第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),二 函數(shù)的間斷點(diǎn)類型,一 函數(shù)的連續(xù)性,三 小結(jié)與思考判斷題,1.函數(shù)的增量,一、函數(shù)的連續(xù)性,2.連續(xù)的定義,例1,證,由定義2知,3.單側(cè)連續(xù),定理,定義3,定義4,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的,連續(xù)函數(shù),,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,,例3,證,二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型,定義5,間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)與第二類間斷點(diǎn).,,第一類間斷點(diǎn) 如果 在間斷點(diǎn) 處左右極限存在,則稱點(diǎn) 為 的第一類間斷點(diǎn).,,第二類間斷點(diǎn) 如果 在間斷點(diǎn) 處左右極限,,中至少有一個(gè)不存在,則稱點(diǎn) 為 的第二類間斷點(diǎn).特別地有:,,1.跳躍間斷點(diǎn),例4,解,2.可去間斷點(diǎn),例5,解,注意,,可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,如例5中,,特點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,例6,解,3.無窮間斷點(diǎn)：,如果 在點(diǎn) 處左、右極限,至少有一個(gè)為無窮大，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的無,窮間斷點(diǎn).,4、振蕩間斷點(diǎn)：如果 在點(diǎn) 處無極限且函數(shù)值在某兩個(gè)最值間變動無限多次，則稱 為函數(shù) 的振蕩間斷點(diǎn).,例7,在定義域,R,內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點(diǎn)類型:,函數(shù),例8,解,例9,,函數(shù) 在點(diǎn),,是否間斷?屬于那種類型?能否補(bǔ)充或改變函數(shù)在該點(diǎn)定義使之連續(xù)?,,解,函數(shù) 在點(diǎn),,沒有定義,所以 是函數(shù)的間斷點(diǎn).對于,,,,.,因?yàn)? ,所以 是第一類間斷點(diǎn) .,,令 ,即可使函數(shù)在 處連續(xù).,,對于 ,,,因?yàn)? ,所以 是第二類間斷點(diǎn)且為無窮間斷點(diǎn) .,,,1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):,可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):,無窮型,振蕩型.,間斷點(diǎn),(見下圖),小結(jié),三、小結(jié)與思考判斷題,可去型,第一類間斷點(diǎn),o,y,x,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),o,y,x,o,y,x,o,y,x,判斷思考題,思考題解答,且,但反之不成立.,例,但,