單擊此處編輯母版標題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,第,*,頁,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,第,*,頁,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,第,*,頁,1,s,s,s,s,2.5,Laplace,變換的應用,2,本節(jié)內(nèi)容,四、小結(jié),,,,,,,,,一、微分、積分方程的,Laplace,變換解法,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),二、偏微分方程的,Laplace,變換解法,第,3,頁,一、微分、積分方程的,Laplace,變換解法,象原函數(shù),,(,微分方程的解,),象函數(shù)的,,代數(shù)方程,微分方程,象函數(shù),取,Laplace,逆變換,取,Laplace,變換,解代數(shù),,方程,,首先取,Laplace,變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程,,,解代數(shù)方程求出象函數(shù),,,再取,Laplace,逆變換得最后的解,.,第,4,頁,,例,1,,解,求方程 滿足初始條件,的解,.,設(shè)方程的解,且設(shè),對方程的兩邊取,Laplace,變換,,,得,第,5,頁,整理得,變形得,,例,1,取逆變換得,第,6,頁,,例,2,,解,求方程 滿足初始條件,的解，,其中 為已知常數(shù),.,設(shè)方程的解,且設(shè),對方程的兩邊取,Laplace,變換,,,得,第,7,頁,整理得,取逆變換得,下面確定,令,得,,例,2,得,故得,第,8,頁,,例,3,,解,求方程 滿足初始條件,的解,.,對方程的兩邊取,設(shè),Laplace,變換,,,得,第,9,頁,整理得,即,變形得,(,分離變量法,),,例,3,第,10,頁,得,下面確定,令,得,積分得,取逆變換得,得,,例,3,第,11,頁,,例,4,,解,求積分方程,的解,.,其中 為定義在 的已知函數(shù),.,設(shè),對方程的兩邊取,Laplace,變換,,,得,?,第,12,頁,整理得,如果令,由反演積分公式,,例,4,第,13,頁,,例,5,,解,,質(zhì)量為,m,的物體掛在彈性系數(shù)為,k,的彈簧一端,,,作用在物體上的外力為,.,若物體從靜止平衡位置 處開始運動,,,求該物體的運動規(guī)律,.,,,,,（,Newton,定律）,物體運動的微分方程為：,且,第,14,頁,設(shè),得,記,,例,5,則,第,15,頁,,,得,,例,5,?,第,16,頁,,如圖所示的 串聯(lián)電路,,,若外加電動勢為正弦交流電壓,,,求開關(guān)閉合后,,,回路中電流 及電容器兩端電壓,.,,例,6,,解,根據(jù)Ｋ,irchhoff,定律，有,其中,,,第,17,頁,,,,得,對方程的兩邊取,Laplace,變換,,,得,設(shè),且,,例,6,第,18,頁,得,,例,6,的一階極點,即,第,19,頁,,,.,,,,,,.,得,,例,6,化簡得,第,20,頁,,,,,,,例,6,第,21,頁,,.,,,,,,,,例,6,令,則,第,22,頁,因為過渡電流,,,,例,6,，所以,第,23,頁,,例,7,,在 電路中串接直流電源,,,求開關(guān)閉合后,,,回路中電流,.,,,,請同學們仿例,6,解答,!,,第,24,頁,,例,8,求方程組,的解,.,滿足初始條件,,解,設(shè),得,第,25,頁,,,例,8,化簡得,第,26,頁,解得,,例,8,由,得,有兩個二級極點：,由,第,27,頁,,,,因此,,例,8,第,28,頁,故,,例,8,第,29,頁,小結(jié)：,,用,Laplace,變換求線性微分、積分方程及其方,,程組的解時，有如下的優(yōu)點：,,１）在求解的過程中，初始條件能同時用上，求出的結(jié)果就是需要的特解，這樣就避免了微分方程的復雜運算,.,,,２）零初始條件在工程技術(shù)中是十分常見的，由上一個優(yōu)點可知，用,Laplace,變換求解就顯得更加簡單，而在微分方程的一般解法中不會因此而有任何變化,.,第,30,頁,小結(jié)：,3,）對于一個非齊次的線性微分方程來說，當齊次項不是連續(xù)函數(shù)，而是包含 函數(shù)或有第一類間斷點的函數(shù)時，用,Laplace,變換求解沒有任何困難，而用微分方程的一般解法就會困難得多,.,,4,）用,Laplace,變換求解線性微分、積分方程組，比微分方程組的一般解法要簡便得多，而且可以單獨求出某一個未知函數(shù)，而不需要知道其余的未知函數(shù)，這在微分方程組的一般解法中通常是不可能的,.,第,31,頁,,例,9,利用,Laplace,變換求解定解問題,:,二、偏微分的,Laplace,變換解法,第,32,頁,對方程的兩邊關(guān)于,t,取,Laplace,變換,,,設(shè),,解,得,,例,9,第,33,頁,問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問題,:,,例,9,第,34,頁,得方程的通解為,:,代入邊界條件得,得,,例,9,第,35,頁,,對上式取,Laplace,逆變換,,,得,,例,9,第,36,頁,,例,10,利用,Laplace,變換求解定解問題,:,其中 均為常數(shù),.,第,37,頁,對方程的兩邊關(guān)于,t,取,Laplace,變換,,,,解,得,,例,10,第,38,頁,問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問題,:,,例,10,得方程的通解為,:,第,39,頁,由邊界條件得,得,,例,10,對上式取,Laplace,逆變換,,,得,,余誤差函數(shù),第,40,頁,,例,11,利用,Laplace,變換求解定解問題,:,第,41,頁,,解,取,Laplace,變換,,,設(shè)二元函數(shù),由微分性質(zhì)得,,例,11,對定解問題關(guān)于,x,第,42,頁,,例,11,問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題,:,第,43,頁,得方程滿足初始條件的解為,:,得定解問題的解為,:,,例,11,第,44,頁,,例,12,利用,Laplace,變換求解定解問題,:,第,45,頁,對定解問題關(guān)于,t,取,Laplace,變換,,,記,,解,,例,12,第,46,頁,定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的二階常系數(shù)線性微分方程的邊值問題,:,,例,12,第,47,頁,得通解為,:,代入邊界條件得,得,,例,12,第,48,頁,,,對上式取,Laplace,逆變換,,,得,,例,12,第,49,頁,,例,13,利用,Laplace,變換求解定解問題,:,課堂練習,:,請同學們仿例,12,解答,!,第,50,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),1.,線性系統(tǒng)的激勵和響應,這是一個一階常系數(shù)線性微分方程,.,,一個線性系統(tǒng)可以用一個常系數(shù)線性微分方程來描述,.,例如例,6,中的,RC,串聯(lián)電路,,,電容器兩端的電壓,u,C,(,t,),所滿足的關(guān)系式為,第,51,頁,2.,激勵和響應的概念,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,在上述一階常系數(shù)線性微分方程中,,,通常將外加電動勢,e,(,t,),看成是這個系統(tǒng)的隨時間,t,變化的輸入函數(shù),,,稱為激勵,,,而把電容兩端的電壓,u,C,(,t,),看成是這個系統(tǒng)的隨時間,t,變化的輸出函數(shù),,,稱為,響應,.,第,52,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,這樣的,RC,串聯(lián)的閉合,回路就可以看成是一個有輸入端和輸出端的線性系統(tǒng),,,如下圖所示,.,而虛線框中的電路結(jié)構(gòu)決定于系統(tǒng)內(nèi)的元件參量和連接方式,.,這樣一個線性系統(tǒng),,,在電路理論中又稱為線性網(wǎng)絡(luò),(,簡稱網(wǎng)絡(luò),).,一個系統(tǒng)的響應是由激勵函數(shù)與系統(tǒng)本身的特性所決定,.,第,53,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第,54,頁,3.,傳遞函數(shù)的概念的引入,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,對于不同的線性系統(tǒng),,,即使在同一激勵下,,,其響應也是不同的,.,在分析線性系統(tǒng)時,,,我們并不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的各種不同的結(jié)構(gòu)情況,,,而是要研究激勵和響應同系統(tǒng)本身特性之間的聯(lián)系,,,可繪出如下圖所示的情況表明它們之間的聯(lián)系,,,為了描述這種聯(lián)系需要引進傳遞函數(shù)的概念,.,第,55,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第,56,頁,4.,傳遞函數(shù)的概念,其中,,均為常數(shù),,,m,,,n,為正整數(shù),,,n,?,m,.,,假設(shè)有一個線性系統(tǒng),,,在一般情況下,,,它的激勵,x,(,t,),與響應,y,(,t,),可用下列微分方程表示,:,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第,57,頁,L,[,a,k,y,(,k,),]=,a,k,s,k,Y,(,s,)-,a,k,[,s,k,-1,y,(0)+,...,+,y,(,k,-1)(0)],設(shè),L,[,y,(,t,)]=,Y,(,s,),,L,[,x,(,t,)]=,X,(,s,),,,則,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),L,[,b,k,x,(,k,),]=,b,k,s,k,X,(,s,)-,b,k,[,s,k,-1,x,(0)+,...,+,x,(,k,-1),(0)],(,k,=0,1,,...,,,n,),(,k,=0,1,,...,,,m,),第,58,頁,兩邊取,Laplace,變換并通過整理,,,可得,D,(,s,),Y,(,s,) –,M,h y,(,s,)=,M,(,s,),X,(,s,) –,M,h x,(,s,),三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),其中,,,D,(,s,)=,a,n,s,n,+,a,n,-1,s,n,-1,+,...,+,a,1,s,+,a,0,,,M,(,s,)=,b,m,s,m,+,b,m,-1,s,m,-1,+,...,+,b,1,s,+,b,0,第,59,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),M,h y,,(,s,)=,a,n,y,(0),s,n,-1,+[,a,n,y,'(0)+,a,n,-1,y,(0)],s,n,-2,+,...,+,,[,a,n,y,(,n,-1),(0)+,...,+,a,2,y,'(0)+,a,1,y,(0)],M,h x,(,s,)=,b,m,x,(0),s,m,-1,+[,b,m,x,'(0)+,b,m,-1,x,(0)],s,m,-2,+,,,...,+[,b,m,x,(,m,-1),(0)+,...,+,b,2,x,'(0)+,b,1,x,(0)].,則,第,60,頁,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),稱,G,(,s,),為,系統(tǒng)的傳遞函數(shù),.,如,G,h,(,s,)=0,,,則,其中,第,61,頁,,在零初始條件下,,,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其響應的,Laplace,變換與其激勵的,Laplace,變換之比,.,當我們知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以后,,,就可以由系統(tǒng)的激勵求出其響應的,Laplace,變換,,,再求逆變換可得其響應,y,(,t,).,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第,62,頁,,傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)的物理性質(zhì),,,許多性質(zhì)不同的物理系統(tǒng),,,可以有相同的傳遞函數(shù),.,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第,63,頁,假設(shè)某個線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,或,,Y,(,s,)=,G,(,s,),X,(,s,),5.,脈沖響應函數(shù),設(shè),g,(,t,)=,L,,-1,[,G,(,s,)],，,則由卷積定理可得,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),?,第,64,頁,,即系統(tǒng)的響應等于其激勵與,,的卷積,.,,一個線性系統(tǒng)除用傳遞函數(shù)來表征外,,,也可以用傳遞函數(shù)的逆變換,,來表征,.,稱,,為,系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù),.,即,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,時,,,則在零初始條件下,,,有,,所以,,即,第,65,頁,在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中,,,令,,,則得,6.,頻率響應,三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),稱它為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù),,,簡稱頻率響應,,,可以證明,,,當激勵是角頻率為,w,的虛指數(shù)函數(shù),x,(,t,)=e,j,w,t,時,,,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應是,y,(,t,)=,G,( j,w,,)e,j,w,t,.,,因此頻率響應在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù),.,第,66,頁,如圖所示,,電路,,,當把電源電勢,e,,(,t,),看成激勵,,,則響應,u,C,(,t,),與,e,(,t,),滿足的微分方程為,,例,14,第,67,頁,兩邊取,Laplace,變換,,,并設(shè),L,,[,u,C,(,t,)]=,U,C,(,s,),,L,[,e (,t,)]=,E,(,s,),,,有,RC,[s,U,C,(,s,)-,u,c,(0)]+,U,C,(,s,)=,E,(,s,),,例,14,電路的傳遞函數(shù)為,:,第,68,頁,而電路的脈沖響應函數(shù)為,,例,14,令,得頻率響應為,第,69,頁,四、 小結(jié),總結(jié),Laplace,變換解數(shù)理方程的優(yōu)缺點．,總結(jié),Laplace,變換求解定解問題時,,,定解條件取變換的原則是什么．,深入閱讀,:,《,數(shù)學物理方程與特殊函數(shù),(,第三版,),》,，,東南大學， 高等教育出版社,,