4.1 不定積分的概念與性質 一、原函數與不定積分的概念 二、基本積分表 三、不定積分的性質 微分法 : )?()( xF 積分法 : )()?( xf 互逆運算 一、原函數與不定積分的概念 一、原函數與不定積分的概念 原函數的 概念 如果在區(qū)間 I上 , 可導函數 F(x)的導函數為 f(x), 即對 任一 xI, 都有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx, 那么函數 F(x)就稱為 f(x)(或 f(x)dx)在區(qū)間 I上的原函數 . 原函數舉例 所以 sin x是 cos x的原函數 . 因為 (sin x)cos x , 提問： 因為 x x 2 1)( , 所以 x 是 x2 1 的原函數 . 因為 x x 2 1)( , 所以 x 是 x2 1 的原函數 . c o s x 和 x2 1 還有其它原函數嗎？ 問題 : 1. 在什么條件下 , 一個函數的原函數存在 ? 2. 若原函數存在 , 它如何表示 ? 原函數存在定理 如果函數 f(x)在區(qū)間 I上連續(xù) , 那么在區(qū)間 I上存在可 導函數 F(x), 使對任一 xI 都有 F (x)f(x). 簡單地說就是 : 連續(xù)函數一定有原函數 . 初等函數在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數在定義區(qū)間上有原函數 說明： 1. 如果函數 f(x)在區(qū)間 I上有原函數 F(x), 那么 f(x)就有無限 多個原函數 , F(x)C都是 f(x)的原函數 , 其中 C是任意常數 . 2. 函數 f(x)的任意兩個原函數之間只差一個常數 , 即如果 (x)和 F(x)都是 f(x)的原函數 , 則 (x)F(x)C (C為某個常數 ). 證 : 1) 又知 故 即 屬于函數族 即 不定積分中各部分的名稱： - 稱為積分號 , f(x) - 稱為被積函數 , f(x)dx - 稱為被積表達式 , x - 稱為積分變量 . 不定積分的概念 在區(qū)間 I上 , 函數 f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為 f(x)(或 f(x)dx )在區(qū)間 I上的不定積分 , 記作 dxxf )( . 根據定義 , 如果 F(x)是 f(x)在區(qū)間 I上的一個原函數 , 那么 F(x)C就是 f(x)的不定積分 , 即 在區(qū)間 I上 , 函數 f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為 f(x)(或 f(x)dx )在區(qū)間 I上的不定積分 , 記作 不定積分的概念 dxxf )( . CxFdxxf )()( . C 稱 為 積分常數 不可丟 ! 例 1 因為 sin x 是 cos x 的原函數 , 所以 如果 F(x)是 f(x)的一個原函數 , 則 CxFdxxf )()( . Cxx d x s i nc o s . 因為 x 是 x2 1 的原函數 , 所以 Cxdxx 2 1 . 解：當 x 0 時 , ( l n x ) x1 , 例 2 . 求函數 xxf 1)( 的不定積分 . 例 2 合并上面兩式 , 得到 解 如果 F(x)是 f(x)的一個原函數 , 則 CxFdxxf )()( . Cxdxx ln 1 ( x 0 ) 當 x 0 時 , l n ( x ) xx 1)1(1 , Cxdxx )l n ( 1 ( x 0 ) . Cxdxx |ln 1 ( x 0) . 例 3 設曲線通過點 (1, 2), 且其上任一點處的切線斜率 等于這點橫坐標的兩倍 , 求此曲線的方程 . 解 設所求的曲線方程為 yf(x), 則曲線上任一點 (x, y) 處的切線斜率為 yf (x)2x, 即 f(x)是 2x 的一個原函數 . 故必有某個常數 C使 f(x)x2C, 即曲線方程為 yx2C. 因所求曲線通過點 (1, 2), 故 21C, C1. 于是所求曲線方程為 yx21. 因為 Cxx d x 22 , y xo )2,1( 函數 f(x)的積分曲線也有無限 多 . 函數 f(x)的不定積分表示 f(x)的 一簇積分曲線 ， 而 f(x)正是積分曲 線的斜率 . 積分曲線 函數 f(x)的原函數的圖形稱為 f(x)的積分曲線 . 2x的 積分曲線 o x 例 3. 質點在距地面 0 x 處以初速 0v 力 , 求它的運動規(guī)律 . 解 : 取質點運動軌跡為坐標軸 , 原點在地面 , 指向朝上 , )0(0 xx )(txx 質點拋出時刻為 ,0t 此時質點位置為 初速為 ,0 x 設時刻 t 質點所在位置為 ,)(txx 則 )(dd tvtx (運動速度 ) t v t x d d d d 2 2 g (加速度 ) .0v 垂直上拋 , 不計阻 先由此求 )(tv 再由此求 )(tx 先求 .)(tv ,dd gtv由 知 ttv d)()( g 1Ct g ,)0( 0vv 由 ,01 vC 得 0)( vttv g 再求 .)(tx tvttx d)()( 0 g 20221 Ctvt g ,)0( 0 xx 由 ,02 xC 得 于是所求運動規(guī)律為 00221)( xtvttx g 由 )(dd tvtx ,0vt g 知 故 o x )0(0 xx )(txx 微分與積分的關系 從不定積分的定義可知 又由于 F(x)是 F (x)的原函數 , 所以 由此可見 , 如果不計任意常數 , 則微分運算與求不定 積分的運算是互逆的 . )()( xfdxxfdxd , 或 dxxfdxxfd )()( )()( xfdxxfdxd , 或 dxxdxxfd )()( CxFdxxF )()( , 或記作 CxFxdF )()( . CxFdxxF )()( , 或記作 CxFxdF )() . 二、基本積分表 (1) Ckxkdx (k 是常數 ), (2 ) Cxdxx 111 , (3) Cxdxx |ln1 , (4) Cedxe xx , (5) Caadxa xx ln , ( 6 ) Cxx d x s inc o s , ( 7 ) Cxx d x c o ss in , ( 8 ) Cxx d x t a ns e c 2 , ( 9 ) Cxx d x c o tc s c 2 , ( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2 , ( 1 1 ) Cxdxx a r c s in1 1 2 , ( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c , ( 1 3 ) Cxdxx c s cc o tc s c , ( 1 4 ) Cxdxx c h s h , ( 1 5 ) Cxdxx s h c h . ( 1 Ckxk d x ( k 是常數 ) , ( 2 ) Cxdxx 111 , ( 3 ) Cxdxx |ln1 , ( 4 ) Cedxe xx , ( 5 ) Caadxa xx ln , ( 6 ) Cxx d x s inc o s , ( 7 ) Cxx d x c o ss in , ( 8 ) Cxx d x ta ns e c 2 , ( 9 ) Cxd x c o tc s c 2 , ( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2 , ( 1 Cxdxx a r c s in1 1 2 , ( 1 2 ) Cxd xx s e ct a ns e c , ( 1 3 ) Cxdxx c s cc o tc s c , ( 1 4 ) Cxdxx c h s h , ( 1 5 ) Cxdxx s h c h . 例 5 dxxdxxx 2 5 2 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 例 4 例 6 例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131 . Cxx 372 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131 . 例 4 dxdxx 331 CxCx 213 2 1131 . 例 4 dxxdxx 331 Cxx 213 2 1131 . 例 5 dxxdxxx 2 5 2 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 dxxdxxx 252 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 dxxdxxx 252 C 2 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 6 dxx x 3 4 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . ( 2 ) Cxdxx 111 , 三、不定積分的性質 這是因為 , f(x)g(x). dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . )()()()( dxxgdxxfdxxgdxxf f ( x ) g ( x ). )()()()( dxxdxxfdxxgdxxf f ( x ) g ( x ). 性質 1 三、不定積分的性質 dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . dxxfkdxxkf )()( ( k 是常數 , k 0) . 性質 1 性質 2 dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5( Cxxdxxdxx 2 3 2 7 2 1 2 5 3 25 7 25 . 例 7 例 8 dxxdxxdxxxdxx 212521252 5)5()5( dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5( Cxxdxxdxx 2 3 2 7 2 1 2 5 3 25 7 25 . 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22 23 2 3 Cxxxxdxxdxxdxdxx 1|ln33211133 22 . 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22 23 2 3 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22232 3 Cxxxxdxxdxxdxdxx 1|ln33211133 22 . 例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22 2 2 2 例 10 三、不定積分的性質 dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . dxxfkdxxkf )()( ( k 是常數 , k 0) . 性質 1 性質 2 例 9 例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s3( Cxe x s in3 . 例 10 CeCeedxedxe xx x xxx 2ln1 2 )2ln( )2()2(2 . 例 11 Cxxdxxdxx |lna r c ta n11 1 2 . 例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c s3( Cxe x s in3 . 例 9 x d xedxxe x c o s3)c o s3( Cxe x s in3 . 例 10 CeCeedxedxe xx x xxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . 例 10 CeC e edxedxe xxxxxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . 例 10 CeC edxedxe xxxxxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . Cxdxxdxx |lna r c ta n11 1 2 . 例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22 2 2 2 例 dx xxdxxx xdx xx xx )1 1 1( )1( )1( )1( 1 22 2 2 2 例 12 dxxxxdxxxdxxx 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 11 1 例 12 dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11( Cxxx a r c ta n31 3 . 例 13 例 1 3 dxxd xdxxdxx 222 s ec)1(s ectan tan xxC. 例 1 2 dxxxxdxxxdxxx 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 1 1 例 1 2 dxx xxdx x xdx x x 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 1 1 dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11( 例 1 3 dxx d xdxxdxx 222 s e c)1( s e ct a n 例 1 3 dxx d xdxdxx 22 s e c)1( s e ct 例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 例 15 Cxx )s in(21 . 例 15 Cxdx x dxxx c o t4 s in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 dxxdxxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 15 Cxdx x dxxx c o t4 s in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 例 Cxdxxdxxx c o ts in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 內容小結 1. 不定積分的概念 原函數與不定積分的定義 不定積分的性質 基本積分表 2. 直接積分法 : 利用 恒等變形 , 及 基本積分公式 進行積分 . 常用恒等變形方法 分項積分 加項減項 利用三角公式 , 代數公式 , 積分性質 思考與練習 1. 若 d)(l n2 xxfx 提示 : xe xe ln)(ln xf x 1 Cx 221 2. 若 是 xe 的原函數 , 則 xx xf d)(l n 提示 : 已知 xexf )( 0)( Cexf x 0 1)(l n C xxf x C xx xf 0 2 1)(l n CxCx ln1 0 3. 若 ;s in1)( xA ;s in1)( xB 的導函數為 則 的一個原函數 是 ( ) . ;c o s1)( xC .c o s1)( xD 提示 : 已知 xxf s in)( 求 即 D )()( xf xs in)( ? ? 或由題意 ,c o s)( 1Cxxf 其原函數為 xxf d)( 21s in CxCx 4. 已知 2 2 2 2 1 d1d 1 x xBxxAx x x 求 A , B . 解 : 等式兩邊對 x 求導 , 得 2 2 1 x x 2 2 2 1 1 x xAxA 21 x B 2 2 1 2)( x xABA 12 0 A BA 2 1 2 1 B A