2021-5-2 1 第 一 節(jié) 導 數 概 念 第 二 章 三 、 導 數 的 幾 何 意 義二 、 導 數 的 定 義一 、 引 例四 、 函 數 的 可 導 性 與 連 續(xù) 性 的 關 系五 、 小 結 與 思 考 題（ The Concept of Derivative） 2021-5-2 2 一、引 例（Introduction）1. 變 速 直 線 運 動 的 速 度設 描 述 質 點 運 動 位 置 的 函 數 為)(tfs 0t則 到 的 平 均 速 度 為0t t v )()( 0tftf 0tt 而 在 時 刻 的 瞬 時 速 度 為0t 0 limt tv 0( ) ( )f t f t 0t t 212s gt so )( 0tf )(tf t自 由 落 體 運 動 2021-5-2 3 曲 線 )(: xfyC 在 M 點 處 的 切 線割 線 M N 的 極 限 位 置 M T(當 時 ) 2. 曲 線 的 切 線 斜 率 xyo )(xfyC N T0 xM x 割 線 M N 的 斜 率 tan )()( 0 xfxf 0 xx切 線 MT 的 斜 率tank tanlim 0 limx xk 0( ) ( )f x f x 0 x x 2021-5-2 4 so 0t )( 0tf )(tf t瞬 時 速 度 lim0ttv )()( 0tftf 0tt 切 線 斜 率 xyo )(xfy C N T0 xM x lim0 xxk )()( 0 xfxf 0 xx兩個問題的共性:所 求 量 為 函 數 增 量 與 自 變 量 增 量 之 比 的 極 限 .類 似 問 題 還 有 :加 速 度角 速 度線 密 度電 流 強 度 是 速 度 增 量 與 時 間 增 量 之 比 的 極 限是 轉 角 增 量 與 時 間 增 量 之 比 的 極 限是 質 量 增 量 與 長 度 增 量 之 比 的 極 限是 電 量 增 量 與 時 間 增 量 之 比 的 極 限 變化率問題 2021-5-2 5 二、導數的定義（Definition of Derivatives）1. 函 數 在 一 點 的 導 數 與 導 函 數 定 義 1 設 函 數 )(xfy 在 點 0 x 0limx x 00( ) ( )f x f xx x 0limx yx )()( 0 xfxfy 0 xxx 存 在 , )(xf 并 稱 此 極 限 為)(xfy 記 作;0 xxy ;)( 0 xf ;dd 0 xxxy 0d )(d xxxxf 則 稱 函 數若 的 某 鄰 域 內 有 定 義 , 在 點 0 x 處 可 導 , 在 點 0 x 的 導 數 . 0 xxy )( 0 xf 0limx yx x xfxxfx )()(lim 000 h xfhxfh )()(lim 000 即 2021-5-2 6 若 上 述 極 限 不 存 在 , 在 點 不 可 導 . 0 x若 0lim ,x yx 也 稱 )(xf 在 0 x若 函 數 在 開 區(qū) 間 I 內 每 點 都 可 導 ,此 時 導 數 值 構 成 的 新 函 數 稱 為 導 函 數 .記 作 : ;y ;)(xf ;ddxy .d )(d xxf注 : )( 0 xf 0)( xxxf xxfd )(d 0 就 說 函 數 就 稱 函 數 在 I 內 可 導 . 的 導 數 為 無 窮 大 .0limxx 0 0)()( xx xfxf xyx 0lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 2021-5-2 7 由 此 可 見 ， ( )s f t so 0t )( 0tf )(tf t運 動 質 點 的 位 置 函 數在 時 刻 的 瞬 時 速 度0t lim 0ttv )()( 0tftf 0tt曲 線 : ( )C y f x 在 M 點 處 的 切 線 斜 率 xyo )(xfy C N T 0 xM x lim0 xxk )()( 0 xfxf 0 xx 0( )f t 0( )f x 2021-5-2 8 Cxf )( (C 為 常 數 ) 的 導 數 . 解 : y xCCx 0lim 0即 0)( C例 2 求 函 數 )N()( nxxf n .處 的 導 數在 ax 解 : ax afxf )()(ax lim)(af ax ax nnax lim(limax 1nx 2 nxa 32 nxa )1 na1 nan x xfxxf )()(0lim x例 1 求 函 數2. 求 導 數 舉 例 2021-5-2 9 對 一 般 冪 函 數 y x ( 為 常 數 ) 1( )x x 例 如 ， )( x )( 21 x 2121 x x21 x1 )( 1 x 11 x 21x)1( xx )( 43 x 4743 x 說 明 ： 2021-5-2 10類 似 可 證 得 : (cos ) sinx x 例 3解 : 0sin( ) sin(sin ) limh x h xx h 0 sin2limcos( )2 2h hhx h cos .x(sin ) cos .x x 4 4(sin ) cosx xx x 故2.2即 2021-5-2 11 例 4解 : h aaa xhxhx 0lim)( haa hhx 1lim0 .lnaax( ) ln .x xa a a即特 別 地 ， (e ) e .x x 2021-5-2 12 例 5解 ： 0log ( ) loglim a ah x h xy h 1(log ) .lna x x a .1)(ln xx 0log (1 ) 1lim ah hxh xx 01limlog (1 )xhah hx x 1 .lnx a即特 別 地 ， 2021-5-2 13 在 點 0 x 的 某 個 右 鄰 域 內)(xfy 若 極 限 x xfxxfxy xx )()(limlim 0000則 稱 此 極 限 值 為 )(xf 在 處 的 右 導 數 ,0 x 記 作 0( )f x (左 )(左 )0( x )0( x)( 0 xf 0 x定 義 2 設 函 數有 定 義 ,存 在 ,3. 單 側 導 數 在 點 0 x)(xfy 可 導 的 充 分 必 要 條 件注 1： 函 數 ,)()( 00 存 在與 xfxf 且 )( 0 xf .)( 0 xf 是注 2： 若 函 數 )(xf )(af)(bf與 在 開 區(qū) 間 內 可 導 ,),( ba 且都 存 在 , 則 稱 )(xf 在 閉 區(qū) 間 上 可 導 ., ba 2021-5-2 14 xxf )( 在 x = 0 不 可 導 . 例 6 證 明 函 數證 : 0( )f x 0 (0 ) (0)limx f x fx 0limx xx 1因 此 ， 函 數 xxf )( 在 x = 0 不 可 導 . 0( )f x 0 (0 ) (0)limx f x fx 0limx xx 10 0( ) ( )f x f x 2021-5-2 15 三、導數的幾何意義(Geometric Interpretation)xyo )(xfy C T0 xM曲 線 )(xfy 在 點 ),( 00 yx 的 切 線 斜 率 為0tan ( )f x 若 ,0)( 0 xf 曲 線 過 上 升 ;若 ,0)( 0 xf 曲 線 過 下 降 ; xyo 0 x ),( 00 yx若 ,0)( 0 xf 切 線 與 x 軸 平 行 , 稱 為 駐 點 ;),( 00 yx ),( 00 yx 0 x若 ,)( 0 xf 切 線 與 x 軸 垂 直 .曲 線 在 點 處 的),( 00 yx切 線 方 程 : )( 000 xxxfyy 法 線 方 程 : )()(1 000 xxxfyy )0)( 0 xf xyo 0 x,)( 0 時 xf 2021-5-2 16 3 xy 哪 一 點 有 垂 直 切 線 ? 哪 一 點 處 的 切 線與 直 線 131 xy 平 行 ? 寫 出 其 切 線 方 程 .解 : 3( )y x 3231 x ,1313 2x ,0 xy0 x故 在 原 點 (0 , 0) 有 垂 直 切 線例 7 問 曲 線 xy O令 ,311313 2 x 得 ,1x 對 應 ,1y則 在 點 (1,1) , (1,1) 處 與 直 線 131 xy 11 11平 行 的 切 線 方 程 分 別 為),1(1 31 xy )1(1 31 xy即 023 yx 2021-5-2 17 四、函數的可導性與連續(xù)性的關系處 可 導在 點 xxf )(定 理 處 連 續(xù)在 點 xxf )(證 : 設 )(xfy 在 點 x 處 可 導 , )(lim0 xfxyx 存 在 , 故 0limx y 即0limx y xx 0 0lim limx xy xx 0所 以 函 數 )(xfy 在 點 x 連 續(xù) .注 意 : 函 數 在 點 x 連 續(xù) 未 必 可 導 .反 例 : xy xyoxy 在 x = 0 處 連 續(xù) , 但 不 可 導 . 2021-5-2 18 例 8 1sin , 0( ) ,0, 0 x xf x x x 解 ： 1sin x 0 1lim sin 0 x x x 故( )f x故0 x 1(0 )sin 00 xy xx x 1sin .x 0 x ( )f x故0(0) lim ( ) 0 xf f x 在 處 的討 論 函 數 0 x 是 有 界 函 數 , 0 x 在 處 連 續(xù) 性 .但 在 處 有當 yx時 ， 在 1和 1之 間 振 蕩 而 極 限 不 存 在 .在 處 不 可 導 . 0 x 連 續(xù) 性 與 可 導 性 . 2021-5-2 19 內容小結1. 本 節(jié) 通 過 兩 個 引 例 抽 象 出 導 數 的 定 義 ：0 xxy )( 0 xf 0 00( ) ( )limx x f x f xx x )()( 0 xfxfy 0 xxx 0limx yx 0 0 0( ) ( )limx f x x f xx 00 0( ) ( )limh f x h f xh 2021-5-2 20 2. 利 用 導 數 的 定 義 得 出 以 下 導 數 公 式 ：( )C )( x)(sinx (cos )x (ln )x 0; ;1x;cosx sin ;x1,x ( ) ln ;x xa a a (e ) e .x x3. 判 斷 可 導 性 不 連 續(xù) , 一 定 不 可 導 .直 接 用 導 數 定 義 ;看 左 右 導 數 是 否 存 在 且 相 等 .4. 導 數 的 幾 何 意 義 : 切 線 的 斜 率 ;5. 函 數 的 可 導 性 與 連 續(xù) 性 的 關 系 ：可 導 必 連 續(xù) ; 但 連 續(xù) 不 一 定 可 導 。 2021-5-2 21 思考與練習1. 函 數 在 某 點 處 的 導 數)(xf 0 x )( 0 xf )(xf有 什 么 區(qū) 別 與 聯 系 ? 與 導 函 數區(qū) 別 : ( )f x 是 函 數 , 0( )f x 是 數 值 ;聯 系 : 0( ) x xf x 0( )f x注 意 : )()( 00 xfxf ？ 2021-5-2 22 ._)()(lim 000 h xfhxfh3. 已 知 ,)0(,0)0( 0kff 則 ._)(lim0 xxfx 0( )f x 0k)( 0 xf 存 在 , 則2. 設4. 設 )( 0 xf 存 在 , 求 極 限 .2 )()(lim 000 h hxfhxfh 解 : 原 式 0lim h hhxf 2)( 0 0( )f x h hxf2 )( 0 0( )f x)(21 0 xf )(21 0 xf 0( )f x )(2 )( 0 hhxf 0( )f x 2021-5-2 23 0, 0,sin)( xxa xxxf , 問 a 取 何 值 時 , )(xf 在),( 都 存 在 , 并 求 出 .)(xf解 : )0(f 00sinlim0 x xx 1 )0(f 00lim 0 xxax a故 1a 時 ,1)0( f 此 時 )(xf 在 ),( 都 存 在 , )(xf 0,cos xx 0,1 x顯 然 該 函 數 在 x = 0 連 續(xù) . 5. 設 2021-5-2 24 解 : 因 為 )(xf 存 在 , 且 ,12 )1()1(lim0 x xffx 求 ).1(fx xffx 2 )1()1(lim0 所 以 .2)1( f x fxfx 2 )1()1(lim0 01 (1 ( ) (1)lim2 ( )x f x fx 1)1(21 f6. 設 2021-5-2 25 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) , 且 xxfx )(lim0 存 在 ， 證 明 :)(xf 在 0 x 處 可 導 .證 ： 因 為 xxfx )(lim0 存 在 ， 則 有 0)(lim0 xfx又 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) , 0)0( f所 以 xxfx )(lim0即 )(xf 在 0 x 處 可 導 .x fxfx )0()(lim0 )0(f 故7. 設