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微分方程習(xí)題及答案.doc

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微分方程習(xí)題及答案.doc

微分方程習(xí)題 §1 基本概念 1. 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解. (1) (2) 2..已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù)) (一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).) (1); (2). 3.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 (1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。 (2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。 (3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長(zhǎng)度為2,且曲線過(guò)點(diǎn)(2,0)。 §2可分離變量與齊次方程 1.求下列微分方程的通解 (1); (2); (3); (4). 2.求下列微分方程的特解 (1); (2) 3. 求下列微分方程的通解 (1); (2). 4. 求下列微分方程的特解 (1); (2). 5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程,并求解下列方程 (1); (2) (3) (4) 6. 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù). B A P(x,y) 7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 8. 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常? 9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問(wèn)一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽? §3 一階線性方程與貝努利方程 1.求下列微分方程的通解 (1); (2); (3); (4); (5) 2.求下列微分方程的特解 (1); (2) 3.一 曲線過(guò)原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程. 4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程 ,求. 5.設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開(kāi)關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系. 6.求下列貝努利方程的通解 (1) (2) (3) (4) §4 可降階的高階方程 1.求下列方程通解。 ;(2); (2) 3.求的經(jīng)過(guò)且在與直線相切的積分曲線 4.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線. 證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù) 5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問(wèn)槍彈穿過(guò)鋼板的時(shí)間是多少? §5 高階線性微分方程 1.已知是二階線性微分方程的解,試證是的解 2.已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解. 3.驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 1.求下列微分方程的通解 (1); (2); (3); (4). 2.求下列微分方程的特解 (1) (2) (3) 3.設(shè)單擺擺長(zhǎng)為,質(zhì)量為,開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開(kāi),開(kāi)始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律. P mg 4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi),浮筒周期為2s,求浮筒質(zhì)量.。O 5.長(zhǎng)為6m的鏈條自桌上無(wú)摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m,問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面. O §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 1.求下列微分方程的通解 (1); (2); (3); (4); (5). 2.求下列微分方程的特解 (1); (2) 3.設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求. 4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律. O P 5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開(kāi)釘子8m,另一端離開(kāi)釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間. O P 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線. §8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1.求下列微分方程的通解 (1); (2). 2.求下列微分方程組的通解 (1) (2) 自測(cè)題 1.求下列微分方程的解。 (1); (2); (3); (4). 2.求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有. 3.求以為通解的二階微分方程. 4.某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和,求. 5.設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求: (1)的表達(dá)式; (2)該微分方程的通解. 6.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式: 求. 7.已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程. 微分方程習(xí)題答案 §1 基本概念 1.驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解. (1) 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 (2). 解:隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo) 方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo) 指數(shù)函數(shù)非零,即有 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 2.已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù)) (一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).) (1); (2). 3.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 (1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。 解:設(shè)曲線為 y = y ( x )則曲線上的點(diǎn)處的切線斜率為,由題意知所求方程為 (2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。 解:曲線上的點(diǎn)處法線方程:。 故法線x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為,又PQ為y軸平分,故, 便得曲線所滿足的微分方程: (3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長(zhǎng)度為2,且曲線過(guò)點(diǎn)(2,0)。 解:點(diǎn)P處切線方程: 故Q坐標(biāo)為,則有 則得初值問(wèn)題為: §2可分離變量與齊次方程 1.求下列微分方程的通解 (1); 解:分離變量 (2); 解:分離變量 其中 (3); 解: 分離變量得 其中 (4). 解:分離變量得 其中 2.求下列微分方程的特解 (1); (2) 解:分離變量得 ,其中, 由得,故特解為 3.求下列微分方程的通解 (1); 解:方程變形為齊次方程,,則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得,兩邊積分,即,故,得 ,其中 (2). 解:方程變形為齊次方程,令則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得 ,兩邊積分,即,即, 得 其中 4. 求下列微分方程的特解 (1); 解:原方程化為,令則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得 兩邊積分,即,得 其中,由得,故特解為 (2). 解:原方程可化為令則,故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分,即得即得,即,又得特解為 5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程,并求解下列方程 (1); 解:令則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得 故方程通解為 (2) 解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分,即 得,得,即,其中故方程通解為 (,其中) (3) 解:,則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得 故方程通解為 (4) 解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分, 得,即其中 (分析原方程可變形為,故令) (,, 其中) 6. 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù). B A P(x,y) 解:曲線點(diǎn)P(x, y)的切線方程為: 該曲線與x軸交點(diǎn)記為B,則B坐標(biāo)為, 過(guò)點(diǎn)P(x, y)平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A,則A坐標(biāo)為 故三角形面積為 即有微分方程 當(dāng)時(shí)用分離變量法解得 當(dāng)時(shí)用分離變量法解得 7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 8. 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常? 解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得 通解為: 加以初始 p(0)=0.3, 便可求出 p(t)=0.3e及p(30)=0.3e 然后與實(shí)測(cè)比較知,此人胰臟不正常. 9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問(wèn)一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽? 解:設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽,,由于時(shí)刻容器內(nèi)液體為:100+,因此時(shí)刻容器內(nèi)濃度為:.于是在時(shí)刻鹽的流失速度為:,從而有滿足的方程為: 初始化條件為: §3 一階線性方程與貝努利方程 1.求下列微分方程的通解 (1); 解:法一:常系數(shù)變易法:解齊次方程,分離變量得, 積分得,即,其中(注:在常系數(shù)變易法時(shí)求解齊次方程通解時(shí)寫成顯式解; 其中。 設(shè)非齊次方程有解,代入非齊次方程有,即, 故,非齊次微分方程的通解 法二(公式法) (2); 故 ( (3); 解:方程變形為 故 即,其中 (4); 解:方程變形為, 故 即 (分部積分法:) (5) 解:兩邊同乘得,即, 故令,則原方程變?yōu)? 故,即 得 即原方程通解為 (用分部積分法積分) 2.求下列微分方程的特解 (1); 解: (2) 解: 3.一 曲線過(guò)原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程. 解:由題意可得: 于是: 由得,故曲線方程為 4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程 ,求. 解:?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題 該微分方程為線性微分方程故 又得,故 5.設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開(kāi)關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系. 解:由及可得:?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題 該微分方程為線性微分方程故 又得,故 (分部積分法積) 6.求下列貝努利方程的通解 (1) 解:原方程變形為,令,則, 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 (2) 原方程變形為,令,則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 (3) 解:方程變形為,令,則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為,即 (4) 解:方程變形為,,令,則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 §4 可降階的高階方程 1. 求下列方程通解。 2. 解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 故 即 (2); 解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程, 分離變量積分得,得 故,即 解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 若,即,故 若,分離變量積分,得, 即,分離變量積分,得 解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 分離變量積分,得,即, 變形得,分離變量積分 即得,即 即 解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 由,知分離變量積分得,得 即,分離變量積分得,由得 故特解 (2) 解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 由得,即 故,由得, 故特解為 3.求的經(jīng)過(guò)且在與直線相切的積分曲線. 解:由題意,原方程可化為: 4.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線. 證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù)) 用作自變量,令得: , , 從而 , , 再積分: , , . 5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問(wèn)槍彈穿過(guò)鋼板的時(shí)間是多少? 解:由方程, 可得 , 再?gòu)? , 得到 , 根據(jù) , 可得 , §5 高階線性微分方程 1.已知是二階線性微分方程的解,試證是的解 3. 已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解. 解:;是齊次微分方程的解, 且常數(shù),故原方程通解為 由得,即特解為 3.驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 1. 求下列微分方程的通解 (1); (2); (3); (4). 解:特征方程為,即得 即特征方程為有二重共軛復(fù)根 故方程通解為 2.求下列微分方程的特解 (1) (2) (3) 3.設(shè)單擺擺長(zhǎng)為,質(zhì)量為,開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開(kāi),開(kāi)始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律. 解:在時(shí)刻,P點(diǎn)受力中垂直于擺的分量為: ,如圖: P mg 此為造成運(yùn)動(dòng)之力.而此時(shí)線加速度為,故有. 從而方程為:, 初始條件:,, 解得通解為: 特解為: 4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi),浮筒在水中上下震動(dòng),周期為2s,求浮筒質(zhì)量. 解:建立如圖所示的坐標(biāo)系,O 取圓筒在平衡時(shí)(此時(shí)重力與浮力相等)筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)筒在上下振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)位移為,則有.其中為由于筒離開(kāi)平衡位置后產(chǎn)生的浮力:. 由此可得振動(dòng)方程: 該方程的通解為 根據(jù)周期為,獲得 解出 . 5.長(zhǎng)為6m的鏈條自桌上無(wú)摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m,問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面. 解:坐標(biāo)系如圖,原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn),鏈條滑過(guò)的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系, O 于是, 由 , 觀察得一特解:, 于是通解為: 求,由, 得:= §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 1. 求下列微分方程的通解 (1); 解:特征方程為,特征根為, 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 本題中是特征方程的單根,故可設(shè)原方程有特解 代入原方程有 得 故原方程通解為 (2); 解:特征方程為,特征根為, 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 本題中不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解 代入原方程有 得 故原方程通解為 (3); 解:特征方程為,特征根為, 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 構(gòu)造復(fù)方程 復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解 代入復(fù)方程得 得 故復(fù)方程有特解 故復(fù)方程特解的實(shí)部為原方程的一個(gè)特解, 故原方程的通解為 (4); 解:原方程即為 特征方程為,特征根為, 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 顯然有特解 對(duì)構(gòu)造復(fù)方程 設(shè)復(fù)方程有特解,代入復(fù)方程有 得,即復(fù)方程有特解 故有特解, 所以原方程有特解 故原方程有通解 (5). 解:特征方程為,特征根為 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 對(duì), 是特征方程的單根,可設(shè)有特解 解得 對(duì), 是特征方程的單根,可設(shè)有特解 解得 故是原方程的一個(gè)特解 故原方程通解為 2.求下列微分方程的特解 (1); (2) 解法一:原方程即為 特征方程為,特征根為, 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 構(gòu)造復(fù)方程 復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解 代入復(fù)方程得 得 故復(fù)方程有特解 故復(fù)方程特解的虛部為原方程的一個(gè)特解, 故原方程的通解為 由得特解 2. 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求. 解:由題意有 特征方程為,特征根為 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解 解得 故原方程的通解為 由得本題解為 (注 4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解:取坐標(biāo)系如圖: O P 設(shè)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)離水平面為,其加速度為,所受的力為,便得滿足的微分方程為: 5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開(kāi)釘子8m,另一端離開(kāi)釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間. 解:考查鏈條的末端(在8米處)記為P,坐標(biāo)系如圖: O P 在時(shí)刻P坐標(biāo)為,于是.時(shí)刻鏈條所受的合力是: 是鏈條線密度) 整個(gè)鏈條的質(zhì)量為: 由,得 , ,(有特解) 求出通解 然后由解出全部滑落的時(shí)間 (秒) 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線. 解:取坐標(biāo)系如圖. 設(shè)彈道曲線為,時(shí)刻受力為: (0,), 即, 有, 分別可以解得: §8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1. 求下列微分方程的通解 (1); (2). 2.求下列微分方程組的通解 (1) (2) 自測(cè)題 1. 求下列微分方程的解 (1); 解:令則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程, 分離變量積分即,得,故原方程通解為 (2); 解:原方程變形為伯努力方程 令,則化為線性方程 故得, 故 法二: ; (3); ; (4). 2.求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有. 解:由題意有, 即為線性齊次方程 故 (注令,則變?yōu)? ) 3.求以為通解的二階微分方程. 4.某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和,求. . 5.設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求: (1)的表達(dá)式; (2)該微分方程的通解. ; 6.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式: 求. 解:由題意得即 分離變量積分得 由得,故,即 7.已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程.

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