對 數(shù) 與 對 數(shù) 運 算安 慶 五 中 聶 斌 對數(shù)的定義：一般地，如果 ax=N （a0，a1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作 x=logaN其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。 Nalog對 數(shù)真數(shù)底數(shù) Nax xNa log求,即求當(dāng)x取什么時，N alog Nax Nalog請問：的N可以取負數(shù)和嗎？切記：N0a的取值范圍是什么？1,0 aa且 Nalog )0,1,0( Naa且負數(shù)和沒有對數(shù) 16log,1log,0log),1(log )2(132 有意義嗎？xy 01.113那么經(jīng)過多少年后，我國的人口數(shù)可達億？回顧：下面介紹兩種特殊對數(shù)：常用對數(shù)：我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并記做N 10logNlg自然對數(shù)：無理數(shù)e=2.71828,以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并記做Nelog .ln N 當(dāng) a0，a1 時NxNa ax log底數(shù)指數(shù) 冪底數(shù)真數(shù)對數(shù)由上述關(guān)系，可實現(xiàn)對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。 思 考 : ?1log a ?log aa ? log Naa Nab bNa log請問:由 可得:Nax ,93,162 24 .?log?,9log?,16log 32 Na總 結(jié) :求 以 a為 底 N的 對 數(shù) ,實 質(zhì) 就 是 求 出 a的 多 少 次 方 等 于 N. 例 1 將 下 列 指 數(shù) 式 化 成 對 數(shù) 式 ,對 數(shù) 式 化 為 指 數(shù) 式： 6412 )2( 6- 73.531 )3( m ;6255 )1( 4 416log)4( 21 201.0lg)5( 303.210ln)6( Nab bNa log 例 2 求 下 列 各 式 中 x的 值 ： )5( xxx 2x64 lne-(4) 100lg)3( 68(2)log 32log)1( 2)223(log)5( x 0)(loglog)6( 25 x 例3 計算下列各式:(1) 25log5 (2) 161log2 (3) 15log15(1) 解: 225log 255 52 (2) 解: 4161log 1612 24 (3) 解: 115log15 對 于 冪 的 運 算 我 們 有 三 條 運 算 法 則 .現(xiàn) 在 我 們 學(xué) 習(xí)了 對 數(shù) ,那 么 對 于 對 數(shù) 之 間 的 運 算 ,又 會 有 什 么 樣 的 運算 性 質(zhì) 呢 ?冪的運算的三條法則: ),0,0()()3( ),0()()2( ),0()1( Rrbabaab Rsraaa Rsraaaa rrr rssr srsr 計算下列各式: 4log2)2(4log)1.(3 2log4log)2(24log)1.(2 9log3log)2()93(log)1.(1 222 222 333 我們有：4log24log 2log4log24log 9log3log)93(log 222 222 333 能否得到如果那么，且,0,01,0 NMaa MnM NMNM NMNM ana aaa aaa loglog)3( logloglog)2( loglog)(log)1( MnM NMNM NMNM ana aaa aaa loglog)3( logloglog)2( loglog)(log)1( 如果那么，且,0,01,0 NMaa對 數(shù) 運 算 的 三 條 運 算 法 則 ：對 于 上 面 的 每 一 條 運 算 法 則 ， 都 要 注 意 只 有 當(dāng) 式 子中 所 有 的 對 數(shù) 符 號 都 有 意 義 時 ， 等 式 才 成 立 對嗎？請問：)5(log)3(log)5()3(log 222 例用表示下列各式：zyx aaa log,log,log 32log)2(log)1( zyxzxy aa例計算下列各式： 5572 100lg)2();24(log)1( 練 習(xí) 、 求 下 列 各 式 的 值 ：探究換底公式： )0;1,0;1,0(log loglog bccaab aba cc且且如何推導(dǎo)？18lg7lg37lg214lg (1)(2) 2lg20lg5lg8lg325lg2 2(3) 7.0lg20lg )21lg(7lg (4) 7.0lg20lg )21(7 )0;1,0;1,0(log loglog bccaab aba cc且且證明： .logloglog ,loglog ,loglog ,loglog ,log abb abp bap ba cba bp cca cc cc cpcp a 即所以則有為底的對數(shù)兩邊取以，則令 例7 利用換底公式可得: 2log12log 3log3log 3332 請利用同樣的方法證明:ab ba log1log 例8 證明 .NN amam loglog 例9 計算8log7log3log 732 bye!(請 記 住 )(請 記 住 )計算: 16log 2例10 27log 9例11 32log9log 278 x01.113 x01.11318 例1 1999底 我 國 人 口 為 13億 ,人 口 增 長 的 年 平 均 增 長 率 為1%,則 x年 后 ， 我 國 的 人 口 數(shù) 為 ； 若 問 多 少 年 后我 國 的 人 口 達 到 18億 ， 即 解 方 程 ， 則1318log 01.1x而 如 果 計 算 器 只 能 求 10,e為 底 的 對 數(shù) ， 那 該 怎 么 辦 ？方 法：進行換底，把底換成以10，或者換成以e為底01.1lg 13118lg01.1lg 1318lg1318log 01.1 gx 01.1ln 13ln18ln01.1ln 1318ln1318log 01.1 x或者 例20世紀(jì)30年代，里克特 (C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測量儀 2lg5lg)7( 15log5log)6(000001.0lg)5( 3log6log)4(31log3log)3( 100lg)2()927(log)1( 33 2255 223