4.3 分部積分法 分部積分公式 設(shè)函數(shù) uu(x)及 vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) . 那么 , (uv)uvuv, 移項得 uv(uv)uv. 對這個等式兩邊求不定積分 , 得 分部積分過程 這兩個公式稱為分部積分公式 . v d xuuvdxvu , 或 v d uuvu d v , v d xuuvdxvu , 或 v d uuvu d v , vdxuuvvduuvudvdxvu . vdxuuvvduuvudvdxvu . v d xuuvv d uuvudvdxvu . v d xuuvv d uudvdxvu . 1) v 容易求得 ; 容易計算 . 例 1 x sin xcos xC . 例 2 例 3 x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C. v d xuuvv d uuvudvdxvu . 分部積分過程： 例 1 x d xxxxxdx d xx s ins ins inc o s 例 1 x d xxxxxdx d xx s ins ins inc o s 例 1 xdxxxxxddxx sinsinincos 例 1 x d xxxxdd x s ins ins inc o s 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx . 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxx . 例 2 Cexedxexexddxxe xxxxxx . 例 2 Cexedxexexdedxxe xxxxxx . 例 2 Cexedxex edxxe xxxxxx . 例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222 例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 2222 dxeexdexdxex xxxx 例 3 2222 dxeexdexx xxxx xxxx exdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222 xxxx x d eexdxxeex 22 22 dxexeex xxx 222 例 4 例 5 v d xuuvv d uuvudvdxvu . 分部積分過程： 例 4 dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 222 Cxxxx dxxx 222 41ln2121ln21 . 例 4 dxxxxxx dxx dxx 121ln21ln21ln 222 例 4 dxxxxxxdxxdxx 121ln21ln21ln 22 例 4 dxxxxxdxx dxx 121ln21ln21ln 222 Cxxx dxxx 222 41ln2121ln21 . 例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s dx x xxx 2 1 1a r c c o s )1()1(21a r c c o s 22 1 2 xdxxx Cxxx 21a r c c o s . 例 5 xxdxxx d x a r c c o sa r c c o sa r c c o s 例 xxdxxd x a r c c o sa r c c o sa r c o s 例 6 v d xuuvv d uuvudvdxvu . 分部積分過程： 例 6 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx dxxxxx 222 1 121a r c ta n21 dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22 Cxxxx a r c t a n2121a r c t a n21 2 . 例 2a r c t a n21a r c t a n x dxx dxx dxxxxx 222 1 121a r c ta n21 dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22 解 因為 例 7 例 7 求 x d xe x s in . xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in xdexexe xxx c o sc o ss i n xdexexe xxx c o sc o ss i n x d xexexe xxx s i nc o ss i n , 所以 Cxxex d xe xx )c o s( s i n21s i n . xdexex d ex d xe xxxx s ins ins ins in xdexex dd xe xxxx s ins is ins in xxxx x d exex d xexe c o ss inc o ss in v d xuuvv d uuvudvdxvu . 分部積分過程： v d xuuvv d uuvudvdxvu . 分部積分過程： 解 因為 例 8 例 8 求 x d x3s e c . xxdxd xxxd x tans ecs ecs ecs ec 23 x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c dxxxxx )1( s e cs e ct a ns e c 2 x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3 x d xxxxx 3s e c|t a ns e c|lnt a ns e c , 所以 x d x3s e c Cxxxx |)ta ns e c|lnta n( s e c21 . xxdd xxx d x t a ns e cs e cs e cs e c 23 xx d xxx d x t a nss e cs e cs e c 23 于是 )32()()1(2 1 11222 nnn Inax xnaI . 解 當(dāng) n1時 ,用分部積分法 , 有 例 9 例 9 求 nn ax dxI )( 22 , 其中 n 為正整數(shù) . dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122 dxax aaxnax x nnn )()( 1)1(2)( 22 2122122 , 解 Caxaax dxI a r c ta n1221 即 )(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI , 即 dxax xnax xax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122 dxax xnaxax dx nnn )()1(2)()( 22 2122122 dxax aaxnax x nnn )()( 1)1(2)( 22 212212 , 解法一 于是 解法二 例 10 例 10 求 dxe x . 令 xt2, 則 dx2tdt. dxe x CxeCtedtte xtt )1(2)1(22 . xdexxdedxe xxx 2)( 2 xdeexdex xxx 222 CxeCeex xxx )1(222 . dxe x CxeCtedtte xtt )1(2)1(2 . dxe x CxeCtedtte xtt )1(2)1(22 . e x Cxetedtte xt )1(2)1(22 . xdexxdedxe xxx 2)( 2 xdexxdedxe xxx 2)( 2 xdeexde xxx 222 CxeCeex xxx )1(222 . 注： 在后者中 u(x)不是以 v(x)為中間變量的復(fù)合函數(shù) , 故用分 部積分法 . 在前者中 f(x)是以 (x)為中間變量的復(fù)合函數(shù) , 故用換 元積分法 . 第一步都是湊微分 第一換積分元法與分部積分法的比較 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf 令 , )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu . )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf 令 , )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu . 第一步都是湊微分 第一換積分元法與分部積分法的比較 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf 令 , )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu . )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf 令 , )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu . 2 222 duedxedxxe uxx , 2222 dxeexdexdxex xxxx . 提問： 下列積分已經(jīng)過湊微分 , 下一步該用什么方法？ 2 222 duedxedxxe uxx , 2222 dxeexdexdxex xxxx . 2 222 duedxedxxe uxx , 2222 dxeexdexdxex xxxx . 提示： 可用分部積分法的積分小結(jié) (1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積 : (2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積 : (3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積 : x d xx c o s , dxxe x , dxex x 2 x d xx ln , x d xa r c c o s , x d xx a r c t a n x d xe x s i n , x d x3s e c . 解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v 內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式 xvuvuxvu dd 1. 使用原則 : xvuv d 易求出 , 易積分 2. 使用經(jīng)驗 : “反對冪指三 ” , 前 u 后 v 3. 題目類型 : 分部化簡 ; 循環(huán)解出 ; 遞推公式 思考與練習(xí) 1. 下述運算錯在哪里 ? 應(yīng)如何改正 ? xxx dsi nc o s xxx dsinc o s1 ,1ds i nc o sds i nc o s xxxxxx得 0 = 1 答 : 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . Cx s i nln 2. 已知 xf x xcos Cx xxCx xx xdxdx c o s2s i nc o sc o s dxxfxxfxfxxxxf dd xxxf d的一個原函數(shù)是 ，求 解 :