《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第1節(jié)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第1節(jié)（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念 二、基本積分表 三、不定積分的性質(zhì) 微分法 : )?()( xF 積分法 : )()?( xf 互逆運(yùn)算 一、原函數(shù)與不定積分的概念 一、原函數(shù)與不定積分的概念 原函數(shù)的 概念 如果在區(qū)間 I上 , 可導(dǎo)函數(shù) F(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x), 即對(duì) 任一 xI, 都有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx, 那么函數(shù) F(x)就稱為 f(x)(或 f(x)dx)在區(qū)間 I上的原函數(shù) . 原函數(shù)舉例 所以 sin x是 cos x的原函數(shù) . 因?yàn)?(sin x)cos x , 提問(wèn)： 因?yàn)?x x 2 1)( , 所以 x 是 x

2、2 1 的原函數(shù) . 因?yàn)?x x 2 1)( , 所以 x 是 x2 1 的原函數(shù) . c o s x 和 x2 1 還有其它原函數(shù)嗎？ 問(wèn)題 : 1. 在什么條件下 , 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ? 2. 若原函數(shù)存在 , 它如何表示 ? 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上連續(xù) , 那么在區(qū)間 I上存在可 導(dǎo)函數(shù) F(x), 使對(duì)任一 xI 都有 F (x)f(x). 簡(jiǎn)單地說(shuō)就是 : 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) . 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 說(shuō)明： 1. 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上有原函數(shù) F(x), 那么 f(x)就有無(wú)限 多個(gè)原函數(shù) , F(x)C

3、都是 f(x)的原函數(shù) , 其中 C是任意常數(shù) . 2. 函數(shù) f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù) , 即如果 (x)和 F(x)都是 f(x)的原函數(shù) , 則 (x)F(x)C (C為某個(gè)常數(shù) ). 證 : 1) 又知 故 即 屬于函數(shù)族 即 不定積分中各部分的名稱： - 稱為積分號(hào) , f(x) - 稱為被積函數(shù) , f(x)dx - 稱為被積表達(dá)式 , x - 稱為積分變量 . 不定積分的概念 在區(qū)間 I上 , 函數(shù) f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f(x)(或 f(x)dx )在區(qū)間 I上的不定積分 , 記作 dxxf )( . 根據(jù)定義 , 如果 F(x)是 f(x)在區(qū)

4、間 I上的一個(gè)原函數(shù) , 那么 F(x)C就是 f(x)的不定積分 , 即 在區(qū)間 I上 , 函數(shù) f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f(x)(或 f(x)dx )在區(qū)間 I上的不定積分 , 記作 不定積分的概念 dxxf )( . CxFdxxf )()( . C 稱 為 積分常數(shù) 不可丟 ! 例 1 因?yàn)?sin x 是 cos x 的原函數(shù) , 所以 如果 F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù) , 則 CxFdxxf )()( . Cxx d x s i nc o s . 因?yàn)?x 是 x2 1 的原函數(shù) , 所以 Cxdxx 2 1 . 解：當(dāng) x 0 時(shí) , ( l n x ) x1

5、 , 例 2 . 求函數(shù) xxf 1)( 的不定積分 . 例 2 合并上面兩式 , 得到 解 如果 F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù) , 則 CxFdxxf )()( . Cxdxx ln 1 ( x 0 ) 當(dāng) x 0 時(shí) , l n ( x ) xx 1)1(1 , Cxdxx )l n ( 1 ( x 0 ) . Cxdxx |ln 1 ( x 0) . 例 3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn) (1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率 等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 , 求此曲線的方程 . 解 設(shè)所求的曲線方程為 yf(x), 則曲線上任一點(diǎn) (x, y) 處的切線斜率為 yf (x)2x, 即 f(x)是 2x

6、的一個(gè)原函數(shù) . 故必有某個(gè)常數(shù) C使 f(x)x2C, 即曲線方程為 yx2C. 因所求曲線通過(guò)點(diǎn) (1, 2), 故 21C, C1. 于是所求曲線方程為 yx21. 因?yàn)?Cxx d x 22 , y xo )2,1( 函數(shù) f(x)的積分曲線也有無(wú)限 多 . 函數(shù) f(x)的不定積分表示 f(x)的 一簇積分曲線 ， 而 f(x)正是積分曲 線的斜率 . 積分曲線 函數(shù) f(x)的原函數(shù)的圖形稱為 f(x)的積分曲線 . 2x的 積分曲線 o x 例 3. 質(zhì)點(diǎn)在距地面 0 x 處以初速 0v 力 , 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 . 解 : 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸 , 原點(diǎn)在地面 , 指向朝上 ,

7、 )0(0 xx )(txx 質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為 ,0t 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為 初速為 ,0 x 設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為 ,)(txx 則 )(dd tvtx (運(yùn)動(dòng)速度 ) t v t x d d d d 2 2 g (加速度 ) .0v 垂直上拋 , 不計(jì)阻 先由此求 )(tv 再由此求 )(tx 先求 .)(tv ,dd gtv由 知 ttv d)()( g 1Ct g ,)0( 0vv 由 ,01 vC 得 0)( vttv g 再求 .)(tx tvttx d)()( 0 g 20221 Ctvt g ,)0( 0 xx 由 ,02 xC 得 于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 00221)( xtvtt

8、x g 由 )(dd tvtx ,0vt g 知 故 o x )0(0 xx )(txx 微分與積分的關(guān)系 從不定積分的定義可知 又由于 F(x)是 F (x)的原函數(shù) , 所以 由此可見(jiàn) , 如果不計(jì)任意常數(shù) , 則微分運(yùn)算與求不定 積分的運(yùn)算是互逆的 . )()( xfdxxfdxd , 或 dxxfdxxfd )()( )()( xfdxxfdxd , 或 dxxdxxfd )()( CxFdxxF )()( , 或記作 CxFxdF )()( . CxFdxxF )()( , 或記作 CxFxdF )() . 二、基本積分表 (1) Ckxkdx (k 是常數(shù) ), (2 ) Cxdx

9、x 111 , (3) Cxdxx |ln1 , (4) Cedxe xx , (5) Caadxa xx ln , ( 6 ) Cxx d x s inc o s , ( 7 ) Cxx d x c o ss in , ( 8 ) Cxx d x t a ns e c 2 , ( 9 ) Cxx d x c o tc s c 2 , ( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2 , ( 1 1 ) Cxdxx a r c s in1 1 2 , ( 1 2 ) Cxx d xx s e ct a ns e c , ( 1 3 ) Cxdxx c s cc o tc s c ,

10、( 1 4 ) Cxdxx c h s h , ( 1 5 ) Cxdxx s h c h . ( 1 Ckxk d x ( k 是常數(shù) ) , ( 2 ) Cxdxx 111 , ( 3 ) Cxdxx |ln1 , ( 4 ) Cedxe xx , ( 5 ) Caadxa xx ln , ( 6 ) Cxx d x s inc o s , ( 7 ) Cxx d x c o ss in , ( 8 ) Cxx d x ta ns e c 2 , ( 9 ) Cxd x c o tc s c 2 , ( 1 0 ) Cxdxx a r c ta n1 1 2 , ( 1 Cxdxx a r

11、 c s in1 1 2 , ( 1 2 ) Cxd xx s e ct a ns e c , ( 1 3 ) Cxdxx c s cc o tc s c , ( 1 4 ) Cxdxx c h s h , ( 1 5 ) Cxdxx s h c h . 例 5 dxxdxxx 2 5 2 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 例 4 例 6 例 4 dxxdxx 331 CxCx 213 21131 . Cxx 372 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 4 dxxdxx 331 CxCx 2

12、13 21131 . 例 4 dxdxx 331 CxCx 213 2 1131 . 例 4 dxxdxx 331 Cxx 213 2 1131 . 例 5 dxxdxxx 2 5 2 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 dxxdxxx 252 Cx 12 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 5 dxxdxxx 252 C 2 5 125 1 Cx 27 7 2 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x

13、 3 3 . 例 6 dxx xx dx 34 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . 例 6 dxx x 3 4 3 Cx 1 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 C x 3 3 . ( 2 ) Cxdxx 111 , 三、不定積分的性質(zhì) 這是因?yàn)?, f(x)g(x). dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . )()()()( dxxgdxxfdxxgdxxf f ( x ) g ( x ). )()()()( dxxdxxfdxxgdxxf f ( x ) g ( x ). 性質(zhì) 1 三、不定積分的性質(zhì) dxxgdxxfdxxgxf )()(

14、)()( . dxxfkdxxkf )()( ( k 是常數(shù) , k 0) . 性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5( Cxxdxxdxx 2 3 2 7 2 1 2 5 3 25 7 25 . 例 7 例 8 dxxdxxdxxxdxx 212521252 5)5()5( dxxdxxdxxxdxxx 212521252 5)5()5( Cxxdxxdxx 2 3 2 7 2 1 2 5 3 25 7 25 . 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22 23 2 3 Cxxxxdxxdxxdxdxx 1|ln3321

15、1133 22 . 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22 23 2 3 例 8 dxxxxdxx xxxdxxx )133(133)1( 22232 3 Cxxxxdxxdxxdxdxx 1|ln33211133 22 . 例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22 2 2 2 例 10 三、不定積分的性質(zhì) dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . dxxfkdxxkf )()( ( k 是常數(shù) , k 0) . 性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 例 9 例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c o s

16、3( Cxe x s in3 . 例 10 CeCeedxedxe xx x xxx 2ln1 2 )2ln( )2()2(2 . 例 11 Cxxdxxdxx |lna r c ta n11 1 2 . 例 9 x d xdxedxxe xx c o s3)c s3( Cxe x s in3 . 例 9 x d xedxxe x c o s3)c o s3( Cxe x s in3 . 例 10 CeCeedxedxe xx x xxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . 例 10 CeC e edxedxe xxxxxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . 例 10

17、 CeC edxedxe xxxxxx 2ln1 2 )2ln ( )2()2(2 . Cxdxxdxx |lna r c ta n11 1 2 . 例 11 dxxxdxxx xxdxxx xx )11 1()1( )1()1(1 22 2 2 2 例 dx xxdxxx xdx xx xx )1 1 1( )1( )1( )1( 1 22 2 2 2 例 12 dxxxxdxxxdxxx 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 11 1 例 12 dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11( Cxxx a r c ta n31 3 . 例 13 例 1 3 dxxd x

18、dxxdxx 222 s ec)1(s ectan tan xxC. 例 1 2 dxxxxdxxxdxxx 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 1 1 例 1 2 dxx xxdx x xdx x x 2 22 2 4 2 4 1 1)1)(1( 1 1 1 dxxdxdxxdxxx 2222 1 1)1 11( 例 1 3 dxx d xdxxdxx 222 s e c)1( s e ct a n 例 1 3 dxx d xdxdxx 22 s e c)1( s e ct 例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 例 15 Cxx

19、 )s in(21 . 例 15 Cxdx x dxxx c o t4 s in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 例 14 dxxdxxdxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 14 dxxdxxx )c os1(212c os1 2s in 2 例 15 Cxdx x dxxx c o t4 s in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 例 Cxdxxdxxx c o ts in 14 2 c o s 2 s in 1 222 . 內(nèi)容小結(jié) 1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 2. 直接積分法 : 利

20、用 恒等變形 , 及 基本積分公式 進(jìn)行積分 . 常用恒等變形方法 分項(xiàng)積分 加項(xiàng)減項(xiàng) 利用三角公式 , 代數(shù)公式 , 積分性質(zhì) 思考與練習(xí) 1. 若 d)(l n2 xxfx 提示 : xe xe ln)(ln xf x 1 Cx 221 2. 若 是 xe 的原函數(shù) , 則 xx xf d)(l n 提示 : 已知 xexf )( 0)( Cexf x 0 1)(l n C xxf x C xx xf 0 2 1)(l n CxCx ln1 0 3. 若 ;s in1)( xA ;s in1)( xB 的導(dǎo)函數(shù)為 則 的一個(gè)原函數(shù) 是 ( ) . ;c o s1)( xC .c o s1)( xD 提示 : 已知 xxf s in)( 求 即 D )()( xf xs in)( ? ? 或由題意 ,c o s)( 1Cxxf 其原函數(shù)為 xxf d)( 21s in CxCx 4. 已知 2 2 2 2 1 d1d 1 x xBxxAx x x 求 A , B . 解 : 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo) , 得 2 2 1 x x 2 2 2 1 1 x xAxA 21 x B 2 2 1 2)( x xABA 12 0 A BA 2 1 2 1 B A