第1章　統(tǒng)計(jì)案例 §1.1　獨(dú)立性檢驗(yàn) 課時(shí)目標(biāo)1.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.2.體會(huì)由實(shí)際問(wèn)題建模的過(guò)程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法． 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)：用______________研究?jī)蓚€(gè)對(duì)象是否有關(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 2．對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B，Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)： Ⅱ 合計(jì) 類1 類2 Ⅰ 類A a b a＋b 類B c d c＋d 合計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 則χ2的計(jì)算公式是________________． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)提出假設(shè)H0：兩個(gè)研究對(duì)象沒(méi)有關(guān)系；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值；(3)查對(duì)臨界值，作出判斷． 一、填空題 1．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 8 25 33 總計(jì) b 46 則表中a、b處的值分別為________，________. 2．為了檢驗(yàn)兩個(gè)事件A，B是否相關(guān)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得χ2＝8.283，則說(shuō)明事件A和事件B________(填“相關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)． 3．為了考察高一年級(jí)學(xué)生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取了300名，得到如下2×2列聯(lián)表．判斷學(xué)生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)________(填“有”或“無(wú)” - 2 - / 10 )關(guān)系. 喜歡 不喜歡 合計(jì) 男 37 85 122 女 35 143 178 合計(jì) 72 228 300 4．為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2＝99.9，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法正確的是________(只填序號(hào))． ①有99.9%的人認(rèn)為該欄目?jī)?yōu)秀； ②有99.9%的人認(rèn)為欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系； ③有99.9%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系； ④以上說(shuō)法都不對(duì)． 5．某班班主任對(duì)全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．從表中數(shù)據(jù)分析，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度之間有關(guān)系的把握有________. 積極參加 班級(jí)工作 不太主動(dòng)參加班級(jí)工作 合計(jì) 學(xué)習(xí)積極性高 18 7 25 學(xué)習(xí)積極性一般 6 19 25 合計(jì) 24 26 50 6．給出下列實(shí)際問(wèn)題： ①一種藥物對(duì)某種病的治愈率；②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)別；③吸煙者得肺病的概率；④吸煙人群是否與性別有關(guān)系；⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系．其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)題有______． 7．下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) ①對(duì)事件A與B的檢驗(yàn)無(wú)關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響； ②事件A與B關(guān)系越密切，χ2就越大； ③χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的唯一數(shù)據(jù)； ④若判定兩事件A與B有關(guān)，則A發(fā)生B一定發(fā)生． 8．某市政府在調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時(shí)，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)法抽查了3 000人，計(jì)算發(fā)現(xiàn)χ2＝6.023，根據(jù)這一數(shù)據(jù)查表，市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游愿望有關(guān)系，這一斷言犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)____________________________________________________． 二、解答題 9．在對(duì)人們休閑的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表； (2)檢驗(yàn)性別與休閑方式是否有關(guān)系． 10．有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)品分為一等品和二等品．為了考察這兩個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量的水平是否一致，從甲、乙兩個(gè)工廠中分別隨機(jī)地抽出產(chǎn)品109件，191件，其中甲工廠一等品58件，二等品51件，乙工廠一等品70件，二等品121件． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立2×2列聯(lián)表； (2)試分析甲、乙兩個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量有無(wú)顯著差別(可靠性不低于99%) 能力提升 11．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說(shuō)法： ①若χ2的觀測(cè)值k>6.635，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??； ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺?。? ③從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤． 其中說(shuō)法正確的是________． 12．下表是對(duì)某市8所中學(xué)學(xué)生是否吸煙進(jìn)行調(diào)查所得的結(jié)果： 吸煙學(xué)生 不吸煙學(xué)生 父母中至少有一人吸煙 816 3 203 父母均不吸煙 188 1 168 (1)在父母至少有一人吸煙的學(xué)生中，估計(jì)吸煙學(xué)生所占的百分比是多少？ (2)在父母均不吸煙的學(xué)生中，估計(jì)吸煙學(xué)生所占的百分比是多少？ (3)學(xué)生的吸煙習(xí)慣和父母是否吸煙有關(guān)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． (4)有多大的把握認(rèn)為學(xué)生的吸煙習(xí)慣和父母是否吸煙有關(guān)？ 1．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認(rèn)兩個(gè)變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量 χ2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理． 2．在解題時(shí)，可以根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，然后參考臨界值對(duì)兩個(gè)變量是否獨(dú)立做出判斷． 第1章　統(tǒng)計(jì)案例 §1.1　獨(dú)立性檢驗(yàn) 答案 知識(shí)梳理 1．χ2統(tǒng)計(jì)量 2．χ2＝ 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．52　60 解析　由列聯(lián)表知，a＝73－21＝52， b＝a＋8＝52＋8＝60. 2．相關(guān) 3．有 解析　由列聯(lián)表可得χ2＝4.514>3.841， ∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)． 4．③ 5．99.9% 解析　χ2＝ ≈11.5>10.828. 6．②④⑤ 7．② 解析　對(duì)于①，事件A與B的檢驗(yàn)無(wú)關(guān)，只是說(shuō)兩事件的相關(guān)性較小，并不一定兩事件互不影響，故①錯(cuò)．②是正確的．對(duì)于③，判斷A與B是否相關(guān)的方式很多，可以用列聯(lián)表，也可以借助于概率運(yùn)算，故③錯(cuò)．對(duì)于④，兩事件A與B有關(guān)，說(shuō)明兩者同時(shí)發(fā)生的可能性相對(duì)來(lái)說(shuō)較大，但并不是A發(fā)生B一定發(fā)生，故④錯(cuò)． 8．0.025 9．解　(1)2×2的列聯(lián)表： 休閑方式 性別 看電視 運(yùn)動(dòng) 合計(jì) 女 43 27 70 男 21 33 54 合計(jì) 64 60 124 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到 χ2＝≈6.201. 因?yàn)棣?>5.024，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)系． 10．解　(1) 甲工廠 乙工廠 合計(jì) 一等品 58 70 128 二等品 51 121 172 合計(jì) 109 191 300 (2)提出假設(shè)H0：甲、乙兩個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)顯著差別． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得 χ2＝ ≈7.781 4>6.635. 因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，P(χ2>6.635)≈0.01，所以我們有99%以上的把握認(rèn)為甲、乙兩個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量有顯著差別． 11．③ 解析　χ2是檢驗(yàn)吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無(wú)關(guān)的概率，故說(shuō)法 ①不正確；說(shuō)法②中對(duì)“確定容許推斷犯錯(cuò)誤概率的上界”理解錯(cuò)誤；說(shuō)法③正確． 12．解　(1)×100%≈20.3%. (2)×100%≈13.86%. (3)有關(guān)，因?yàn)楦改肝鼰熍c不吸煙，其子女吸煙的比例有較大的差異． (4)提出假設(shè)H0：學(xué)生的吸煙習(xí)慣和父母是否吸煙無(wú)關(guān)． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得 χ2≈27.677>10.828. 因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，P(χ2>10.828)≈0.001，所以我們有99.9%以上的把握認(rèn)為學(xué)生的吸煙習(xí)慣和父母是否吸煙有關(guān)． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！