2019-2020年高考數學二輪復習（19）排列組合二項式教案 【專題要點】 1. 理解兩個原理的含義，區(qū)別分類還是分布。 2. 理解并掌握排列、組合的概念，熟記排列數與組合數公式并能用它們解決一些實際問題。 3. 理解并掌握二項式定理的項數、指數、通項幾個特征，并熟記它們的展開式。 4. 能夠運用展開式中的通項求展開式中的特定項。 5. 應特別用方程、不等式和函數的觀點來解決二項式定理中的有關問題，培養(yǎng)學生的歸納推理能力。 【考綱要求】 1．掌握分類計數原理和分步計數原理的實質，理解并掌握排列 、組合的有關問題，能用它們計算和論證一些簡單問題。 2.熟練掌握二項式定理及其通項公式、二項式系數的性質，并能用它們計算和論證一些簡單問題。 【知識縱橫】 兩個基本原理 綜合應用 二項式定理及其應用 排列與組合 【常用基本公式】 （1）排列數公式：. 組合數公式： = .由于0！= 1，所以. ；. （2）二項式定理：(a + b)n = … +(n∈N*). 通項：在二項展開式中的叫做二項展開式的通項，用Tr + 1表示，即通項為展開式的第r + 1項：. 在二項式定理中，如果設a = 1，b = x，則得到公式：(1 + x)n =.若a = 1，b = –x，則得到公式：(1 – x)n = 1 – ++ … + (–1)n. 【教法指引】 1.排列、組合在高考試題中為必考點，但所占比例不大，一般為選擇題和填空題，分值5分左右；近兩年高考命題涉及到本節(jié)內容，單獨考查某個知識點的題目減少，綜合考查題目增加，創(chuàng)新題目增多，知識背景新穎，與實際生活結合更加緊密，難度略有增加. 2. 二項式定理的應用主要涉及利用通項公式求展開式的特定項，利用二項式的性質求多項式的系數和，利用二項式定理進行近似計算.題型以選擇、填空為主，少有綜合性的大題，本節(jié)是高考的必考內容. 近兩年二項式定理考查知識點分布沒有太大變化，靈活掌握通項公式，仍然是重點，另外分清某項、某項系數、某項二項式系數非常重要. 【典例精析】 1. 分類加法與分步乘法計數原理 例1.從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船。一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班。那麼一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 【解析】因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4+2+3=9 種不同的走法。 例2.（xx東城）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數碼，某人采用千位、百位上的數字之積作為十位和個位上的數字（如2816）的方法設計密碼，當積為一位數時，十位上數字選0，并且千位、百位上都能取0.這樣設計出來的密碼共有（ ） A．90個 B．99個 C．100個 D．112個 【解析】由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定，則只考慮千位、百位即可，千位、百位各有10種選擇，所以有1010種=100種.故選C. 【答案】C 2．排列與組合 例3. （xx北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數原理知識. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 2和4排在末位時，共有種排法， 其余三位數從余下的四個數中任取三個有種排法， 于是由分步計數原理，符合題意的偶數共有（個）.故選C. 例4. （xx全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有( D ) （A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D 例5. （xx四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有62＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有124＝48種不同排法。 解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況： 第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法； 第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法 第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。 此時共有＝12種排法 三類之和為24＋12＋12＝48種。 3.二項式定理的通項公式 例6. （xx重慶卷理）的展開式中的系數是（ ） A．16 B．70 C．560 D．1120 【答案】 【解析】設含的為第， 所以，故系數為：，選D 4二項式定理的綜合應用 例7.（xx濟南）(x2 + 1)(x – 2)9 = a0 + a1(x – 1) + a2(x – 1)2 + a3(x – 1)3 + … + a11(x – 1)11，則a1 + a2 + a3 + … +a11的值為 . 【解析】令x = 1，得2(–1) 9 = a0， ① 令x = 2，得(22 + 1)0 = a0 + a1 + …+a11， ② 聯立①②知a1 + a2 + … +a11 = 2. 【答案】2 例8. 6.（xx陜西卷文）若,則的值為 A. 2 B.0 C. D. 答案 C 解析 由題意容易發(fā)現 ,則 , 同理可以得出 ,……… 亦即前xx項和為0, 則原式== 故選C.