2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《全等三角形》專(zhuān)項(xiàng)提優(yōu)訓(xùn)練100題 一、單選題 1．如圖，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于點(diǎn)G，連接AF，給出下列結(jié)論：①AE⊥BF； ②AE＝BF； ③BG＝ 43GE； ④S四邊形CEGF＝S△ABG，其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．如圖，矩形 OABC 的頂點(diǎn) B、C 在反比例函數(shù) y=kx(x>0) 的圖象上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (6，?3) 則 k 的 值為（　?。? A．-18 B．8 C．9 D．18 3．如圖所示，已知：AB =DE，∠1＝∠2，下列條件中能使△ABC≌△DEF的是（　?。? A．AF＝CD B．ED＝BC C．AB＝EF D．∠E＝∠B 4．如圖：等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（　?。? A．45° B．55° C．60° D．75° 5．如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周長(zhǎng)為100 cm，A，B分別與D，E對(duì)應(yīng)，AB＝30 cm，DF＝25 cm，則BC的長(zhǎng)為（　　） A．45 cm B．55 cm C．30 cm D．25 cm 6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放于點(diǎn)A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點(diǎn)F，與CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，四邊形AECF的面積是（　?。? A．16 B．12 C．8 D．4 7．?dāng)?shù)學(xué)課上，探究角的平分線(xiàn)的作法時(shí)，小宇用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線(xiàn)，方法如下： 如圖，⑴以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA 于點(diǎn)M，交OB 于點(diǎn)N； ⑵分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于 12MN 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C； ⑶畫(huà)射線(xiàn)OC．射線(xiàn)OC即為所求． 其中的道理是，作出△OMC≌△ONC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到∠AOC=∠BOC，進(jìn)而得到OC是∠AOB的平分線(xiàn)． 其中，△OMC≌△ONC的依據(jù)是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 8．如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)，B，E在同一直線(xiàn)上，∠C＝∠DFE＝90°，添加下列條件，仍不能判定△ACB與△DFE全等的是（　?。? A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，CF＝BE C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E 9．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD═70°，AB的垂直平分線(xiàn)交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（　?。? A．60° B．65° C．70° D．75° 10．如圖是用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線(xiàn)的示意圖，則說(shuō)明∠CAD=∠DAB的依據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 11．如圖，尺規(guī)作圖，作∠AOB的平分線(xiàn)方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于12CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 12．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，AF⊥BD于點(diǎn)F．CE⊥BD于點(diǎn)E．連接AE，CF．若DE＝BF，則下列結(jié)論： ①CF＝AE； ②OE＝OF； ③四邊形ABCD是平行四邊形； ④圖中共有四對(duì)全等三角形． 其中正確結(jié)論有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 13．如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 的中點(diǎn)，將 ΔABE 折疊后得到 ΔAFE ，點(diǎn) F 在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng) AF 交 CD 于點(diǎn) H ，若 AD=4 ， CH=43 ，則折痕 AE 的長(zhǎng)為（　?。? A．13 B．22 C．3 D．23 14．如圖，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一個(gè)條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF，這個(gè)條件是（　?。? A．∠A=∠D B．BE=CF C．∠ACB=∠DFE=90° D．∠B=∠DEF 15．如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需從下列條件中增加一個(gè)，錯(cuò)誤的選法是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．DB＝DC 16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF=20°，則∠AED的度數(shù)為（　?。? A．45° B．60° C．65° D．70° 17．如圖，在△ABC中，高AD和BE交于點(diǎn)F，添加下列哪個(gè)條件（　?。荒苁沟谩鰽DC≌△BDF. A．BF=AC B．CD=FD C．∠BAD=45° D．∠CBE=60° 18．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（　?。? A．95 B．2 C．115 D．125 19．將三個(gè)全等的小正方形按如圖所示擺放在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部，其中M，N，P，Q分別在長(zhǎng)方形的邊AB，BC，CD，DA上，若AB=8，BC=10，則圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（　?。? A．5 B．13 C．412 D．18 20．如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A、E、B、D在同一條直線(xiàn)上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（　?。? A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF 二、填空題 21．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　. 22．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且AD、BE的交于點(diǎn)F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，則線(xiàn)段AF的長(zhǎng)度為　 ?。? 23．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=10，AB=8，點(diǎn)P在邊AD上，且BP=BC，點(diǎn)M在線(xiàn)段BP上，點(diǎn)N在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且PM=CN，連接MN交CP于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CP于E，則EF=　 ?。? 24．如圖，已知 AD=AE ，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得 ΔADC?ΔAEB ，你添加的條件是　 　． 25．已知：如圖， Rt△ABC 中， AC=BC ，D為 BC 上一點(diǎn)， CE⊥AD 于E，若 CE=2 ，則 S△BEC=　 　． 26．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，則△ABC與△DEF的面積比為　 　. 27．如圖，在△ABC與△ADE中，E在BC邊上，AD=AB，AE=AC，DE=BC，若∠1=25°，則∠DAB=　 　°，∠2=　 　°． 28．如圖，小明書(shū)上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫(huà)出一個(gè)與此三角形全等的三角形，他畫(huà)圖依據(jù)的基本事實(shí)是　 ?。? 29．如圖，△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為E，G，F(xiàn)，若AB=8，AC=6，BC=7，則AE=　 ?。? 30．如圖，已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且 AE=CF ，AF、BE相交于點(diǎn)O，則 ∠BOF=　 　°. 31．如圖，兩個(gè)全等的矩形紙片重疊在一起，矩形的長(zhǎng)和寬分別是4和3，則重疊部分的四邊形ABCD中的對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)是　 　． 32．如圖△ABD≌△ACE，則AB的對(duì)應(yīng)邊是　 　，∠BAD的對(duì)應(yīng)角是　 　． 33．如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補(bǔ)充一個(gè)條件　 　 就得△ABC≌△DEF． 34．直線(xiàn) l1 ∥ l2 ∥ l3 ，且 l1 與 l2 的距離為1， l2 與 l3 的距離為3．把一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線(xiàn)上，則△ABC的面積為　 ?。? 35．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則線(xiàn)段BF的長(zhǎng)為　 　. 36．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，若使△AOP≌△BOP，則需添加的一個(gè)條件是　 　 （只寫(xiě)一個(gè)即可，不添加輔助線(xiàn)）． 37．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，若AB=8cm，CF=5cm，則BD=　 　cm． 38．如圖，已知∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_　 　(只寫(xiě)一種情況即可) 39．△ABC 為等邊三角形，點(diǎn)D為 AB 邊上一點(diǎn)，以 CD 為邊做等邊三角形 CDE ，使點(diǎn)E，A在直線(xiàn) CD 的同側(cè)，連接 AE ，則 ∠EAC 的度數(shù)為　 　． 40．如圖，已知長(zhǎng)方形 ABCD 中， AD=6 cm， AB=4 cm，點(diǎn) E 為 AD 的中點(diǎn).若點(diǎn) P 在線(xiàn)段 AB 上以1cm/s的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 BC 上由點(diǎn) B 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng).若 ΔAEP 與 △BPQ 全等，則點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度是　 　cm/s. 三、計(jì)算題 41．如圖，在 RtΔABC 中， ∠BAC=90° ，點(diǎn)D是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)E是 AB 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作 AF//BC 交 DE 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接 BF ． （1）求證：四邊形 ADBF 是菱形； （2）若 DE=3，BF=5 ，求 AB 的長(zhǎng)． 42．如圖，點(diǎn)F、C是AD上的兩點(diǎn)，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求證：△ABC≌△DEF． 43．如圖，AC⊥BD，垂足點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，且AB=CD，求證：AB//CD. 44．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，P是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，記∠BAP=α．將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線(xiàn)段AQ，連接PQ,CQ． （1）求∠ACQ的度數(shù)； （2）若PQ=26，求α． 45．如圖，四邊形 ABCD 中， AB=AD，AC、BD 是對(duì)角線(xiàn)， ∠1=∠2 ． （1）求證： △ABC≌△ADC ； （2）判斷 △BCD 的形狀并說(shuō)明． 46．如圖，AB∥CD，AB＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，∠BAE＝∠DCF，連接AF，EC． （1）求證：AE＝FC； （2）求證：四邊形AECF是平行四邊形． 47．如圖，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求證：BC=DC 48．已知如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，CE=BF；求證：∠A=∠D． 49．如圖①，在四邊形ABCD中，如果對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交且互相垂直，那么我們把這樣的四邊形稱(chēng)為垂角線(xiàn)四邊形． （1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是垂角線(xiàn)四邊形（填寫(xiě)圖形名稱(chēng)） ②若M、N、P、Q分別是垂角線(xiàn)四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線(xiàn)AC、BD還需要滿(mǎn)足______時(shí)，四邊形MNPO是正方形； （2）已知在垂角線(xiàn)四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，則 ①如圖②，當(dāng)AB=AD時(shí)，四邊形ABCD的面積是______； ②如圖③，當(dāng)AB⊥AD時(shí)，求四邊形ABCD的面積； 50．如圖，在等邊△ABC中，AB=AC=BC=8cm，點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N第一次返回到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，M,N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)M的速度是1cm/s，點(diǎn)N的速度是2cm/s．設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts． （1）當(dāng)t為何值時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合？ （2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為等邊三角形？ （3）當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在時(shí)間t，使得△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 四、解答題 51．如圖，做一個(gè)“U”字形框架PABQ，其中AB=42cm，AP、BQ足夠長(zhǎng)，PA⊥AB，QB⊥AB，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比為3：4，當(dāng)M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線(xiàn)AP上取點(diǎn)C，使△ACM與△BMN全等，求此時(shí)線(xiàn)段AC的長(zhǎng)是多少？ 52． 如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形； （2）若BC＝BD，求四邊形BDFC的面積． 53． （1）大學(xué)城第三中學(xué)校為學(xué)生軍訓(xùn)調(diào)配備如圖(1)所示的折疊凳，這樣設(shè)計(jì)的折疊凳坐著舒適、穩(wěn)定.這種設(shè)計(jì)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是　 　. （2）圖(2)是折疊凳撐開(kāi)后的側(cè)面示意圖.(木條等材科寬度忽略不計(jì))，其中凳腿AB和CD的長(zhǎng)度相等，交點(diǎn)O是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠(chǎng)家將撐開(kāi)后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為38cm，則由以上信息可推得CB的長(zhǎng)度是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由. 54．閱讀并填空： 如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是邊AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，E在邊AB上且聯(lián)接DE交BC于O，如果OE=OD，那么CD=BE，為什么？ 解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于F 所以∠ACB=∠EFB（兩直線(xiàn)平行，同位角相等） ∠D=∠OEF ▲ 在△OCD與△OFE中 ∠COD=∠FOE()OD=OE?∠D=∠OEF? 所以△OCD≌△OFE， ▲ 所以CD=FE ▲ 因?yàn)锳B=AC（已知） 所以∠ACB=∠B ▲ 所以∠EFB=∠B（等量代換） 所以BE=FE ▲ 所以CD=BE 55．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AE=BE． （1）求∠B的度數(shù)． （2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面積． 56．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，CP，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP'，連接PP'，BP'． （1）用等式表示BP'與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）當(dāng)∠BPC=120°時(shí)， ①直接寫(xiě)出∠P'BP的度數(shù)為 ▲ ； ②若M為BC的中點(diǎn)，連接PM，用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明． 57．如圖，AD為'△ABC的中線(xiàn)，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，連接EF，∠EAF+∠BAC=180°． （1）若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度數(shù)； （2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=AD，連接BH，求證：∠ABH+∠BAC=180°； （3）在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF和線(xiàn)段AD之間的數(shù)量關(guān)系． 58．如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：如圖2，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE．進(jìn)而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB與∠B的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)結(jié)合小明的思路，寫(xiě)出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論． 59．如圖1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中線(xiàn)，求AD得取值范圍．（提示：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．）請(qǐng)回答： （1）為什么△BED≌△CAD？寫(xiě)出推理過(guò)程； （2）求出AD的取值范圍； 60．如圖，點(diǎn)M.N在線(xiàn)段AC上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．請(qǐng)說(shuō)明△ABN≌△CDM的理由； 61．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作CF//AB交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若∠B=∠ACB，CE=5，CF=7，求DB的長(zhǎng)． 62．如圖所示，直線(xiàn)a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE=8，BF=5，求EF的長(zhǎng)． 63．如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F． （1）求證：BE＝DF； （2）四邊形AECF是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論． 64．如圖，△ADF≌△BCE，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm 求：（1）∠1的度數(shù) （2）AC的長(zhǎng) 65．如圖，△ABC是等邊三角形，P、Q分別是AC、BC上的點(diǎn)，且AP=CQ，AQ與BP交于點(diǎn)M．求∠BMQ的度數(shù)． 66．在校內(nèi)勞動(dòng)課上，小明所在小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的風(fēng)箏框架．已知點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線(xiàn)上，∠B=∠E，AB=DE，BF=EC．若△ABC的周長(zhǎng)為24cm，F(xiàn)C=3cm，則制作該風(fēng)箏框架需用材料的總長(zhǎng)度至少是多少？ 67．如圖，已知△ABC中， ∠ABC=45° ，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，若CD=4，求DF的長(zhǎng). 68．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，并證明． 作法：①以O(shè)為圓心， 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交OA、OB于點(diǎn)M、N ②畫(huà)一條射線(xiàn)O′A′，以O(shè)′為圓心， 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交O′A′于點(diǎn)M′ ③以點(diǎn)M′為圓心， 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與第②步中所畫(huà)弧交于點(diǎn)N′ ④過(guò)點(diǎn)N′畫(huà)射線(xiàn)O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB 證明： 69．如圖， 四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且DA平分∠BDF，AE⊥CD于點(diǎn)E． （1）求證：AB= AC． （2）若BD=11，DE=2，求CD的長(zhǎng)． 70．已知：如圖，在梯形ABCD中，AB=DC=12cm，BC=15cm，∠B=∠C，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，且AE=5cm．點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以每秒3cm的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： （1）線(xiàn)段BP，CP的長(zhǎng)可用含t的式子分別表示為：BP=______，CP=______． （2）若某一時(shí)刻△BPE與△CQP全等，求此時(shí)t的值和線(xiàn)段BP的長(zhǎng)． 71．如圖，在四邊形ABCD中，CB⊥AB于點(diǎn)B，CD⊥AD于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF． （1）求證：CB=CD； （2）若AE=8，CD=6，求四邊形AECF的面積； （3）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想． 72．如圖，在△ABC中，BC=5，高AD、BE相交于點(diǎn)O，BD=23CD，且AE=BE． （1）求線(xiàn)段AO的長(zhǎng)； （2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線(xiàn)段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為l秒，△POQ的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S； （3）在（2）的條件下，點(diǎn)F是直線(xiàn)AC上的一點(diǎn)且CF=BO．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 73．如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線(xiàn)l上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在l的異側(cè)，AB∥DE，∠A=∠D，測(cè)得AB=DE． （1）求證：△ABC≌△DEF； （2）若BE=13m，BF=3m，求FC的長(zhǎng)． 74．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線(xiàn)，CD＝15，BD＝25．求AC的長(zhǎng)． 75．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，CF//AB交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. （1）求證：FC=DB； （2）若AC=8，CF=5.求BC的長(zhǎng). 76．寫(xiě)出命題：“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題，并證明其逆命題是真命題.（要求寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程） . 77．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上移動(dòng)，且A到EF的距離AH始終保持與AB長(zhǎng)相等，問(wèn)在E，F(xiàn)移動(dòng)過(guò)程中； （1）∠EAF的大小是否有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由. （2）△ECF的周長(zhǎng)是否有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由. 78．如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E. （1）求證：BC=DC； （2）若∠A=25°，∠D=15°，求∠ACB的度數(shù). 79．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形ADBF是菱形． （2）若AB=8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長(zhǎng)． 80．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，且F是AE的中點(diǎn)． （1）求證：四邊形AECD是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求四邊形ABCD的面積． 五、閱讀理解 81．【閱讀材料】如圖①，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上且∠EAF＝45°，連接EF，求△CEF的周長(zhǎng)． 小明想到解決問(wèn)題的方法如下： 如圖②，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG＝DF，通過(guò)證明△AGE≌△AFE，得到BE、DF、EF之間的關(guān)系，進(jìn)而求出△CEF的周長(zhǎng)． （1）請(qǐng)按照小明的思路，幫助小明寫(xiě)出完整的求解過(guò)程． （2）【方法應(yīng)用】如圖②，若BE＝1，求DF的長(zhǎng)． （3）【能力提升】如圖③，在銳角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D．若BD＝1，AD＝4，則CD的長(zhǎng)為　 ?。? 82．（1）閱讀理解 由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”．在如圖①所示的“手拉手”圖形中，小白發(fā)現(xiàn)：若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE，請(qǐng)證明他的發(fā)現(xiàn)； （2）問(wèn)題解決：如圖②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE． ①試探索線(xiàn)段CD，BD，DE之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明； ②若AB=AC=3，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)F，連接CE，當(dāng)△ABD≌△DCF時(shí)，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)． 83．閱讀與思考 下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問(wèn)題 在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要添加輔助線(xiàn)才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線(xiàn)段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題． 例：如圖1，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD，若△ABD的面積為10，求△ABC的面積． 該問(wèn)題的解答過(guò)程如下： 解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，CH、AB交于點(diǎn)E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC． ∵AD⊥CD， ∴∠ADC=∠ADE=90°． 在△ADE和△ADC中，∠DAE=∠DACAD=AD∠ADE=∠ADC， ∴△ADE≌△ADC（依據(jù)1） ∴ED=CD（依據(jù)2），S△ADE=S△ADC， ∵S△BDE=12DE?BH，S△BDC=12CD?BH． …… 任務(wù)一：上述解答過(guò)程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________； 任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整； 應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠CBA交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若CE=6，求BD的長(zhǎng)． 84．如圖 （1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8.求AC邊上的中線(xiàn)BD的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE＝BD，連接CE.利用全等將邊AB轉(zhuǎn)化到CE，在△BCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線(xiàn)BD的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是 　 ?。恢芯€(xiàn)BD的取值范圍是 　 　. （2）問(wèn)題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，探索BD與MN的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 85．閱讀下面材料： 【原題呈現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的長(zhǎng). 【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC=AC，連接DE.這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）. 【問(wèn)題解答】 （1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題： （2）拓展提升： 如圖3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2.求AD的長(zhǎng). 六、作圖題 86．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形． （1）尺規(guī)作圖：作∠BAD的平分線(xiàn)AE，交BC于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）； （2）若E為BC的中點(diǎn)，求證：△ABE≌△FCE； （3）在（2）的條件下，若CF=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)． 87．如圖，已知△ABC中，∠C=2∠B． （1）請(qǐng)用基本尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，在AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE．（不寫(xiě)作法，不下結(jié)論，保留作圖痕跡）； （2）在（1）所作的圖形中，求證：AB＝AC＋CD，請(qǐng)完成下面的證明過(guò)程： 證明：∵AD平分∠BAC， ∴ ① ， 在△EAD與△CAD中 AE=AC∠EAD=∠DAC???②?? ∴△EAD≌△CADSAS， ∴ ③ ，DE＝CD， ∵∠AED＝∠BDE＋∠B，且∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠BDE， ∴ ④ ， ∴BE=CD， ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 88．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D． （1）如圖①，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺在AC上找出一點(diǎn)P'，使AP=AP'． （2）如圖②，點(diǎn)P為BD上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺在CD上找出一點(diǎn)P'，使BP=CP'． 89．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格. （1）在圖①中畫(huà)出以 AB 為對(duì)角線(xiàn)的菱形 ACBD ， 且點(diǎn) C 和點(diǎn) D 均在格點(diǎn)上. （2）在圖②， 圖③中畫(huà)出以 AB 為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形 AEBF (非菱形)， 滿(mǎn)足有一邊等于 AB 長(zhǎng)， 且點(diǎn) E 和點(diǎn) F 均在格點(diǎn)上. 90．在正方形ABCD中，E是CD邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于F． （1）尺規(guī)作圖：在圖中求作點(diǎn)E，使得EF＝EC；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） （2）在（1）的條件下，連接FC，求∠BCF的度數(shù)． 七、綜合題 91．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝30°，AC＝63，BC＝6，CD平分∠ACB交斜邊AB于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線(xiàn)CA―AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)． （1）點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)CP＝　 　時(shí)，△CPD與△CBD的面積相等；（直接寫(xiě)出答案） （2）點(diǎn)P在折線(xiàn)CA―AD上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)； （3）若點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段CD所在直線(xiàn)上存在另一動(dòng)點(diǎn)M，使兩線(xiàn)段MP、ME的長(zhǎng)度之和，即MP＋ME的值最小，則此時(shí)CP的長(zhǎng)度＝　 　．（直接寫(xiě)出答案） 92．在 △ABC 中， AB=AC ，點(diǎn) E 、 F 分別在 AB 、 AC 上， BE=CF ， BF 與 CE 相交于點(diǎn) P . （1）求證： △BEC≌△CFB ； （2）求證： BP=CP . 93．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，連接CD，BE． （1）求證：EB=DC； （2）連接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度數(shù)． 94．如圖，在梯形 ABCD 中， AD//BC，AB=CD ，過(guò)點(diǎn)A作 AE⊥BC ，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作 EF⊥CD ，垂足為點(diǎn)F，聯(lián)結(jié) DE ，且 DE 平分 ∠ADC ． （1）求證： △ABE≌△ECF ； （2）聯(lián)結(jié) BD ， BD 與 AE 交于點(diǎn)G，當(dāng) AB2=BG?BD 時(shí)，求證 EC2=BE?BC ． 95．如圖，一次函數(shù) y=2x+4 的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，四邊形 ABCD 是正方形． （1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)． （2）設(shè)P是坐標(biāo)軸上任意一點(diǎn)，若三角形 ABP 是以 AB 為底邊的等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)． 96．如圖，四邊形 ABCD 中， AD//BC ， ∠BAD=90° ， CB=CD ，連接 BD ，以點(diǎn)B為圓心， BA 長(zhǎng)為半徑作 ⊙B ，交 BD 于點(diǎn)E. （1）試判斷 CD 與 ⊙B 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）若 AB=23 ， ∠BCD=60° ，求圖中陰影部分的面積. 97．在平面直角坐標(biāo)系中B（3，2），BC⊥y軸于C，BA⊥x軸于A，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上從B向A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．將BE沿BD折疊，使E點(diǎn)恰好落在BC上的F處． （1）如圖1，若E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出F、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)：F（　 　，　 ?。? D（　 　，　 ?。? （2）如圖1，連接CD，在（1）的條件下，求證：CD=FD． （3）如圖2，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，M點(diǎn)在OC上從C向O運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)在OA上從A向O運(yùn)動(dòng)，M的運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，N的運(yùn)動(dòng)速度為每秒a個(gè)單位．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CMF能與△ANE全等嗎？若能，求出此時(shí)a與t的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 98．如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABF≌△EDF； （2）若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說(shuō)明理由． 99．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且AE=AC． （1）求證：AB=AF； （2）若∠ACB=30°，連接AG，判斷四邊形AGCD是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論． 100．如圖，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分別為G、F，且AG=AF. 求證： （1）∠EAF=∠DAG； （2）AD=AE. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】D 12．【答案】C 13．【答案】A 14．【答案】D 15．【答案】D 16．【答案】C 17．【答案】D 18．【答案】B 19．【答案】B 20．【答案】C 21．【答案】(?3，2) 22．【答案】2 23．【答案】25 24．【答案】AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB等 25．【答案】2 26．【答案】13 27．【答案】25；25 28．【答案】ASA 29．【答案】3.5 30．【答案】60 31．【答案】154 32．【答案】AC；∠CAE 33．【答案】BC=EF 34．【答案】12.5 35．【答案】223 36．【答案】∠APO=∠BPO 37．【答案】3 38．【答案】∠A=∠D (或 ∠ACB=∠DBC；或AB=CD；只寫(xiě)一個(gè)答案即可) 39．【答案】60° 40．【答案】32 41．【答案】（1）證明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠BDE， ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， ∴AE=BE， 在△AEF和△BED中， ∠AFE=∠BDE∠AEF=∠BEDAE=BE ， ∴△AEF≌△BED（AAS）， ∴AF=BD， ∴四邊形ADBF是平行四邊形， ∵∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ∴AD= 12 BC=BD=CD， ∴四邊形ADBF是菱形； （2）解：由（1）得：四邊形ADBF是菱形， ∴DF⊥AB，BD=BF=5， ∴BE= BD2?DE2=4 ， ∴AB=2BE=8． 42．【答案】證明：∵BC∥EF， ∴∠BCA=∠EFD， ∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠DAC=DF∠BCA=∠EFD， ∴△ABC≌△DEF(ASA)． 43．【答案】解：∵點(diǎn)E是 BD 的中點(diǎn) ∴BE=ED . ∵AC⊥BD ∴∠AEB=∠DEC=90° . 在 Rt△ABE 和 Rt△CDE 中 AB=CDBE=ED ∴Rt△ABE≌Rt△CDE(HL) ， ∴∠A=∠C ， ∴AB//CD ． 44．【答案】（1）45° （2）15°或75° 45．【答案】（1）證明：在△ABC與△ADC中， AB=AD∠1=∠2AC=AC ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△ADC， ∴BC=DC， ∴△BCD是等腰三角形． 46．【答案】（1）證明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D． 在△ABE和△CDF中， ∠B=∠DAB=CD∠BAE=∠DCF ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝FC． （2）解：由（1）△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF． ∵AE＝CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 47．【答案】解：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC 在△BAC與△ DAC中，AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ∴ △BAC≌△DAC. ∴BC=DC 48．【答案】證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵CE=BF，EF=EF， ∴CF=BE， 在Rt△CDF和Rt△BAE中， CD=ABCE=BE， ∴Rt△CDF≌Rt△BAE（HL）， ∴∠A=∠D. 49．【答案】（1）①菱形；②AC=BD （2）①12；②503 50．【答案】（1）當(dāng)t的值為8時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合 （2）點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)83s后，△AMN為等邊三角形 （3）存在，t=323 51．【答案】解：設(shè)BM=3tcm，則BN=4tcm， ∵∠A=∠B=90°，使△ACM與△BMN全等，可分兩種情況： 情況一：當(dāng)BM=AC，BN=AM時(shí)， ∵BN=AM，AB=42cm， ∴4t=42?3t， 解得：t=6， ∴AC=BM=3t=3×6=18cm； 情況二：當(dāng)BM=AM，BN=AC時(shí)， ∵BM=AM，AB=42cm， ∴3t=42?3t， 解得：t=7， ∴AC=BN=4t=4×7=28cm， 綜上所述，AC=18cm或AC=28cm． 52．【答案】（1）證明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴BC∥AD， ∴∠CBE＝∠DFE， ∵E是邊CD的中點(diǎn)， ∴CE＝DE， 在△BEC與△FED中， ∠CBE=∠DFE∠BEC=∠FEDCE=DE， ∴△BEC≌△FED， ∴BE＝FE， ∵CE＝DE， ∴四邊形BDFC是平行四邊形； （2）解：∵BC＝3，BC＝BD， ∴BC＝BD=3 在Rt△ABD中， 由勾股定理得，AB=BD2?AD2=32?12=22， 由（1）得四邊形BDFC是平行四邊形 ∴BC=DF=3 所以，四邊形BDFC的面積＝3×22=62； 53．【答案】（1）三角形具有穩(wěn)定性 （2）解：∵O是AB和CD的中點(diǎn) ∴A0=B0，CO=DO 在△AOD和△BOC中 A0=BO∠AOD=∠BOCDO=CO ∴△AOD≌△BOC（SAS） 又∵AD=38cm， ∴BC=AD=38cm. 54．【答案】解：過(guò)點(diǎn)E作EF//AC交BC于F， ∴∠ACB=∠EFB（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）， ∴∠D=∠OEF（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， 在△OCD與△OFE中 ∠COD=∠FOE???(對(duì)頂角相等)OD=OE??????????(已知)∠D=∠OEF?????(已證)， ∴△OCD≌△OFE，（ASA） ∴CD=FE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∵AB=AC（已知） ∴∠ACB=∠B（等邊對(duì)等角） ∴∠EFB=∠B（等量代換） ∴BE=FE（等角對(duì)等邊） ∴CD=BE； 55．【答案】（1）解：∵DE⊥AB且AE=BE， ∴AD=BD， ∴∠B=∠DAE， ∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)， ∴∠DAE=∠DAC， ∴∠B=∠DAE=∠DAC， ∵∠C=90°， ∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°， ∴∠B=30°； （2）解：∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB， ∴CD=ED， 在Rt△ACD與Rt△AED中， CD=EDAD=AD ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AE=AC=3cm，DE=CD=2cm， ∵AE=BE， ∴AB=2AE=2×3=6(cm)， ∴S△ABD=12AB?DE=12×6×2=6(cm2)． 56．【答案】（1）解：(1)BP'=CP， 證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠2+∠3=60° ∵將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP'， ∴AP=AP'，∠PAP'=60°， ∴∠1+∠2=60°， ∴∠1=∠3， ∵AP'=AP，AB=AC ∴△ABP'≌△ACP(SAS)， ∴BP'=CP； （2）解：①60°； ②AP=2PM，理由如下： 延長(zhǎng)PM到N，使MN=PM，連接BN，CN，如上圖： ∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)， ∴BM=CM， ∴四邊形PBNC為平行四邊形， ∴BN//CP且BN=CP， ∴BN=BP'，∠9=∠6， 又∵∠8+∠6=60°， ∴∠8+∠9=60°，即∠PBN=60°， ∴∠PBP'=∠PBN， 又∵BP=BP，P'B=NB， ∴△P'BP≌△NBP(SAS)， ∴PP'=PN=2PM， ∵∠PAP'=60°，AP=AP'， ∴△APP'為正三角形， ∴PP'=AP， ∴AP=2PM． 57．【答案】（1）解：∵AE- AB．∴∠AEB=∠ABE=63°． ∴∠EAB=54°，∵∠BAC= 45°， ∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180°． ∴54°+2×45°+∠FAC= 180°，∴∠FAC=36°． （2）證明：∵AD為△ABC的中線(xiàn)．∴BD=CD，在△BDH和△CDA中，BD=CD∠BDH=∠CDADH=DA ∴△BDH≌△CDA(SAS)．∴∠BHD=CAD， ∴AC∥BH．∴∠ABH+∠BAC=180° （3）解：EF=2AD 58．【答案】解：∠ACB＝2∠ABC 證明：延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE ∴∠E＝∠CDE ∵AB=AC+CD ∴AE＝AB 又∵AD是∠BAC的平分線(xiàn) ∴∠BAD＝∠CAD 又AD=AD ∴△ABD≌△AED ∴∠B＝∠E 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE ∴∠ACB＝2∠ABC 59．【答案】（1）解：證明：∵AD是△ABC的中線(xiàn)， ∴BD＝CD， 在△BED和△CAD中， BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA ， ∴△BED≌△CAD（SAS）． （2）解：解：∵△BED≌△CAD， ∴EB＝AC＝6， ∵AB-EB＜AE＜AB+EB，且AB＝9，AE＝2AD， ∴9-6＜2AD＜9+6， ∴32 ＜AD＜ 152 ， ∴AD的取值范圍是 32 ＜AD＜ 152 ． 60．【答案】解：∵AM=CN ∴AM+MN=CN+MN 即AN=CM ∵AB∥CD ∴∠A=∠C 在△ABN和△CDM中 AN=CM∠A=∠CAB=CD ∴△ABN≌△CDM（SAS） 61．【答案】解：∵E是邊AC的中點(diǎn)，∴AE=CE. 又∵CF//AB，∴∠A=∠ACF，∠ADF=∠F， 在△ADE與△CFE中，∠ADF=∠F∠A=∠ACFAE=CE， ∴△ADE≌△CFE(AAS). ∵CF=7， ∴AD=CF=7， 又∵∠B=∠ACB， ∴AB=AC， ∵E是邊AC的中點(diǎn)，CE=5， ∴AC=2CE=10. ∴AB=10， ∴DB=AB?AD=10?7=3. 62．【答案】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD= 90°． 又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD． ∵BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E， ∴在△AFB和△DEA中，∠AFB=∠DEA，∠FBA=∠EAD，AB=DA， ∴△AFB≌△DEA(AAS)，∴AF=DE=8，BF=AE=5，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13． 63．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90° 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS） ∴BE＝DF （2）解：∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 64．【答案】(1)60°；(2)6cm. 65．【答案】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°， ∵AP=CQ， ∴AC－AP=BC－CQ，即BQ=PC. 在△ABQ和△BCP中， BQ=CP∠ABQ=∠BCPAB=BC， ∴△ABQ≌△BCPSAS， ∴∠BAQ=∠CBP， ∴∠BMQ=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBP=∠ABC=60°． 66．【答案】45cm． 67．【答案】解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD. ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°， ∴∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴∠FBD=∠CAD， 在△FBD和△CAD中， ∵∠ADB=∠ADCBD=AD∠FBD=∠CAD ， ∴△FBD≌△CAD（ASA）， ∴CD=DF=4， 答：DF的長(zhǎng)是4. 68．【答案】答：任意；OM；MN； 證明：在△OMN與△O′M′N(xiāo)′， ∵OM=O'MON=O'N'MN=MN' ， ∴△OMN≌△O′M′N(xiāo)′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB． 69．【答案】（1）證明：∵DA平分∠BDF， ∴∠ADF=∠ADB． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°， ∴∠ADF=∠ABC． ∵∠ACB=∠ADB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB= AC； （2）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BD，垂足為點(diǎn)G，如圖． ∵DA平分∠BDF，AE⊥CF于點(diǎn)E，AG⊥BD于點(diǎn)G， ∴AG=AE，∠AGB=∠AEC= 90°． 在Rt△AED和Rt△AGD中，AE=AGAD=AD ∴Rt△AED≌Rt△AGD， ∴GD=ED= 2． 在Rt△AEC和Rt△AGB中，AE=AGAB=AC ∴Rt△AEC≌Rt△AGB( HL)， ∴BG= CE． ∵BD=11， ∴BG=BD-GD=11-2=9， ∴CE= BG=9， ∴CD=CE-DE=9-2=7. 70．【答案】（1）3tcm；(15?3t)cm； （2）t=83s，BP=8cm或t=52s，BP=7.5cm時(shí)，△BPE與△CQP全等． 71．【答案】（1）證明：如圖，連接AC， 在△ACE和△ACF中， AE=AFCE=CFAC=AC， ∴△ACE≌△ACF(SSS)， ∴∠FAC=∠EAC， ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴∠B=∠D=90°， ∵AC=AC， ∴△ACB≌△ACD(AAS)， ∴CB=CD （2）解：由（1）得△ACE≌△ACF，CB=CD， ∵AE=8，CD=6， S△ACF=S△ACE=12AE?CB=12×8×6=24， ∴S四邊形AECF=S△ACF+S△ACE=24+24=48； （3）解：猜想∠DAB+∠ECF=2∠DFC， 證明：∵△ACE≌△ACF， ∴∠EAC=∠FAC，∠ACE=∠ACF， ∵∠DAB=∠FAC+∠EAC，∠ECF=∠ACF+∠ACE， ∴∠DAB+∠ECF=2∠FAC+2∠ACF=2(∠FAC+∠ACF)， ∵∠DFC=∠FAC+∠ACF， ∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC． 72．【答案】（1）5； （2）S=?2t2+t(0<t<12)，S=2t2?t(12<t≤5)； （3）t=1或53s時(shí)，△BOP與△FCQ全等； 73．【答案】（1）證明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， 在△ABC與△DEF中 ， ∠A=∠D∠ABC=∠DEFAB=DE ∴△ABC≌△DEF(AAS) （2）解：∵△ABC≌△DEF ∴BC=FE ∴CE=BF=3m， ∵BE=13m， ∴FC=13?3?3=7m 74．【答案】30 75．【答案】（1）證明：∵CF//AB， ∴∠F=∠FDB，∠FCB=∠B， 又∵E是BC中點(diǎn)， ∴CE=BE， ∴△CFE≌△BDE（AAS） ∴FC=DB. （2）解：由（1）得，BD=CF=5， ∵D是AB中點(diǎn)， ∴AB=10， ∵AC=8，∠ACB=90°， ∴BC=6. 76．【答案】逆命題是：一個(gè)三角形兩邊上的高相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形. 已知：如圖，△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，且BD＝CE， 求證：△ABC是等腰三角形. 證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB. ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 又∵BD＝CE，BC＝CB， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 77．【答案】（1）解：∠EAF 的大