab＋bc＋ca等于(　　) A．－ B．0 C. D．3 解析：ab＝＝－＝－||||cos60＝－.同理bc＝－，ca＝－， ∴ab＋bc＋ca＝－，故選A. 答案：A 5．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 解析：由(2a＋b)b＝0，得2ab＋b2＝0，設(shè)a與b的夾角為θ， ∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0. ∴cosθ＝－＝－＝－， ∴θ＝120，故選C. 答案：C 6.若向量a與b的夾角為60，|b|＝4，(a＋2b)(a－3b)＝－72，則向量a的模為(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：∵ab＝|a||b|cos60＝2|a|， ∴(a＋2b)(a－3b)＝|a|2－6|b|2－ab＝|a|2－2|a|－96＝－72. ∴|a|＝6，故選C. 答案：C 7．已知向量a與b的夾角為120，且|a|＝|b|＝4，那么b(2a＋b)的值為__________． 解析：b(2a＋b)＝2ab＋|b|2＝244cos120＋42＝0. 答案：0 8．給出下列結(jié)論： ①若a≠0，ab＝0，則b＝0；②若ab＝bc，則a＝c；③(ab)c＝a(bc)；④a[b(ac)－c(ab)]＝0. 其中正確結(jié)論的序號是__________． 解析：因為兩個非零向量a、b垂直時，ab＝0，故①不正確；當a＝0，b⊥c時，ab＝bc＝0，但不能得出a＝c，故②不正確；向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故③不正確；④正確，a[b(ac)－c(ab)]＝(ab)(ac)－(ac)(ab)＝0. 答案：④ 9．設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝__________. 解析：∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2ab＝－b2， 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120. 答案：120 10．設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角． 解析：∵|n|＝|m|＝1且m與n夾角是60， ∴mn＝|m||n|cos60＝11＝. |a|＝|2m＋n|＝＝＝＝， |b|＝|2n－3m|＝ ＝ ＝＝， ab＝(2m＋n)(2n－3m) ＝mn－6m2＋2n2 ＝－61＋21＝－. 設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a與b的夾角為. 11．在△ABC中，M是BC的中點，AM＝1，點P在AM上且滿足＝2，則(＋)等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：∵AM＝1，且＝2， ∴||＝. 如圖，(＋)＝2＝＝2＝2＝. 答案：A 12.設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________． 解析：由a＋b＋c＝0，得(a＋b＋c)2＝0，a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0. 又∵(a－b)⊥c，a⊥b，∴(a－b)c＝0，ab＝0， ∴ac＝bc. ∴a2＋b2＋c2＝－4bc，b2＋c2＝－1－4bc.① 由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，故(b＋c)2＝1，即b2＋c2＋2bc＝1.② 由①②得bc＝－1，故a2＋b2＋c2＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：4 13．已知a，b是兩個非零向量，當a＋tb(t∈R)的模取得最小值時， (1)求t的值(用a，b表示)； (2)求證：b與a＋tb垂直． 解析：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2tab＝b22＋a2－.當t＝－時，|a＋tb|取最小值． (2)因為：(a＋tb)b＝ab＋tb2＝ab－b2＝0，所以a＋tb與b垂直． 14．已知a，b均是非零向量，設(shè)a與b的夾角為θ，是否存在這樣的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，請說明理由． 解析：假設(shè)存在滿足條件的θ， ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴(a＋b)2＝3(a－b)2. ∴|a|2＋2ab＋|b|2＝3(|a|2－2ab＋|b|2)． ∴|a|2－4ab＋|b|2＝0. ∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0. ∴ 解得cosθ∈. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故當θ∈時， |a＋b|＝|a－b|成立． 15. (1)已知向量a、b、c滿足a＋b＋c＝0，且|a|＝5，|b|＝7，|c|＝10，求a、b的夾角的余弦值； (2)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為60，若a＋λb與λa＋b的夾角為銳角，求實數(shù)λ的取值范圍． 解析：(1)由a＋b＋c＝0知，a＋b＝－c， ∴|a＋b|＝|c|，(a＋b)2＝c2， 即a2＋2ab＋b2＝c2. ∴ab＝＝＝＝13. 則cos〈a，b〉＝＝.故a、b的夾角的余弦值為. (2)由題意可得ab＝|a||b|cos60＝23＝3. 又(a＋λb)(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)ab＋λb2， 而a＋λb與λa＋b的夾角為銳角， ∴λa2＋(λ2＋1)ab＋λb2＞0， 而a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，ab＝3， ∴3λ2＋13λ＋3＞0， 解得λ＞或λ＜. 但是當λ＝1時，a＋λb與λa＋b共線，其夾角不為銳角． 故λ的取值范圍是∪∪(1，＋∞).