2 .3 .2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2 .3 .3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 讀 教 材 填 要 點(diǎn) 1平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解成兩個(gè) 的向量，叫做把向量正交分解 2平面向量的坐標(biāo)表示 (1)向量的坐標(biāo)表示： 在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè) i,j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得a ，則把有序數(shù)對(duì) 叫做向量a的坐標(biāo)記作 ，此式叫做向量的坐標(biāo)表示 (2)在直角坐標(biāo)平面中，i ，j ，0 互相垂直向量(x，y) xiyja(x，y)(1,0) (0,1) (0,0)單位 3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加、減法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，ab 即兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量 的和(差)實(shí)數(shù)與向量的積若a(x，y)，R，則a ，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的向量的坐標(biāo)已知向量 的起點(diǎn)A(x1，y1)，終點(diǎn)B(x2，y2)，則 ，即向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2)相應(yīng)坐標(biāo)(x，y)相應(yīng)坐標(biāo)(x 2x1，y2y1)ABAB 小 問(wèn) 題 大 思 維 1與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ 提示：與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0，即a(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0，即b(0，y) 2已知向量 (1，2)，M點(diǎn)的坐標(biāo)與 的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 提示：坐標(biāo)相同但寫法不同； (1，2)，而M(1，2) OM OMOM 3在基底確定的條件下，給定一個(gè)向量它的坐標(biāo)是唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，給定一對(duì)實(shí)數(shù)，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無(wú)窮多個(gè)，這些向量都是相等向量 4向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎？ 提示：不發(fā)生變化.向量確定以后，它的坐標(biāo)就被唯一確定，所以向量在平移前后，其坐標(biāo)不變 研 一 題 悟 一 法 向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系，只與其相對(duì)位置有關(guān)系因此，求向量a的坐標(biāo)，關(guān)鍵是正確求出其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo) 通 一 類 研 一 題 悟 一 法 1向量的幾種運(yùn)算體系： (1)向量有三種運(yùn)算體系，即幾何表示下的圖形上的幾何運(yùn)算，字母表示下的運(yùn)算和坐標(biāo)表示下的代數(shù)運(yùn)算 (2)幾何表示下的幾何運(yùn)算應(yīng)注意三角形法則、平行四邊形法則；字母表示時(shí)，注意運(yùn)算律的應(yīng)用；坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)要牢記公式，細(xì)心計(jì)算 2向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則 通 一 類 答案：B 研 一 題 保持例題條件不變，問(wèn)t為何值時(shí)，B為線段AP的中點(diǎn)？ 悟 一 法 1如果兩個(gè)向量是相等向量，那么它們的坐標(biāo)一定對(duì)應(yīng)相等當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)相同 2證明一個(gè)四邊形為平行四邊形，可證明該四邊形的一組對(duì)邊所對(duì)應(yīng)的向量相等 通 一 類 3已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐標(biāo)解：(1)由vf(u)可得當(dāng)u(x，y)時(shí)，有v(y,2yx)f(u)，從而f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1) 若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求a與b的坐標(biāo) 點(diǎn)評(píng)法一利用模的概念和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)解方程組來(lái)求解，思路自然嚴(yán)謹(jǐn)；法二利用了“三角換元”，借助三角公式簡(jiǎn)化了運(yùn)算；法三利用了數(shù)形結(jié)合，解法直觀，簡(jiǎn)潔明了