單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣,微積分初步,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,函數(shù)的不定積分與定積分,1,函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分,一、變量、常量與函數(shù),變量：,在某一過程中取值會(huì),不斷變化,的量。,常量：,在某一過程中取值,始終不變,的量。,函數(shù)：,變量,y,按某種確定的關(guān)系隨變量,x,的變化而變化，則稱,y,是,x,的函數(shù),，,x,叫自變量，,y,叫因變量，寫作：,y,=,f,(,x,),例：,y=,3,x,2,+,2,x,y=,5,sinx,y=a,x,y=e,2x,復(fù)合函數(shù)：,若,y,是,z,的函數(shù),y=f,(z),，而,z,又是,x,的函數(shù),z=,g,(,x,),，則稱,y,是,x,的復(fù)合函數(shù)，記作：,y=,(,x,)=,f,g,(,x,),例：,y=sin,(,ax,2,+bx+c,),y=,e,sin,(2,x,+3),二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù),x,y,x,y,y=f,(,x,),x,x+,x,設(shè)函數(shù),y=f,(,x,),在,x,處有一增量,x,，相應(yīng)地函數(shù)有增量,y,，則比值,叫函數(shù),y=f,(,x,),在,x,到,x+,x,之間的,平均變化率,。,函數(shù),y=f,(,x,),在,x,處的導(dǎo)數(shù)定義為：,例：求函數(shù),y=x,2,在,x=,1,和,x=,3,時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。,解：,由,有,所以當(dāng),x=,1,時(shí)，,y=,2,，當(dāng),x=,3,時(shí)，,y=,6,x,y,x,y,y=f,(,x,),x,x+,x,P,Q,導(dǎo)數(shù)的幾何意義：,從圖中知道，,y/,x,是過,P,、,Q,兩點(diǎn)的割線的斜率，而當(dāng),x,0,時(shí)，割線成為過,P,點(diǎn)的切線，因而導(dǎo)數(shù),y=f,(,x,),表示曲線在,x,處,切線的斜率,。,函數(shù),y=f(x),在某處的導(dǎo)數(shù)值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點(diǎn)處函數(shù),y=f(x),隨,x,的變化率。,基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則：,（設(shè),u=u(x),v=v(x),）,例,1,：求,y=x,3,ln x,的導(dǎo)數(shù),解,例,2,求,y=sin x/x,的導(dǎo)數(shù),解,二階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù),前述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是,y,對(duì),x,的一階導(dǎo)數(shù)，若將一階導(dǎo)數(shù),y,再次對(duì),x,求導(dǎo)，則為二階導(dǎo)數(shù)：,同理，將二階導(dǎo)再對(duì),x,求導(dǎo)則為三階導(dǎo)，三階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)則為四階導(dǎo)等。,例求,y=x,3,+3x,2,的二階導(dǎo)數(shù),三、函數(shù)的極值,x,1,x,2,x,3,x,y,若函數(shù),y=f,(,x,),在某一點(diǎn),x,1,的函數(shù)值,f,(,x,1,),比鄰近各點(diǎn)的函數(shù)值都大或都小，則稱,x,1,為一個(gè)極值點(diǎn)，,f,(,x,1,),為函數(shù)的一個(gè)極值。圖中,x,1,和,x,3,為極大值點(diǎn)，,x,2,為極小值點(diǎn)，,f,(,x,1,),和,f,(,x,3,),為極大值，,f,(,x,2,),為極小值。,極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，因而極值點(diǎn)的判定條件是：,f,(,x,)=0,極大值點(diǎn)的條件是：,f,(,x,)=0,，,f,(,x,),0,極小值點(diǎn)的條件是：,f,(,x,)=0,，,f,(,x,),0,例求函數(shù),y=4x,3,-3x,2,+5,的極值點(diǎn)和極值,解：因,y=12x,2,-6x,令,y=0,得,x,1,=0,x,2,=1/2,此為其兩個(gè)極值點(diǎn)。,又,y=24x-6,，,有,y,(,x,1,)=,-,6,0,，,y,(,x,2,)=6,0,因而,x,1,=0,是極大值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的極大值為,y,1,=5,x,2,=1/2,是極小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的極小值為,y,2,=19/4,四、函數(shù)的微分,例求函數(shù),y=5x+sin x,的微分,函數(shù),y,對(duì)自變量,x,的導(dǎo)數(shù),可將,dx,看成是自變量,x,的一個(gè)趨于零的微小增量，稱為,自變量的微分,；而相應(yīng)的將,dy,看成是函數(shù),y,的微小增量，稱為,函數(shù)的微分。,有：,2,不定積分,一、原函數(shù),前一節(jié)學(xué)了求函數(shù),y=f,(,x,),的導(dǎo)數(shù),f,(,x,),，現(xiàn)若,已知,一函數(shù),F,(,x,),的導(dǎo)數(shù)為,f,(,x,),，要求,原函數(shù),F,(,x,),例因,(,x,3,)=3,x,2,，,所以,x,3,為,3,x,2,的原函數(shù),（,sin x,)=,cos x,，,sin x,是,cos x,的原函數(shù),F,(,x,)=,F,(,x,)+,c,，,c,為任意常數(shù)，,函數(shù),f,(,x,),的原函數(shù)有任意多個(gè)：,F,(,x,)+,c,二、不定積分,定義：,函數(shù),f,(,x,),的所有原函數(shù),F,(,x,)+,c,叫,f,(,x,),的,不定積分,，記為：,不定積分的性質(zhì)：,這說明不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。,不定積分公式：,不定積分運(yùn)算法則：,3.,若能找到函數(shù),u=u,(,x,),，使,且積分,較易求出，則：,例,1,求,解：令,u=1+x,微分得：,du=dx,，有：,例,2,求,解：令,u=ax+b,微分得：,du=adx,，有：,例,3,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,4,求,解：令,u=e,3x,微分得：,du=3 e,3x,dx,，有：,3,定積分,設(shè)函數(shù),y=f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上連續(xù)，將區(qū)間,a,b,作,n,等分，各小區(qū)間的寬度為,x,，又在各小區(qū)間內(nèi)選取一點(diǎn),x,i,得出函數(shù)在這些點(diǎn)處的值,f,(,x,i,)(,i,=1,2,3,n,),a,b,x,y,x,i,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,定義：,為函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,a,b,上的,定積分,。,f,(,x,),為被積函數(shù)，,a,b,分別為積分下限和上限。,定積分的幾何意義：,a,b,x,y,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,由圖可知,f,(,x,i,),x,為圖中一個(gè)小區(qū)間的面積，因而定積分：,表示了區(qū)間,a,b,上，,曲線,y=f,(,x,),下方的面積。,注意：,定積分的值有正也有負(fù)，因而這并非通常意義下的面積。,定積分的主要性質(zhì)：,定積分的計(jì)算（牛頓萊布尼茨公式）,若不定積分,則定積分,由此可知：求函數(shù)的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數(shù),F,(,x,),），再求,F,(,b,),-F,(,a,),例,1,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,2,求,解：令,u=cos x,微分得：,du=-sin x dx,y,x,y=x,2,y,=4-,x,2,A,B,例,3,求由曲線,y=x,2,和曲線,y=4-x,2,所包圍的面積。,解：先求出兩曲線交點(diǎn),A,B,的,x,坐標(biāo)為,:,由定積分的幾何意義知有：,29,以上有不當(dāng)之處，請(qǐng)大家給與批評(píng)指正，謝謝大家！,