《高數(shù)第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、總 界 面 結(jié) 束 濟(jì) 南 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 第 九 章 多 元 函 數(shù) 微 分 法 及 其 應(yīng) 用 第 九 章 多 元 函 數(shù) 微 分 法 及 其 應(yīng) 用第 一 節(jié) 多 元 函 數(shù) 的 基 本 概 念 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2 ，)(xfy 一 元 函 數(shù) 映 射 ： .RRIf ：二 元 函 數(shù) ， 映 射 ： .2 RRDf ：一 元 函 數(shù) 的 鄰 域 .0設(shè) , 鄰 域的稱 為 點(diǎn)數(shù) 集 aaxx ).,( aUo記 作,叫 做 這 鄰 域 的 中 心點(diǎn) a .叫 做 這 鄰 域 的 半 徑 .),( axaxaU xaa a ,鄰 域

2、的 去 心 的點(diǎn) a .0),( axxaUo 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 3 一 、 平 面 點(diǎn) 集 0P),( 0 PU | 0PPP .)()(|),( 2020 yyxxyx 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 4 (1) 內(nèi) 點(diǎn) 、 外 點(diǎn) 、 邊 界 點(diǎn)設(shè) 有 點(diǎn) 集 E 及 一 點(diǎn) P : 若 存 在 點(diǎn) P 的 某 鄰 域 U(P) E , 若 存 在 點(diǎn) P 的 某 鄰 域 U(P) E = , 若 對(duì) 點(diǎn) P 的 任 一 鄰 域 U(P) 既 含 E中 的 內(nèi) 點(diǎn) 也 含 EE則 稱 P 為 E 的 內(nèi) 點(diǎn) ；則 稱 P 為

3、E 的 外 點(diǎn) ;則 稱 P 為 E 的 邊 界 點(diǎn) .的 外 點(diǎn) ,顯 然 , E 的 內(nèi) 點(diǎn) 必 屬 于 E , E 的 外 點(diǎn) 必 不 屬 于 E , E 的邊 界 點(diǎn) 可 能 屬 于 E, 也 可 能 不 屬 于 E . 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 5 若 對(duì) 任 意 給 定 的 ,點(diǎn) P 的 去 心),PU( E鄰 域 內(nèi) 總 有 E 中 的 點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的 聚 點(diǎn) .聚 點(diǎn) 可 以 屬 于 E , 也 可 以 不 屬 于 E (因 為 聚 點(diǎn) 可 以 為 E 的 邊 界 點(diǎn) ) 41),( 221 yxyxE例 如 ， xyo 第 九 章

4、總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 6 D 若 點(diǎn) 集 E 的 點(diǎn) 都 是 內(nèi) 點(diǎn) ， 則 稱 E 為 開 集 ； 若 點(diǎn) 集 E E , 則 稱 E 為 閉 集 ； 若 集 D 中 任 意 兩 點(diǎn) 都 可 用 一 完 全 屬 于 D 的 折 線 相 連 , 開 區(qū) 域 連 同 它 的 邊 界 一 起 稱 為 閉 區(qū) 域 .則 稱 D 是 連 通 的 ; 連 通 的 開 集 稱 為 開 區(qū) 域 ,簡(jiǎn) 稱 區(qū) 域 ; 。 。 E 的 邊 界 點(diǎn) 的 全 體 稱 為 E 的 邊 界 , 記 作 E ; 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 7 例 如 ， 在 平 面 上

5、0),( yxyx 41),( 22 yxyx 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 開 區(qū) 域閉 區(qū) 域 xyO xy 21OxyO xy 21O 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 8 整 個(gè) 平 面 點(diǎn) 集 1),( xyx 是 開 集 ，是 最 大 的 開 域 , 也 是 最 大 的 閉 域 ;但 非 區(qū) 域 . 1 1 對(duì) 區(qū) 域 D , 若 存 在 正 數(shù) K , 使 一 切 點(diǎn) PD 與 某 定 點(diǎn) A 的 距 離 AP K , 則 稱 D 為 有 界 域 , 界 域 . 否 則 稱 為 無xyO 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié)

6、束 9 二 、 多 元 函 數(shù) 的 概 念 定 義 1. 設(shè) 非 空 點(diǎn) 集 ,nD R DPPfu ,)(或點(diǎn) 集 D 稱 為 函 數(shù) 的 定 義 域 ; 數(shù) 集 DP,Pfuu )(稱 為 函 數(shù) 的 值 域 .特 別 地 , 當(dāng) n = 2 時(shí) , 有 二 元 函 數(shù) 2),(),( R Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí) , 有 三 元 函 數(shù) 3),(),( R Dzyxzyxfu 映 射 RDf : 稱 為 定 義在 D 上 的 n 元 函 數(shù) , 記 作 ),( 21 nxxxfu 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 10 x z y例 如 , 二 元 函 數(shù)

7、221 yxz 定 義 域 為 1),( 22 yxyx圓 域說 明 : 二 元 函 數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖 形 為 中 心 在 原 點(diǎn) 的 上 半 球 面 .,)sin(, yxz又 如的 圖 形 一 般 為 空 間 曲 面 . 12),( Ryx三 元 函 數(shù) )arcsin( 222 zyxu 定 義 域 為 1),( 222 zyxzyx圖 形 為 4R 空 間 中 的 超 曲 面 .單 位 閉 球 x yzOOO 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 11 二 、 多 元 函 數(shù) 的 極 限如 果 動(dòng) 點(diǎn) ),( yx 與 定 點(diǎn) ),(

8、 00 yx 之 間 的 距 離趨 于 零 ， 就 稱 動(dòng) 點(diǎn) ),( yx 趨 于 定 點(diǎn) ),( 00 yx ， 記 作 ),(),( 00 yxyx 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 12 定 義 2. 設(shè) 二 元 函 數(shù) ,),()( DyxfPf 的 定 義 域 為 ,),(),( 0 PUDyxP 當(dāng) ,AyxfAPf ),()(則 稱 A為 函 數(shù) 若 存 在 常 數(shù) A ,記 作 ，時(shí) 的 極 限當(dāng) ),(),(),( 00 yxyxyxf 都 有對(duì) 任 意 正 數(shù) , ,),( 000 的 聚 點(diǎn)是 DyxP總 存 在 正 數(shù) , Ayxfyxyx ),

9、(lim ),(),( 00 Ayxf ),(),(),( 00 yxyx 或二 元 函 數(shù) 的 極 限 也 叫 二 重 極 限 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 13 例 1. 設(shè) )0(1sin)(),( 222222 yxyxyxyxf求 證 : .0),(lim )0,0(),( yxfyx證 : 01sin)( 2222 yxyx故 0),(lim )0,0(),( yxfyxx,0 0),( yxf ,0 22 時(shí)當(dāng) yx 22 yx 2 22 yx , 總 有 要 證 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 14 若 當(dāng) 點(diǎn) ),( yxP趨

10、 于 不 同 值 或 有 的 極 限 不 存 在 ，解 : 設(shè) P(x , y) 沿 直 線 y = k x 趨 于 點(diǎn) (0, 0) ,22),( yx yxyxf 222 200 lim),(lim xkx xkyxf xkxyx 在 點(diǎn) (0, 0) 的 極 限 .),( yxf故 則 可 以 斷 定 函 數(shù) 極 限則 有21 kkk 值 不 同 極 限 不 同 !在 (0,0) 點(diǎn) 極 限 不 存 在 .以 不 同 方 式 趨 于 ,),( 000 時(shí)yxP不 存 在 .例 2. 討 論 函 數(shù) 函 數(shù) 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 15 例 3 求 .)si

11、n(lim )2,0(),( xxyyx 解 xxyyx )sin(lim )2,0(),( yxyxyyx )sin(lim )2,0(),( yxyxy yyx 2)2,0(),( lim)sin(lim 2 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 16 定 義 3三 、 多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 17 ).()(lim )()( )()(lim 00 0 00 PfPfP PfPfP PfPf PPPP 處 連 續(xù) ， 于 是點(diǎn) 在的 定 義 域 的 內(nèi) 點(diǎn) ， 則是數(shù) ， 且 是 初 等 函時(shí) ， 如 果一

12、般 地 ， 求 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 18 例 4 求 .lim )2,1(),( xyyxyx 解 xyyxyx )2,1(),( lim 21 21 .23 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 19 例 5 .11lim )0,0(),( xyxyyx 求解 )11( 11lim )0,0(),( xyxy xyyx 111lim )0,0(),( xyyx .21xyxyyx 11lim )0,0(),( 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 20 閉 區(qū) 域 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 在 有 界 閉 區(qū) 域 D上 的 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) ， 在 D上 至 少 取 得 它 的 最 大 值 和 最 小 值 各 一 次 在 有 界 閉 區(qū) 域 D上 的 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) ， 如果 在 D上 取 得 兩 個(gè) 不 同 的 函 數(shù) 值 ， 則 它 在 D上取 得 介 于 這 兩 值 之 間 的 任 何 值 至 少 一 次 （ 1） 最 大 值 和 最 小 值 定 理（ 2） 介 值 定 理 第 九 章 總 界 面 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 21