第 二 章 概率 1離散型隨機(jī)變量及其分布列 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 下 列 隨 機(jī) 變 量 中 某 電 話(huà) 亭 內(nèi) 的 一 部 電 話(huà) 1小 時(shí) 內(nèi) 使 用 的 次 數(shù) 記 為 X； 某 人 射 擊 2次 ， 擊 中 目 標(biāo) 的 環(huán) 數(shù) 之 和 記 為 X； 測(cè) 量 一 批 電 阻 ， 阻 值 X在 950 1 200之 間 ； 一 個(gè) 在 數(shù) 軸 上 隨 機(jī) 運(yùn) 動(dòng) 的 質(zhì) 點(diǎn) ， 它 在 數(shù) 軸 上 的 位 置 記 為X. 其 中 X是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 是 提示：中變量X所有可能取值是可以一一列舉出來(lái)的，是離散型隨機(jī)變量，而中的結(jié)果不能一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量 (1)將 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 中 試 驗(yàn) (或 觀(guān) 測(cè) )的 每 一 個(gè) 可 能 的 結(jié) 果 都_， 這 種 對(duì) 應(yīng) 稱(chēng) 為 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 (2)隨 機(jī) 變 量 通 常 用 大 寫(xiě) 的 英 文 字 母 表 示 ， 如 _等 隨 機(jī) 變 量 的 取 值 能 夠 _， 這 樣 的 隨 機(jī) 變量 稱(chēng) 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 1隨機(jī)變量的概念及其表示2離散型隨機(jī)變量對(duì) 應(yīng) 一 個(gè) 數(shù) X， Y一 一 列 舉 出 來(lái) 隨機(jī)變量概念的理解在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)確定的數(shù)字表示，這些數(shù)字就隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，就是隨機(jī)變量，應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：(1)試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的，明確的，并且不止一個(gè)(2)隨機(jī)變量具有不確定性，即在試驗(yàn)之前不能確定試驗(yàn)結(jié)果 (3)若X是隨機(jī)變量，則YaXb(a，b是常數(shù))也是隨機(jī)變量(4)函數(shù)與隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系隨機(jī)變量和函數(shù)一樣，也是一個(gè)映射隨機(jī)變量是人為地把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)函數(shù)是把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù)在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域所以隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件 (1)定 義 ： 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 取 值 為 a1， a2， ， 隨 機(jī)變 量 X取 ai的 概 率 為 pi(i 1,2， )， 記 作 _. 或 把 式 列 成 如 下 表 格 ：上 述 表 格 或 式 稱(chēng) 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 列 3離散型隨機(jī)變量的分布列X ai a1 a2 P(X ai) p1 p2 P(X ai) pi(i 1,2 ) 隨機(jī)變量的分布列的理解1PiP(xi)P(Ai)(i1,2，n)，要求離散型隨機(jī)變量的分布列，就要求出P(xi)(i1,2，n)而P(xi)P(Ai)，要求基本事件Ai的概率就要運(yùn)用等可能事件的概率，排列組合，分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理等知識(shí)和方法，故以前的概率知識(shí)是求分布列的基礎(chǔ)20pi1(i1,2， n)3p 1p2pn1，這可以用來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)分布列的正確與否對(duì)任何一個(gè)分布列，所有事件的概率的和為1. 1 下 列 變 量 中 ， 不 是 隨 機(jī) 變 量 的 是 ( )A 一 射 擊 手 射 擊 一 次 命 中 的 環(huán) 數(shù)B 標(biāo) 準(zhǔn) 狀 態(tài) 下 ， 水 沸 騰 時(shí) 的 溫 度C 拋 擲 兩 枚 骰 子 ， 所 得 點(diǎn) 數(shù) 之 和D 某 電 話(huà) 總 機(jī) 在 時(shí) 間 區(qū) 間 (0， T)內(nèi) 收 到 的 呼 叫 次 數(shù)解析：B中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定值答案：B 2 下 列 所 述 ： 某 座 大 橋 一 天 經(jīng) 過(guò) 的 車(chē) 輛 數(shù) X； 某 無(wú) 線(xiàn)電 尋 呼 臺(tái) 一 天 內(nèi) 收 到 尋 呼 次 數(shù) X； 一 天 之 內(nèi) 的 溫 度 X； 一位 射 擊 手 對(duì) 目 標(biāo) 進(jìn) 行 射 擊 ， 擊 中 目 標(biāo) 得 1分 ， 未 擊 中 目 標(biāo) 得 0分 ， 用 X表 示 該 射 擊 手 在 一 次 射 擊 中 的 得 分 其 中 X是 離 散 型隨 機(jī) 變 量 的 是 ( )A B C D 解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，就是看這一變量的所有取值是否可以一一列出中的X可能取的值，可以一一列舉出來(lái)，而中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，屬于連續(xù)型的，故選B答案：B 3 在 8件 產(chǎn) 品 中 ， 有 3件 次 品 ， 5件 正 品 ， 從 中 任 取 一 件 ，取 到 次 品 就 停 止 ， 抽 取 次 數(shù) 為 ， 則 3表 示 的 試 驗(yàn) 結(jié) 果 是_.解析：3表示前2次均是正品，第3次是次品答案：共 抽 取 3次 ， 前 2次 均 是 正 品 ， 第 3次 是 次 品 4 寫(xiě) 出 下 列 各 隨 機(jī) 變 量 可 能 的 值 ， 并 說(shuō) 明 隨 機(jī) 變 量 所 取的 值 所 表 示 的 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 ：(1)從 一 個(gè) 裝 有 編 號(hào) 為 1號(hào) 到 10號(hào) 的 10個(gè) 球 的 袋 中 ， 任 取 1球 ， 被 取 出 的 球 的 編 號(hào) 為 X；(2)一 個(gè) 袋 中 裝 有 10個(gè) 紅 球 ， 5個(gè) 白 球 ， 從 中 任 取 4個(gè) 球 ， 其中 所 含 紅 球 的 個(gè) 數(shù) 為 X；(3)投 擲 兩 枚 骰 子 ， 所 得 點(diǎn) 數(shù) 之 和 為 X， 所 得 點(diǎn) 數(shù) 之 和 是 偶數(shù) Y. 解析：(1)X的可能取值為1,2,3，10，Xk(k1,2，10)表示取出第k號(hào)球(2)X的可能取值為0,1,2,3,4，Xk表示取出k個(gè)紅球，4k個(gè)白球，其中k0,1,2,3,4.(3)X的可能取值為2,3,4，12，若以(i，j)表示投擲甲、乙兩枚骰子后骰子甲得i點(diǎn)且骰子乙得j點(diǎn)，則X2表示(1,1)；X3表示(1,2)，(2,1)；X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；X12表示(6,6)Y的可能取值為2,4,6,8,10,12. 課堂互動(dòng)講義 指 出 下 列 變 量 中 ， 哪 些 是 隨 機(jī) 變 量 ， 哪 些 不 是 隨機(jī) 變 量 ， 并 說(shuō) 明 理 由 (1)濟(jì) 南 長(zhǎng) 途 客 運(yùn) 總 站 侯 車(chē) 廳 中 一 天 的 旅 客 數(shù) 量 (2)每 天 游 覽 上 海 世 博 會(huì) 沙 特 館 的 人 數(shù) (3)黃 河 立 交 橋 一 天 經(jīng) 過(guò) 的 紅 旗 牌 轎 車(chē) 的 輛 數(shù) (4)面 積 為 25 cm 2的 圓 的 半 徑 隨機(jī)變量的概念 思路導(dǎo)引解答本類(lèi)題目的關(guān)鍵在于清楚隨機(jī)變量的含義，分析變量是否滿(mǎn)足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，雖然預(yù)先知道所有可能取的值，但不知道在一次試驗(yàn)中究竟會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，隨機(jī)變量會(huì)取哪一個(gè)值 解析： 序號(hào)結(jié)果原因(1)是隨機(jī)變量候車(chē)廳中旅客數(shù)量可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量(2)是隨機(jī)變量每天游覽世博會(huì)沙特館的人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的因此是隨機(jī)變量(3)是隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)黃河立交橋的紅旗牌轎車(chē)的輛數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的因此是隨機(jī)變量(4)不是隨機(jī)變量面積為25 cm 2的圓的半徑為一定值，不是隨機(jī)變量. (1)判斷一個(gè)變量是否為隨機(jī)變量，關(guān)鍵看其試驗(yàn)結(jié)果是否可變，是否能用一個(gè)變量來(lái)表示(2)隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值 1 指 出 下 列 變 量 中 ， 哪 些 是 隨 機(jī) 變 量 ， 哪 些 不 是 隨 機(jī) 變量 ， 并 說(shuō) 明 理 由 廣 州 國(guó) 際 機(jī) 場(chǎng) 候 機(jī) 室 中 一 天 的 旅 客 數(shù) 量 ； 某 人 射 擊 一 次 命 中 的 環(huán) 數(shù) ； 每 天 游 覽 北 京 鳥(niǎo) 巢 的 人 數(shù) ； 從 裝 有 3個(gè) 紅 球 ， 2個(gè) 白 球 的 袋 子 中 隨 機(jī) 摸 取 2球 ， 所 得紅 球 的 個(gè) 數(shù) ； 某 人 的 性 別 隨 年 齡 的 變 化 解析： 序號(hào)結(jié)果原因是候機(jī)室的旅客數(shù)量可能是：0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量是某人射擊一次，可能命中的環(huán)數(shù)是0,1,2，10，這11個(gè)結(jié)果中出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量是每天游覽鳥(niǎo)巢的人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量是從袋子中取球所得紅球的數(shù)量可能是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，其中究竟出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量不是某人的性別是與生俱來(lái)的不隨年齡的變化而變化，不是隨機(jī)變量. 指 出 下 列 隨 機(jī) 變 量 是 否 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 并 說(shuō)明 理 由 (1)白 熾 燈 的 壽 命 X；(2)某 加 工 廠(chǎng) 加 工 的 一 批 某 種 鋼 管 的 外 徑 與 規(guī) 定 的 外 徑 尺 寸之 差 X；(3)鄭 州 至 武 漢 的 電 氣 化 鐵 道 線(xiàn) 上 ， 每 隔 50 m 有 一 電 線(xiàn) 鐵塔 ， 從 鄭 州 至 武 漢 的 電 氣 化 鐵 道 線(xiàn) 上 將 電 線(xiàn) 鐵 塔 進(jìn) 行 編 號(hào) ， 而其 中 某 一 電 線(xiàn) 鐵 塔 的 編 號(hào) X；(4)江 西 九 江 市 長(zhǎng) 江 水 位 監(jiān) 測(cè) 站 所 測(cè) 水 位 在 (0,29這 一 范 圍內(nèi) 變 化 ， 該 水 位 站 所 測(cè) 水 位 X.離散型隨機(jī)變量的判定 思路導(dǎo)引先判斷隨機(jī)變量的取值是否可以一一列出，然后根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義作出判斷邊聽(tīng)邊記(1)白熾燈的壽命X的取值是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，而所有非負(fù)實(shí)數(shù)不能一一列出，所以X不是離散型隨機(jī)變量(2)實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量(3)是離散型隨機(jī)變量因?yàn)殡娋€(xiàn)鐵塔為有限個(gè)，其編號(hào)從1開(kāi)始可一一列出(4)不是離散型隨機(jī)變量因?yàn)樗辉?0,29這一范圍內(nèi)變化，對(duì)水位值我們不能按一定次序一一列出 判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵是看隨機(jī)變量的所有可能取值能否一一列出若能一一列出，該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則就不是 2 指 出 下 列 隨 機(jī) 變 量 是 否 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 并 說(shuō) 明 理由 (1)從 10張 已 編 好 號(hào) 碼 的 卡 片 (從 1號(hào) 到 10號(hào) )中 任 取 一 張 ，被 取 出 的 卡 片 的 號(hào) 數(shù) ；(2)一 個(gè) 袋 子 裝 有 5個(gè) 白 球 和 5個(gè) 黑 球 ， 從 中 任 取 3個(gè) ， 其 中所 含 白 球 的 個(gè) 數(shù) ；(3)某 林 場(chǎng) 樹(shù) 木 最 高 達(dá) 30 m ， 此 林 場(chǎng) 中 樹(shù) 木 的 高 度 ；(4)某 加 工 廠(chǎng) 加 工 的 某 種 鋼 管 的 長(zhǎng) 度 與 規(guī) 定 的 長(zhǎng) 度 尺 寸 之差 解析：(1)只要取出一張，便有一個(gè)號(hào)碼，因此被取出的卡片號(hào)數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義(2)從10個(gè)球中取3個(gè)球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個(gè)白球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，1個(gè)白球和2個(gè)黑球，3個(gè)黑球，即其白球的個(gè)數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義(3)林場(chǎng)樹(shù)木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取(0,30內(nèi)的一切值，無(wú)法一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量(4)實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間差值無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量 (12分 )寫(xiě) 出 下 列 各 隨 機(jī) 變 量 的 可 能 取 值 ， 并 說(shuō) 明隨 機(jī) 變 量 所 取 的 值 表 示 的 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 (1)拋 擲 甲 、 乙 兩 枚 骰 子 ， 所 得 點(diǎn) 數(shù) 之 和 Y.(2)設(shè) 一 汽 車(chē) 在 開(kāi) 往 目 的 地 的 道 路 上 需 經(jīng) 過(guò) 5盞 信 號(hào) 燈 ， Y表示 汽 車(chē) 首 次 停 下 時(shí) 已 通 過(guò) 的 信 號(hào) 燈 的 盞 數(shù) ， 寫(xiě) 出 Y所 有 可 能 取值 并 說(shuō) 明 這 些 值 所 表 示 的 試 驗(yàn) 結(jié) 果 思路導(dǎo)引寫(xiě)出隨機(jī)變量的取值表示的試驗(yàn)結(jié)果，要特別注意有時(shí)隨機(jī)變量的一個(gè)值表示多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況下，不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象 解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量所有可能的取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過(guò)程不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果 3 寫(xiě) 出 下 列 各 隨 機(jī) 變 量 的 可 能 取 值 ， 并 說(shuō) 明 隨 機(jī) 變 量 所取 的 值 表 示 的 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 (1)盒 中 裝 有 6支 白 粉 筆 和 8支 紅 粉 筆 ， 從 中 任 意 取 出 3支 ，其 中 所 含 白 粉 筆 的 支 數(shù) X；(2)從 4張 已 編 號(hào) (1號(hào) 4號(hào) )的 卡 片 中 任 意 取 出 2張 ， 被 取 出的 卡 片 號(hào) 數(shù) 之 和 X. 解析：(1)X可取0,1,2,3.Xi表示取出i支白粉筆，3i支紅粉筆，其中i0,1,2,3.(2)X可取3,4,5,6,7.其中X3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片；X4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片；X5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；X6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片；X7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片 一 個(gè) 口 袋 里 有 5 個(gè) 同 樣 大 小 的 球 ， 編 號(hào) 為1,2,3,4,5， 從 中 同 時(shí) 取 出 3個(gè) 球 ， 以 X表 示 取 出 的 球 的 最 小 編號(hào) ， 求 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 列 思路導(dǎo)引求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)找出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取的值xi(i0,1，)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格求隨機(jī)變量的分布列 求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量所有的可能取值xi(i1,2,3，n)(2)求出相應(yīng)的概率P(xxi)Pi(i1,2,3，n)(3)列成表格形式 4 一 接 待 中 心 有 A、 B、 C、 D四 部 熱 線(xiàn) 電 話(huà) ， 已 知 某 一 時(shí)刻 電 話(huà) A、 B占 線(xiàn) 的 概 率 均 為 0.5， 電 話(huà) C、 D占 線(xiàn) 的 概 率 均 為0.4， 各 部 電 話(huà) 是 否 占 線(xiàn) 相 互 之 間 沒(méi) 有 影 響 假 設(shè) 該 時(shí) 刻 有 部電 話(huà) 占 線(xiàn) 試 求 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布 列 袋 中 有 7個(gè) 球 ， 其 中 有 4個(gè) 紅 球 ， 3個(gè) 黑 球 ， 從 袋 中 任 取 3個(gè)小 球 ， 求 取 出 的 紅 球 數(shù) 的 分 布 列 及 P( 2)