全等三角形提高練習(xí)及答案 1. 如圖所示，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù)。 2. 如圖，△AOB中，∠B=30°，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°，得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點(diǎn)C（A′不在OB上），則∠A′CO的度數(shù)為多少？ 3. 如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是多少？ 4. 如圖所示，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點(diǎn)D，若∠A′DC=90°，則∠A= 5. 已知，如圖所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，則AD是多少？ 6. 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過(guò)點(diǎn)B、C作過(guò)點(diǎn)A的垂線BC、CE，垂足分別為D、E，若BD=3，CE=2，則DE= 7. 如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，交AD于G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。 8. 如圖所示，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的長(zhǎng)。 9. 已知，如圖：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求證：AF⊥CD 10. 如圖，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點(diǎn)H，則BH與AC相等嗎？為什么？ 11. 如圖所示，已知，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BE⊥AC 12. △DAC、△EBC均是等邊三角形，AF、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，求證：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）△CMN為等邊三角形 （4）MN∥BC 13. 已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F （1） 求證：AN=BM （2） 求證：△CEF為等邊三角形 1. 如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等邊三角形；⑥FG∥AD，其中正確的有（ ） A．3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè) 2. 已知：BD、CE是△ABC的高，點(diǎn)F在BD上，BF=AC，點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線上，CG=AB，求證：AG⊥AF 3. 如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG 求證：（1）AD=AG （2）AD與AG的位置關(guān)系如何 17．如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠DAE=∠FAE 求證：AF=AD-CF 18．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB，求證：AC=BE+BC 19．如圖所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF 20．已知如圖：AB=DE，直線AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求證：CF=CD 21．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F(xiàn)是OC上一點(diǎn)，連接DF和EF，求證：DF=EF 22．已知：如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，且BD=CD，求證：（1）△BDE≌△CDF （2） 點(diǎn)D在∠A的平分線上 23．如圖，已知AB∥CD，O是∠ACD與∠BAC的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離是多少？ 24．如圖，過(guò)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN，按下列要求畫圖并回答： 畫∠MAB、∠NBA的平分線交于E （1）∠AEB是什么角？ （2）過(guò)點(diǎn)E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？ （3）無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD誰(shuí)成立？并說(shuō)明理由。 25．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？ 26．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，則S△BEF為多少？ 27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于E，求證：BC垂直且平分DE 28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE （2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE （3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系。 1 解：∵△ABC≌△AED ∴∠D=∠B=50° ∵∠ACB=105° ∴∠ACE=75° ∵∠CAD=10° ∠ACE=75° ∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） 同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35° 2 根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得∠B′=∠B，因?yàn)椤鰽OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°，所以∠BOB′=52°，而∠A'CO是△B′OC的外角，所以∠A′CO=∠B′+∠BOB′，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解． 解答：解：∵△A′OB′是由△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∠B=30°， ∴∠B′=∠B=30°， ∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°， ∴∠BOB′=52°， ∵∠A′CO是△B′OC的外角， ∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°． 故選D． 3 全等三角形的性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理． 分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠DEC、∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可． 解答：解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC， ∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC， ∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°， ∴∠DEC=90°，∠EDC=60°， ∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC， =180°-90°-60°=30°． 4分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得知∠ACA′=35°，從而求得∠A′的度數(shù)，又因?yàn)椤螦的對(duì)應(yīng)角是∠A′，即可求出∠A的度數(shù)． 解答：解：∵三角形△ABC繞著點(diǎn)C時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△AB′C′ ∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90° ∴∠A′=55°， ∵∠A的對(duì)應(yīng)角是∠A′，即∠A=∠A′， ∴∠A=55°； 故答案為：55°． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì)；圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)．其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．解題的關(guān)鍵是正確確定對(duì)應(yīng)角． 5因?yàn)锳B=AC 三角形ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50 BC=50-2AB=2(25-AB) 又因?yàn)锳D垂直于BC于D，所以 BC=2BD BD=25-AB AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40 AD=40-25=15cm 6 解：∵BD⊥DE，CE⊥DE ∴∠D=∠E ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE ∵在△ABD與△CAE中 {∠ABD=∠CAE ∠D=∠E AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE ∵DE=AD+AE ∴DE=BD+CE ∵BD=3，CE=2 ∴DE=5 7證明：∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠EAD＝∠FAD 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED＝∠AFD＝90° 邊AD公共 ∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS） ∴AE＝AF 即△AEF為等腰三角形 而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線 ∴AD⊥底邊EF （等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”） 8 AD平分∠BAC，則∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠DFA=90度，AD=AD 所以△AED≌△AFD DE=DF S△ABC=S△AED+S△AFD 28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE) DE=2 9AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD 則△ABC≌△AED AC=AD △ACD是等腰三角形 ∠CAF=∠DAF AF平分∠CAD 則AF⊥CD 10 解：∵AD⊥BC ∴∠ADB＝∠ADC＝90 ∴∠CAD+∠C＝90 ∵BE⊥AC ∴∠BEC＝∠ADB＝90 ∴∠CBE+∠C＝90 ∴∠CAD＝∠CBE ∵AD＝BD ∴△BDH≌△ADC （ASA） ∴BH＝AC 11 解：（1）證明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定義）， ∴∠1＋∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）. 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）. ∴∠2=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）. ∵∠1＋∠2=90°（已證），所以∠1＋∠C=90°. ∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）， ∴∠BEC=90°. ∴BE⊥AC（垂直定義）； 12 證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形， ∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴AE=BD （2）由（1）可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN． ∵△DAC、△EBC均是等邊三角形， ∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°． 又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上， ∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°， 即∠DCN=60°． ∴∠ACM=∠DCN． 在△ACM和△DCN中， ∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN ∴△ACM≌△DCN（ASA）． ∴CM=CN． (3)由（2）可知CM=CN,∠DCN=60° ∴△CMN為等邊三角形 (4)由(3)知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60° ∴∠CMN+∠MCB=180° ∴MN//BC 13分析：（1）由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△CAN≌△MCB，結(jié)論得證； （2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形． 解答：證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°， 在△CAN和△MCB中， AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC， ∴△CAN≌△MCB（SAS）， ∴AN=BM． （2）∵△CAN≌△CMB， ∴∠CAN=∠CMB， 又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°， ∴∠MCF=∠ACE， 在△CAE和△CMF中， ∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF， ∴△CAE≌△CMF（ASA）， ∴CE=CF， ∴△CEF為等腰三角形， 又∵∠ECF=60°， ∴△CEF為等邊三角形． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問(wèn)題，能夠掌握并熟練運(yùn)用． 14考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 分析：由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進(jìn)而可得出結(jié)論． 解答：解：∵△ABC與△BDE為等邊三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠CBD， 即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD ∴△ABE≌△CBD， ∴AE=CD，∠BDC=∠AEB， 又∵∠DBG=∠FBE=60°， ∴△BGD≌△BFE， ∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°， ∴△BFG是等邊三角形， ∴FG∥AD， ∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°， ∴△ABF≌△CGB， ∴∠BAF=∠BCG， ∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°， ∴∠AHC=60°， ∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°， ∴B、G、H、F四點(diǎn)共圓， ∵FB=GB， ∴∠FHB=∠GHB， ∴BH平分∠GHF， ∴題中①②③④⑤⑥都正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握． 15考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：仔細(xì)分析題意，若能證明△ABF≌△GCA，則可得AG=AF．在△ABF和△GCA中，有BF=AC、CG=AB這兩組邊相等，這兩組邊的夾角是∠ABD和∠ACG，從已知條件中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中， ∠G+∠GAE=90°，而∠G=∠BAF，則可得出∠GAF=90°，即AG⊥AF． 解答：解：AG=AF，AG⊥AF． ∵BD、CE分別是△ABC的邊AC，AB上的高． ∴∠ADB=∠AEC=90° ∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB， ∴∠ABD=∠ACG 在△ABF和△GCA中 BF=AC ∠ABD=∠ACG AB=CG ． ∴△ABF≌△GCA（SAS） ∴AG=AF ∠G=∠BAF 又∠G+∠GAE=90度． ∴∠BAF+∠GAE=90度． ∴∠GAF=90° ∴AG⊥AF． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；要求學(xué)生利用全等三角形的判定條件及等量關(guān)系靈活解題，考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解和掌握，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，范圍較廣． 16 1、證明： ∵BE⊥AC ∴∠AEB＝90 ∴∠ABE+∠BAC＝90 ∵CF⊥AB ∴∠AFC＝∠AFG＝90 ∴∠ACF+∠BAC＝90，∠G+∠BAG＝90 ∴∠ABE＝∠ACF ∵BD＝AC，CG＝AB ∴△ABD≌△GCA （SAS） ∴AG＝AD 2、AG⊥AD 證明 ∵△ABD≌△GCA ∴∠BAD＝∠G ∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90 ∴AG⊥AD 17過(guò)E做EG⊥AF于G，連接EF ∵ABCD是正方形 ∴∠D=∠C=90° AD=DC ∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF ∴DE=EG AD=AG ∵E是DC的中點(diǎn) ∴DE=EC=EG ∵EF=EF ∴Rt△EFG≌Rt△ECF ∴GF=CF ∴AF=AG+GF=AD+CF 18因?yàn)椋航荅DB=60°DE=DB 所以：△EDB是等邊三角形，DE=DB=EB 過(guò)A作BC的垂線交BC于F 因?yàn)椋骸鰽BC是等腰三角形 所以：BF=CF，2BF=BC 又：角DAF=30° 所以：AD=2DF 又：DF=DB+BF 所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】 （AE+ED）=2DB+BC，其中ED=DB 所以：AE=DB+BC，AE=BE+BC 19補(bǔ)充：B是FD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)； ED=DF（角平分線到兩邊上的距離相等）； BD=CD； 角EDB=FDC（對(duì)頂角）； 則三角形EDB全等CDF；則BE=CF； 或者補(bǔ)充：B在AE邊上； ED=DF（角平分線到兩邊上的距離相等）； DB=DC 則兩直角三角形EDB全等CDF（HL） 即BE=CF 20解：∵AF//DE ∴∠D=∠AFC ∵∠B＋∠D=180°,，∠AFC＋∠AFB=180° ∴∠B=∠AFB ∴AB=AF=DE △AFC和△EDC中： ∠B=∠AFB,∠ACF=∠ECD(對(duì)頂角）,AF=DE ∴△AFC≌△EDC ∴CF=CD 21 證明：∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB，PD⊥AO， ∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°， ∴∠DPF=∠EPF， 在△DPF和△EPF中 PD=PE ∠DPF=∠EPF PF=PF （SAS）， ∴△DPF≌△EPF ∴DF=EF． 22 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題：證明題． 分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得△BED≌△CFD； （2）連接AD．利用（1）中的△BED≌△CFD，推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊ED=FD．因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以點(diǎn)D在∠A的平分線上． 解答：證明：（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，∠BDE=∠CDF（對(duì)頂角相等）， ∴∠B=∠C（等角的余角相等）； 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∠B=∠C BD=CD(已知) ∠BDE=∠CDF ， ∴△BED≌△CFD（ASA）； （2）連接AD． 由（1）知，△BED≌△CFD， ∴ED=FD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）， ∴AD是∠EAF的角平分線，即點(diǎn)D在∠A的平分線上． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．常用的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，HL等，做題時(shí)需靈活運(yùn)用． 23考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)． 分析：要求二者的距離，首先要作出二者的距離，過(guò)點(diǎn)O作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，OE=OF=OG，即可求得AB與CD之間的距離． 解答：解：過(guò)點(diǎn)O作FG⊥AB， ∵AB∥CD， ∴∠BFG+∠FGD=180°， ∵∠BFG=90°， ∴∠FGD=90°， ∴FG⊥CD， ∴FG就是AB與CD之間的距離． ∵O為∠BAC，∠ACD平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC交AC于E， ∴OE=OF=OG（角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊距離相等）， ∴AB與CD之間的距離等于2?OE=4． 故答案為：4． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關(guān)鍵． 24考點(diǎn)：梯形中位線定理；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)． 專題：作圖題；探究型． 分析：（1）由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及角平分線的性質(zhì)不難得出∠1+∠3=90°，再由三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結(jié)論； （2）過(guò)E點(diǎn)作輔助線EF使其平行于AM，由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進(jìn)一步求出邊之間的關(guān)系； （3）由（2）中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，AD+BC的值總為一定值． 解答：解：（1）∵AM∥BN， ∴∠MAB+∠ABN=180°， 又AE，BE分別為∠MAB、∠NBA的平分線， ∴∠1+∠3= 1 2 （∠MAB+∠ABN）=90°， ∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°， 即∠AEB為直角； （2）過(guò)E點(diǎn)作輔助線EF使其平行于AM，如圖則EF∥AD∥BC， ∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2， ∵∠3=∠4，∠1=∠2， ∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1， ∴AF=FE=FB， ∴F為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD∥BC， 根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點(diǎn)， ∴ED=EC； （3）由（2）中結(jié)論可知，無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E， 總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB． 點(diǎn)評(píng)：本題是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索．對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求． 25 如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　?。? A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)． 專題：數(shù)形結(jié)合． 分析：利用角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個(gè)三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4． 解答：解：利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了角平分線上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時(shí)應(yīng)用了三個(gè)三角形的高時(shí)相等的，這點(diǎn)式非常重要的． 26解： 正方形ABCD ∵AB＝BC，AO＝BO＝CO，∠ABC＝∠AOB＝∠COB＝90，∠ABO＝∠BCO＝45 ∴∠BOF+∠COF＝90 ∵∠EOF＝90 ∴∠BOF+∠BOE＝90 ∴∠COF＝∠BOE ∴△BOE≌△COF （ASA） ∴BE＝CF ∵CF＝4 ∴BE＝4 ∵AE＝3 ∴AB＝AE+BE＝3+4＝7 ∴BF＝BC-CF＝7-4＝3 ∴S△BEF＝BE×BF/2＝4×3/2＝6 27考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題：證明題． 分析：證明出△DBP≌△EBP，即可證明BC垂直且平分DE． 解答：證明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°， ∴∠DAH=∠DCA， ∵∠BAC=90°，BE∥AC， ∴∠CAD=∠ABE=90°． 又∵AB=CA， ∴在△ABE與△CAD中， ∠DAH=∠DCA ∠CAD=∠ABE AB=AC ∴△ABE≌△CAD（ASA）， ∴AD=BE， 又∵AD=BD， ∴BD=BE， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC， 故∠ABC=45°． ∵BE∥AC， ∴∠EBD=90°，∠EBF=90°-45°=45°， ∴△DBP≌△EBP（SAS）， ∴DP=EP， 即可得出BC垂直且平分DE． 點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為證明出△DBP≌△EBP．通過(guò)利用圖中所給信息，證明出兩三角形相似， 而證明相似可以通過(guò)證明角相等和線段相等來(lái)實(shí)現(xiàn)． 28 1）證明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）證明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE； （3）DE=BE-AD．證明的方法與（2）相同已贊同9| 評(píng)論(2)