., , , 1 1相似與或說矩陣的相似矩陣是則稱使若有可逆矩陣階矩陣都是設(shè)定義BAAB BAPP PnBA 證 明相似與BA APPPEPBE 11 PAEP 1 PAEP 1 .AE BAPPP 1,使得可逆陣., , 1 的 特 征 值 亦 相 同與從 而式 相 同 的 特 征 多 項與則相 似與階 矩 陣若定 理 BA BABAn 推 論 若 階 方 陣 A與 對 角 陣n n 21 ., 21 個 特 征 值的即 是則相 似 nAn ., , 1對角化這就稱為把方陣為對角陣使若可找到可逆矩陣階方陣對AAPP PAn證 明 , 1為對角陣使假設(shè)存在可逆陣 APPP ., 21 npppPP 用其列向量表示為把. )( 2 個 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量有的 充 分 必 要 條 件 是 能 對 角 化即與 對 角 矩 陣 相 似階 矩 陣定 理 nA AAn nnn ppppppA 212121 ,即 ., 2211 nn ppp nn ApApAppppA , 2121 .,2,1 nipAp iii 于是有 nppp , 211 ,1 PAPAPP得由 ., 的特征向量的對應(yīng)于特征值就是的列向量而的特征值是可見i iiA pPA ., 21線性無關(guān)所以可逆又由于npppP 命題得證. , , PAP Pnn nA使陣個特征向量即可構(gòu)成矩這個特征向量得并可對應(yīng)地求個特征值恰好有由于反之 說 明 如 果 階 矩 陣 的 個 特 征 值 互 不 相 等 ，則 與 對 角 陣 相 似 推 論 n AA n如果 的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能對角化，但如果能找到 個線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化A An n A 163 053 064A設(shè)A能否對角化？若能對角, P則求出可逆矩陣化例 1 .1為對角陣使APP解 163 053 064 AE 21 2 .2,1 321 的全部特征值為所以A 得方程組代入將0121 xAE 000 000 021063 063 063AE解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解系得方程組的基礎(chǔ)代入將,022 3 xAE .1,1,13 T ., 321線性無關(guān)由于 110 101 102, 321 P令.200 010 001 1 APP則有所以 可對角化.A 注 意 , , 213 P若令111 012 100. 1 APP則有00 00 002 1 1即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)P