1.1 集合的概念及運(yùn)算,高考理數(shù),1.元素與集合 (1)元素與集合的關(guān)系 (2)集合中元素的特征: 確定性 、 互異性 、 無(wú)序性 . (3)集合的分類(lèi)： 無(wú)限集 、 有限集 .特別地,我們把不含有任何元素的集合叫做 空集 ,記作?. (4)常用數(shù)集及其表示符號(hào),知識(shí)清單,(5)集合的表示方法： 列舉法 、 描述法 、 韋恩圖法 . 注意:描述法表示集合,一般形式是{x∈I|p(x)}.,2.集合間的關(guān)系 (1)集合間的運(yùn)算關(guān)系,續(xù)表,注意:①A=B?A?B且A?B. ②遇到形如A?B的問(wèn)題,一定要考慮A=?的情況. (2)集合間的邏輯關(guān)系,(3)兩個(gè)常用結(jié)論 A∩B=A?A?B;A∪B=B?A?B.,3.設(shè)有限集合A,card(A)=n(n∈N*),則 (1)A的子集個(gè)數(shù)是 2n ; (2)A的真子集個(gè)數(shù)是 2n-1 ; (3)A的非空子集個(gè)數(shù)是 2n-1 ; (4)A的非空真子集個(gè)數(shù)是 2n-2 .,方法1 數(shù)軸與韋恩(Venn)圖在解題中的應(yīng)用 數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具,數(shù)形結(jié)合是解答集合問(wèn)題的常用方法,解 題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡(jiǎn),使之明確化,借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具, 將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決. 例1 (2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,1,5分)設(shè)集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x0},則S∩T= ( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 解析 S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x≤2或x≥3},在數(shù)軸上表示出集合S,T,如圖所示: 由圖可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故選D. 答案 D,突破方法,1-1 (2016山東濟(jì)寧一模,2,5分)已知全集U=R,集合A={x||x-1|≤2},?UB=(-∞,1)∪[4,+∞),則A∪ B= ( ) A.[1,3] B.(1,3] C.[-1,4] D.[-1,4) 答案 D 解析 A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}, ∵?UB=(-∞,1)∪[4,+∞),∴B=[1,4).在數(shù)軸上表示出集合A、B,如圖. 由圖得A∪B=[-1,4),故選D. 1-2 設(shè)I為全集,S1、S2、S3是I的三個(gè)非空子集,且S1∪S2∪S3=I,則下面論斷正確的是 ( ) A.(?IS1)∩(S2∪S3)=? B.S1?[(?IS2)∩(?IS3)] C.(?IS1)∩(?IS2)∩(?IS3)=? D.S1?[(?IS2)∩(?IS3)∪(?IS3)],答案 C 解析 解法一:令S3=S1∩S2,依題意畫(huà)出韋恩圖,如圖所示,則有S1∪S2=I,故(?IS1)∩(?IS2)=?I(S1∪ S2)=?II=?,所以(?IS1)∩(?IS2)∩(?IS3)=?∩(?IS3)=?,故C正確.易判斷A、B、D不正確. 解法二:∵S1∪S2∪S3=I, ∴?I(S1∪S2∪S3)=?, ∴?I(S1∪S2)∩(?IS3)=?, ∴(?IS1)∩(?IS2)∩(?IS3)=?,故C正確.易判斷A、B、D不正確. 解法三:令S1={1,2},S2={2,3},S3={2},I={1,2,3},則(?IS1)∩(?IS2)∩(?IS3)={3}∩{1}∩{1,3}=?,故 C正確.易判斷A、B、D不正確.,方法2 利用分類(lèi)討論研究集合問(wèn)題 1.注意空集的特殊性,在解題中,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能性,如A?B(B≠?), 則有A=?和A≠?兩種可能,此時(shí)應(yīng)分類(lèi)討論. 2.在解含參變量的有關(guān)集合問(wèn)題時(shí),有時(shí)需對(duì)參變量進(jìn)行分類(lèi)討論.同時(shí)在解題過(guò)程中,最易忽略 集合元素的互異性,從而導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤.因此求出參變量后,一定要代入檢驗(yàn). 3.分類(lèi)討論要注意分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的尋求和層次的劃分,做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)合理、自然,層次劃分明確、清 晰,對(duì)討論的問(wèn)題的分類(lèi)做到不重不漏. 例2 (2016甘肅蘭州二診,1)已知集合A={1,2,m2},B={1,m},若B?A,則m= ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2 解題導(dǎo)引 由B?A, 得m∈A→分類(lèi)討論 求出m的值→代入檢驗(yàn), 得結(jié)論 解析 ∵B?A,∴m∈A,,方法3 與集合有關(guān)的新概念問(wèn)題 與集合有關(guān)的新概念問(wèn)題屬于信息遷移類(lèi)問(wèn)題,它是化歸思想的具體運(yùn)用,是近幾年高考的 熱點(diǎn)問(wèn)題,這類(lèi)試題的特點(diǎn)是:通過(guò)給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算方法,在新的情境下完成某種 推理證明,這類(lèi)試題是集合命題的一個(gè)新方向.常見(jiàn)的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則 等類(lèi)型. 解此類(lèi)題的一般思路: (1)理解問(wèn)題中的新公式、新運(yùn)算、新法則的含義; (2)利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理; (3)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選,驗(yàn)證,得出結(jié)論. 例3 (2015廣東深圳二模,8,5分)設(shè)X是直角坐標(biāo)平面上的任意點(diǎn)集,定義X*={(1-y,x-1)|(x,y)∈X}. 若X*=X,則稱(chēng)點(diǎn)集X“關(guān)于運(yùn)算*對(duì)稱(chēng)”. 給定點(diǎn)集A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x-1},C={(x,y)||x-1|+|y|=1}. 其中“關(guān)于運(yùn)算*對(duì)稱(chēng)”的點(diǎn)集個(gè)數(shù)為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解題導(dǎo)引 設(shè)1-y=x, x-1=y→解出x,y→代入集合A,B,C→得到集合A*,B*,C*→判斷A*=A,B*=B, C*=C是否成立→結(jié)論 解析 設(shè) 則 則X*={(x,y)|(1+y,1-x)∈X},由題意,得 A*={(x,y)|(1+y)2+(1-x)2=1}={(x,y)|(x-1)2+(y+1)2=1}, B*={(x,y)|1-x=(1+y)-1}={(x,y)|y=-x+1}, C*={(x,y)||(1+y)-1|+|1-x|=1}={(x,y)||x-1|+|y|=1},所以A*≠A,B*≠B,C*=C,故選B. 答案 B 3-1 對(duì)于正實(shí)數(shù)α,記Mα為滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:對(duì)于任意的x1,x2∈R,x2x1,有-α(x2 -x1)f(x2)-f(x1)α(x2-x1).下列結(jié)論中正確的是 ( ) A.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,則f(x)g(x)∈ B.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,且g(x)≠0,則 ∈ C.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,則f(x)+g(x)∈,D.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,且α1α2,則f(x)-g(x)∈ 答案 C 解析 依題意,若f(x)∈ ,g(x)∈ , 則?x1,x2∈R且x2x1,有-α1(x2-x1)f(x2)-f(x1)α1(x2-x1),-α2(x2-x1)g(x2)-g(x1)α2(x2-x1), ∴-(α1+α2)(x2-x1)f(x2)-f(x1)+g(x2)-g(x1)(α1+α2)(x2-x1), 即-(α1+α2)(x2-x1)[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)](α1+α2)(x2-x1), 從而有f(x)+g(x)∈ . 3-2 定義集合運(yùn)算:A?B={x|x∈A,且x?B},已知集合M={x|-3≤x4},N={x|-1x≤7},則(N?M) ?M= . 答案 {x|4≤x≤7} 解析 因?yàn)镹?M={x|x∈N,且x?M}={x|4≤x≤7}, 所以(N?M)?M={x|x∈N?M,且x?M}={x|4≤x≤7}.,