2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1
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2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1
3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例
[導(dǎo)入新知]
1.常見(jiàn)的函數(shù)模型
(1)正比例函數(shù)模型:f(x)=kx(k為常數(shù),k≠0);
(2)反比例函數(shù)模型:f(x)=(k為常數(shù),k≠0);
(3)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);
(4)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);
(5)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1);
(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1);
(7)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1).
2.建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的框圖表示
[化解疑難]
求解函數(shù)應(yīng)用題的程序
二次函數(shù)模型
[例1] 已知某種商品漲價(jià)x成(1成=10%)時(shí),每天的銷售量減少x(其中x>0)成.
(1)應(yīng)該漲價(jià)多少,才能使每天的營(yíng)業(yè)額(售出的總金額)最大?
(2)如果適當(dāng)漲價(jià),能使每天的營(yíng)業(yè)額增加,求x的取值范圍.
[解] 設(shè)商品原價(jià)格為m,每天的原銷售量為n,則每天的原營(yíng)業(yè)額為mn,漲價(jià)后每天的營(yíng)業(yè)額為y=mn.
(1)y=mn
=mn.
當(dāng)x=,即漲價(jià)125%時(shí),每天的營(yíng)業(yè)額最大.
(2)要使?jié)q價(jià)后每天的營(yíng)業(yè)額比原來(lái)增加,
則需mn>mn,
即2x2-5x<0,變形得x(2x-5)<0.
又x>0,故0<x<.
∴x的取值范圍為.
[類題通法]
利用二次函數(shù)模型解決問(wèn)題的方法
在函數(shù)模型中,二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)解析式后,可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值,從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題.
[活學(xué)活用]
[活學(xué)活用]
如圖所示,已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上.
(1)設(shè)MP=x米,PN=y(tǒng)米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;
(2)求矩形BNPM面積的最大值.
解:(1)作PQ⊥AF于Q,
所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.
又△EPQ∽△EDF,
所以=,即=.
所以y=-x+10,定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}.
(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S平方米,
則S(x)=xy=x=-(x-10)2+50,
S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),且其圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=10,
所以當(dāng)x∈[4,8]時(shí),S(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=8時(shí),矩形BNPM的面積取得最大值,為48平方米.
分段函數(shù)模型
[例2] 提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值(精確到1輛/時(shí)).
[解] (1)由題意,當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60;
當(dāng)20<x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b(a≠0),
再由已知得
解得
故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為
v(x)=
(2)依題意并結(jié)合(1)可得
f(x)=
當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為6020=1 200;
當(dāng)20<x≤200時(shí),f(x)=x(200-x)=-(x-100)2+≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí),等號(hào)成立.
所以,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值.
綜上,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333.
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/時(shí).
[類題通法]
構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)
建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點(diǎn),即明確自變量的取值區(qū)間,對(duì)每一區(qū)間進(jìn)行分類討論,從而寫(xiě)出函數(shù)的解析式.
[活學(xué)活用]
某醫(yī)療研究所開(kāi)發(fā)一種新藥,如果成人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè):服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿足如圖所示的曲線.
(1)寫(xiě)出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于4 μg時(shí)治療疾病有效,假若某病人一天中第一次服藥為上午7:00,問(wèn):一天中怎樣安排服藥時(shí)間(共4次)效果最佳?
解:(1)依題意得y=
(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí),則-t1+=4,解得t1=4,因而第二次服藥應(yīng)在11:00.
設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí),則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和,即有-t2+-(t2-4)+=4,解得t2=9,故第三次服藥應(yīng)在16:00.
設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3(t3>10)小時(shí),則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完,血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和-(t3-4)+-(t3-9)+=4,解得t3=13.5,故第四次服藥應(yīng)在20:30.
指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型
[例3] 一片森林原來(lái)面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù),且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止,森林面積為a.
(1)求p%的值.
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)該森林今后最多還能砍伐多少年?
[解] (1)由題意得a(1-p%)10=,
即(1-p%)10=,解得p%=1-.
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年森林面積為a,
則a(1-p%)m=a,即=,
=,解得m=5.
故到今年為止,已砍伐了5年.
(3)設(shè)從今年開(kāi)始,n年后森林面積為
a(1-p%)n.
令a(1-p%)n≥a,
即(1-p%)n≥,
≥,得≤,解得n≤15,
故今后最多還能砍伐15年.
[類題通法]
指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用
在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題??梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示.通??梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.
[活學(xué)活用]
某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場(chǎng)要求,雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%,若初時(shí)含雜質(zhì)2%,每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少,問(wèn):至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求?(已知: lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
解:依題意,得n≤,即n≤.
則n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),
故n≥≈7.4,考慮到n∈N,即至少要過(guò)濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求.
[典例] (12分)甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村甲魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)律(總產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查,提供了兩個(gè)方面的信息,分別得到如下兩圖.
甲調(diào)查表明:每個(gè)甲魚(yú)池平均出產(chǎn)量從第一年1萬(wàn)只甲魚(yú)上升到第六年2萬(wàn)只;
乙調(diào)查表明:甲魚(yú)池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減到第六年10個(gè).
請(qǐng)你根據(jù)提供的信息說(shuō)明:
(1)第二年甲魚(yú)池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚(yú)總數(shù).
(2)到第六年,這個(gè)縣的甲魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第一年是擴(kuò)大了還是縮小了?說(shuō)明理由.
(3)哪一年的規(guī)模最大?說(shuō)明理由.
[解題流程]
[活學(xué)活用]
某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品,在市場(chǎng)銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系:
銷售單價(jià)x/元
30
40
45
50
日銷售量y/件
60
30
15
0
(1)在坐標(biāo)系中,根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);
(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元,根據(jù)上述關(guān)系式寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí),才能獲得最大日銷售利潤(rùn).
解:實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,由圖可知y是x的一次函數(shù).
(1)設(shè)f(x)=kx+b,
則
解得
∴f(x)=-3x+150,30≤x≤50,檢驗(yàn)成立.
(2)P=(x-30)(-3x+150)
=-3x2+240x-4 500,30≤x≤50,
∴對(duì)稱軸x=-=40∈[30,50].
答:當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí),才能獲得最大日銷售利潤(rùn).
[隨堂即時(shí)演練]
1.某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),第二個(gè)月銷售200臺(tái),第三個(gè)月銷售400臺(tái),第四個(gè)月銷售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x(1≤x≤4,x∈N*)之間關(guān)系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=502x D.y=100x
解析:選C 當(dāng)x=4時(shí),A中,y=400;B中,y=700;C中,y=800;D中,y=1004.故選C.
2.已知A,B兩地相距150千米,某人開(kāi)汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地,則汽車離開(kāi)A地的距離x關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)解析式是( )
A.x=60t
B.x=150-50t
C.x=
D.x=
解析:選D 顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過(guò)程中行車速度是不同的,故應(yīng)分三段表示函數(shù).
3.由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展,計(jì)算機(jī)的成本不斷降低,若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低,則現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)15年后的價(jià)格應(yīng)降為_(kāi)_______元.
解析:y=a,所以當(dāng)x=15時(shí),y=8 1003=8 100=2 400(元).
答案:2 400
4.如圖所示,折線是某電信局規(guī)定打長(zhǎng)途電話所需要付的電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系圖象,根據(jù)圖象填空:
(1)通話2分鐘,需付的電話費(fèi)為_(kāi)_______元;
(2)通話5分鐘,需付的電話費(fèi)為_(kāi)_______元;
(3)如果t≥3,則電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______.
解析:(1)由題圖可知,當(dāng)t≤3時(shí),電話費(fèi)都是3.6元.
(2)由題圖可知,當(dāng)t=5時(shí),y=6,即需付電話費(fèi)6元.
(3)當(dāng)t≥3時(shí),y關(guān)于x的圖象是一條直線,且經(jīng)過(guò)(3,3.6)和(5,6)兩點(diǎn),故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kt+b,
則
解得
故y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=1.2t(t≥3).
答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
5.在扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣(mài)店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開(kāi)支3 600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息).在甲提供的資料中:①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;②該店月銷量Q(百件)與銷量?jī)r(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示;③每月需各種開(kāi)支2 000元.
(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每百件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;
(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?
解:設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)元,
則由題設(shè)得L=Q(P-14)100-3 600-2 000,①
由銷量圖易得Q=
代入①式得
L=
(1)當(dāng)14≤P≤20時(shí),Lmax=450元,此時(shí)P=19.5元;
當(dāng)20<P≤26時(shí),Lmax=元,此時(shí)P=元.
故當(dāng)P=19.5元時(shí),月利潤(rùn)余額最大,為450元.
(2)設(shè)可在n年后脫貧,依題意有12n450-50 000-58 000≥0,解得n≥20.即最早可望在20年后脫貧.
[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]
一、選擇題
1.一個(gè)模具廠一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的m倍,那么該模具廠這一年中產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率是( )
A. B.
C.-1 D.-1
解析:選D 設(shè)每月的產(chǎn)量增長(zhǎng)率為x,1月份產(chǎn)量為a,則a(1+x)11=ma,所以1+x=,即x=-1.
2.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4 000輛次,存車費(fèi)為:電動(dòng)自行車0.3元/輛,普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存車x輛次,存車費(fèi)總收入為y元,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為( )
A.y=0.2x(0≤x≤4 000)
B.y=0.5x(0≤x≤4 000)
C.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
D.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
解析:選C 由題意得y=0.3(4 000-x)+0.2x=-0.1x+1 200.
3.下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)此圖得到的以下說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)是( )
(1)這幾年生活水平逐年得到提高;
(2)生活費(fèi)收入指數(shù)增長(zhǎng)最快的一年是2013年;
(3)生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2014年;
(4)雖然2015年生活費(fèi)收入增長(zhǎng)緩慢,但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低,因而生活水平有較大的改善.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選C 由題意知,“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的,故(1)正確;“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2013~2014年最陡;故(2)正確;“生活價(jià)格指數(shù)”在2014~2015年比較平緩,故(3)不正確;“生活價(jià)格指數(shù)”略呈下降,而“生活費(fèi)收入指數(shù)”呈上升趨勢(shì),故(4)正確.
4.某公司招聘員工,面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算,計(jì)算公式為y=
其中,x代表擬錄用人數(shù),y代表面試人數(shù),若面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為( )
A.15 B.40
C.25 D.130
解析:選C 若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用25人.
5.某城市出租汽車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:起步價(jià)為6元,行程不超過(guò)2千米者均按此價(jià)收費(fèi);行程超過(guò)2千米,超過(guò)部分按3元/千米收費(fèi)(不足1千米按1千米計(jì)價(jià));另外,遇到堵車或等候時(shí),汽車雖沒(méi)有行駛,但仍按6分鐘折算1千米計(jì)算(不足1千米按1千米計(jì)價(jià)).陳先生坐了一趟這種出租車,車費(fèi)24元,車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒,那么陳先生此趟行程的取值范圍是( )
A.[5,6) B.(5,6]
C.[6,7) D.(6,7]
解析:選B 若按x(x∈Z)千米計(jì)價(jià),則6+(x-2)3+23=24,得x=6.故實(shí)際行程應(yīng)屬于區(qū)間(5,6].
二、填空題
6.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2 000ln.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.
解析:當(dāng)v=12 000時(shí),2 000ln=12 000,
∴l(xiāng)n=6,∴=e6-1.
答案:e6-1
7.一水池有2個(gè)進(jìn)水口、1個(gè)出水口,2個(gè)進(jìn)水口的進(jìn)水速度如圖甲、乙所示,出水口的排水速度如圖丙所示,某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丁所示.
給出以下3個(gè)論斷:
①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;
②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;
③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水.
其中一定正確的論斷序號(hào)是________.
解析:從0點(diǎn)到3點(diǎn),兩個(gè)進(jìn)水口的進(jìn)水量為9,故①正確;由排水速度知②正確;4點(diǎn)到6點(diǎn)可以是不進(jìn)水,不出水,也可以是開(kāi)一個(gè)進(jìn)水口(速度快的)、一個(gè)排水口,故③不正確.
答案:①②
8.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門(mén)審批后方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸,將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境,環(huán)保部門(mén)應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是________年.
解析:由題意知,第一年產(chǎn)量為a1=123=3;
以后各年產(chǎn)量分別為
an=f(n)-f(n-1)
=n(n+1)(2n+1)-n(n-1)(2n-1)
=3n2(n∈N*),
令3n2≤150,得1≤n≤5?1≤n≤7,
故生產(chǎn)期限最長(zhǎng)為7年.
答案:7
三、解答題
9.某租車公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí),可全部租出,當(dāng)每輛車的月租金每增加60元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛,租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)160元,未租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)40元.
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 900元時(shí),能租出多少輛車?
(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí),租車公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解:(1)租金增加了900元,90060=15,
所以未租出的車有15輛,一共租出了85輛.
(2)設(shè)租金提高后有x輛未租出,則已租出(100-x)輛.
租賃公司的月收益為y元,
y=(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-40x,
其中x∈[0,100],x∈N,
整理,得y=-60x2+3 120x+284 000
=-60(x-26)2+324 560,
當(dāng)x=26時(shí),y=324 560,
即最大月收益為324 560元.
此時(shí),月租金為3 000+6026=4 560(元).
10.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年需投入固定成本0.5萬(wàn)元,此外每生產(chǎn)1百件這樣的產(chǎn)品,還需增加投入0.25萬(wàn)元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為5百件,產(chǎn)品銷售數(shù)量為t(百件)時(shí),銷售所得的收入為萬(wàn)元.
(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品得到的利潤(rùn)為當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)f(x),求f(x);
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多大時(shí)當(dāng)年所獲得的利潤(rùn)最大.
解:(1)當(dāng)x≤5時(shí),f(x)=5x-x2-(0.25x+0.5)=-+x-;
當(dāng)x>5時(shí),f(x)=55-52-(0.25x+0.5)=12-x;
所以f(x)=
(2)當(dāng)0<x≤5時(shí),f(x)=-+x-=-2+,
故當(dāng)x=百件=475件時(shí),f(x)max=(萬(wàn)元);
當(dāng)x>5時(shí),f(x)=12-x<12-<.
故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為475件時(shí),當(dāng)年獲得的利潤(rùn)最大.
11.國(guó)慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下,飛機(jī)票價(jià)格為900元;若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多1人,飛機(jī)票價(jià)格就減少10元,直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行團(tuán)乘飛機(jī),旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元.
(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);
(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?
解:(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x,飛機(jī)票價(jià)格為y元,
則y=
即y=
(2)設(shè)旅行社獲利S元,
則S=
即S=
因?yàn)镾=900x-15 000在區(qū)間(0,30]上單調(diào)遞增,當(dāng)x=30時(shí),S取最大值12 000,
又因?yàn)镾=-10(x-60)2+21 000在區(qū)間(30,75]上,
當(dāng)x=60時(shí),S取最大值21 000.
故當(dāng)x=60時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn).
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