《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第2節(jié)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第2節(jié)（27頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、積 分 表 4. 2 換 元 積 分 法一 、 第 一 類 換 元 法二 、 第 二 類 換 元 法 積 分 表第二類換元法第一類換元法xxxf d)()( uuf d)( 基 本 思 路 設(shè),)()( ufuF )(xu 可導(dǎo), xxxf d)()( CxF )( )(d)( xuuuf )()( xuCuF )(d xF xxxf d)()( 則有 積 分 表 一 、 第 一 類 換 元 法v定 理 1(換 元 積 分 公 式 ) 設(shè) f(u)具 有 原 函 數(shù) , 且 u(x)可 導(dǎo) , 則 有 換 元 公 式 )()()()( xuduufdxxxf (也 稱 配 元 法 , 湊 微

2、分 法 ) 積 分 表 一 、 第 一 類 換 元 法v定 理 1(換 元 積 分 公 式 ) 設(shè) f(u)具 有 原 函 數(shù) , 且 u(x)可 導(dǎo) , 則 有 換 元 公 式 )()()()()()( xuduufxdxfdxxxf CxFCuF xu )()( )( 設(shè) f(u)具 有 原 函 數(shù) F(u), 則 v換 元 積 分 過 程 )()()()( xuduufdxxxf 積 分 表 CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( 例 1 )2(2cos)2(2cos2cos2 xxddxxxxdx 例 Cuudu sincos sin 2xC 例 2 )2

3、3(23 121)23(23 12123 1 xdxdxxxdxx 例 Cudxu |ln21121 Cx |23|ln21 例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 例 CeCe xu 2 例 )2(2c s xxd 例 ) i 例 例 | 例例例 積 分 表 例 4. )1(12 1)1(1211 22222 xdxdxxxdxxx 例 5. xdxdxx xxdx coscos1cossintan 例 4 Cuduu |ln1 ln|cos x|C 例 5 CxCuduu 2322321 )1(313121 Cxxdx |cos|lntan , Cxxdx

4、 |sin|lncot 積 分 公 式 ：例 )1( 22 xdx 例例 xx cos 例 | l |c s x| | CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( 積 分 表 CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( 例 6 例 6. a xdaxadxaxadxxa 22222 )(1 11)(1 111 Caxa arctan1 積 分 公 式 ： 例 7 當(dāng) a0時(shí) , dxaxadxxa 222 )(1 111 Caxaxdax arcsin)(1 1 2 Cax

5、adxxa arctan11 22 , Ca xdxxa arcsin1 22 例 例 xr i)( 2 dxaxadxxa 222 )(1 111 ( i)1 2 積 分 表 例 8 CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( 例 9 dxaxaxadxax )11(211 22 1121 dxaxdxaxa )(1)(121 axdaxaxdaxa Caxaxa |ln|ln21 Cax axa |ln21 Cax axadxax |ln211 22 例 積 分 公 式 ： 積 分 表 CxFC

6、uFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf )()()()()()()( 例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21( Cx |ln21|ln21 例 11 Cexdexdedxx e xxxx 3333 323322 例 9 例 0 例 例 l )l 例 x3 例 例 xx x 積 分 表 含 三 角 函 數(shù) 的 積 分 ： 例 11 例 12 例 2 xdxxxdx sinsinsin 23 xdx cos)cos1( 2 xxdxd coscoscos 2 Cxx 3cos31cos 例

7、3 xxdxxdxx sincossincossin 4252 xdxx sin)sin1(sin 222 xdxxx sin)sinsin2(sin 642 Cxxx 753 sin71sin52sin31 例 1 例 12 xdxxxdx sinsinsin 23 xdx cos)cos1( 2 例 1 積 分 表 例 13 例 14 例 14 )2cos(212 2cos1cos2 xdxdxdxxxdx Cxxxxddx 2sin412122cos4121 例 5 dxxxdx 224 )(coscos dxx 2)2cos1(2 1 dxxx )2cos2cos21(41 2 dxx

8、x )4cos212cos223(41 Cxxx )4sin812sin23(41 Cxxx 4sin3212sin4183 例 ) 例 例 2) 例 15 xdx 24 ( scos 積 分 表 例 17 dxxxdx sin1csc 2cos2tan 22cos2sin2 1 2 xx xddxxx 例 16 dxxxxdxx )5cos(cos212cos3cos 例 15 例 16 Cxx 5sin101sin21 CxxCxxxd |cotcsc|ln|2tan|ln2tan 2tan 例 例 st 2 x 例 2co2a 2i x xd 例 Cxxxdx |cotcsc|lncsc

9、 積 分 公 式 ： 積 分 表 例 17 Cxxxdx |cotcsc|lncsc 例 18 dxxxdx )2csc(sec Cxx |)2 cot()2 csc(|ln ln|sec xtan x|C 例 Cxxxdx |tansec|lnsec 積 分 公 式 ： 積 分 表 常 用 的 幾 種 配 元 形 式 : xbxaf d)()1( )( bxaf )(d bxa a1 xxxf nn d)()2( 1 )( nxf nxdn1 xxxf n d1)()3( )( nxf nxdn1 nx1萬能湊冪法 xxxf dcos)(sin)4( )(sin xf xsind xxxf

10、dsin)(cos)5( )(cos xf xcosd 積 分 表 思 考 與 練 習(xí) 1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d)1( 24 d)2( xxxxx d4)3( 2 xxx d4)4( 22 24 d)5( xx 24 d)6( xxx xx4 )4(d 22221 )(1 )d( xx 2221 4 )4(d xx xx d4 41 2 41 xx 2 12 1 xd 2)2(4 x )2(d x 積 分 表 xxx d)1( 1102. 求.)1( d10 xx x提示:法1法2法3 )1( d10 xx x 10) x )1( d10 xx x )1( 1010 xx )

11、1( d10 xx x )1( d 1011 xx x 101 x10d x101 10(x 10d x101 積 分 表 二 、 第 二 類 換 元 法v定 理 2 設(shè) x(t)是 單 調(diào) 的 、 可 導(dǎo) 的 函 數(shù) , 并 且 (t)0 又 設(shè) f (t)(t)具 有 原 函 數(shù) F(t), 則 有 換 元 公 式其 中 t1(x)是 x(t)的 反 函 數(shù) 這 是 因 為 , 由 復(fù) 合 函 數(shù) 和 反 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則 , )()(1)()()()( 1 xftfdtdxttfdxdttFxF CxFtFdtttfdxxf )()()()()( 1 )()()( xftfttt

12、)()( 1 ftftt 積 分 表 v常 用 的 變 換 令 )2 2 ( sin ttax , 則 tatataxa coscossin1 2222 , dxacos tdt 令 )2 2 ( tan ttax , 則 tatataax secsectan1 2222 , dxasec2tdt ttataxa coscossin1 2222 , dxacos tdt ttataax secsectan1 2222 , dxasec2tdt 令 )2 0( sec ttax , 則 當(dāng) xa 時(shí) , tatataax tantan1sec 2222 , dxasec ttan tdt tta

13、taax tantan1sec 2222 , dxasec ttan tdt tax s 222 積 分 表 Ca xaaxaaxa 2222 2arcsin2 tdtatdtatadxxa tax 22sin22 coscoscos 令 CxFCtFdtttfdxxf tx )()()()( )( 1)( 例 19 例 19 求 dxxa 22 (a0) 解 t t令 t令 Ctta )2sin4121(2 Cttata cossin22 22 Cxaxaxa 222 21arcsin2 dttatdta 2 2cos1cos 222注 進(jìn) 行 變 換 和 逆 變 換 均 要 根 據(jù) 此 圖

14、 積 分 表 積 分 表 CxFCtFdtttfdxxf tx )()()()( )( 1)( 例 20 例 20 求 22 ax dx (a0) 解 : (C 1Clna) Ctttdtdtta taaxdx tax |tansec|lnsecsecsec 2tan22 令 t | t2 令 tttdtdtta taaxdx tax |tansec|lnsecsecsec 2tan22 令 Ctttdt |tansec|lnsec Ca axxCa axax 2222 ln)ln( 122 )ln( Caxx , 積 分 表 積 分 表 12222 |ln|ln CaxxCa axax 例

15、21 例 3 求 22 axdx (a0) 解 當(dāng) xa 時(shí) , Ctttdtdtta ttaaxdx tax |tansec|lnsectantansec sec22 令 (C1Clna) ttt t |tansec|l令 |令令令 積 分 表 積 分 表 當(dāng) x0) 解 當(dāng) xa 時(shí) , Ctttdtdtta ttaaxdx tax |tansec|lnsectantansec sec22 令 (C1Clna) ttt t |tansec|l令 |令令令 積 分 表 積 分 表原式 21)1( 22ta221a 例 22 求 .d4 22 xx xa解: 令,1tx 則tx t dd 21

16、原式 tt d12 ttta d)1( 2122 ,0時(shí)當(dāng)x 4 21 12t ta Cata 2223 )1( 23當(dāng) x 0 時(shí), 類似可得同樣結(jié)果 . Cxa xa 32 223 )( 23)1(d 22 ta倒 代 換 積 分 表 v補(bǔ) 充 積 分 公 式 Cxxdx |cos|lntan ,Cxxdx |sin|lncot , Cxxxdx |tansec|lnsec ,Cxxxdx |cotcsc|lncsc , Caxadxxa arctan11 22 ,Cax axadxax |ln211 22 , Caxdxxa arcsin1 22 , Caxxaxdx )ln( 2222

17、 , Caxxaxdx |ln 2222 積 分 表 積 分 表 小結(jié):1. 第二類換元法常見類型: ,d),()1( xbaxxf n令n bxat ,d),()2( xxf n dxc bxa令n dxc bxat ,d),()3( 22 xxaxf令tax sin或tax cos,d),()4( 22 xxaxf令tax tan,d),()5( 22 xaxxf令tax sec第四節(jié)講 積 分 表 (7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換 ,d)()6( xaf x令xat 積 分 表 思 考 與 練 習(xí)1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?xxx d1)1( 25 xex1d)2( )2( d)3( 7xx x令21 xt 令xet 1令xt 1