微分方程習(xí)題及答案.doc
微分方程習(xí)題
§1 基本概念
1. 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.
(1)
(2)
2..已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù))
(一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)
(1);
(2).
3.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。
(1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。
(2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。
(3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長(zhǎng)度為2,且曲線過(guò)點(diǎn)(2,0)。
§2可分離變量與齊次方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
(2);
(3);
(4).
2.求下列微分方程的特解
(1);
(2)
3. 求下列微分方程的通解
(1);
(2).
4. 求下列微分方程的特解
(1);
(2).
5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程,并求解下列方程
(1);
(2)
(3)
(4)
6. 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).
B
A
P(x,y)
7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.
8. 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常?
9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問(wèn)一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽?
§3 一階線性方程與貝努利方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)
2.求下列微分方程的特解
(1);
(2)
3.一 曲線過(guò)原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程.
4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程
,求.
5.設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開(kāi)關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.
6.求下列貝努利方程的通解
(1)
(2)
(3)
(4)
§4 可降階的高階方程
1.求下列方程通解。
;(2);
(2)
3.求的經(jīng)過(guò)且在與直線相切的積分曲線
4.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.
證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù)
5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問(wèn)槍彈穿過(guò)鋼板的時(shí)間是多少?
§5 高階線性微分方程
1.已知是二階線性微分方程的解,試證是的解
2.已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解.
3.驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解.
§6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
(2);
(3);
(4).
2.求下列微分方程的特解
(1)
(2)
(3)
3.設(shè)單擺擺長(zhǎng)為,質(zhì)量為,開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開(kāi),開(kāi)始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.
P
mg
4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi),浮筒周期為2s,求浮筒質(zhì)量.。O
5.長(zhǎng)為6m的鏈條自桌上無(wú)摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m,問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面.
O
§7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
2.求下列微分方程的特解
(1);
(2)
3.設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.
4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律.
O
P
5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開(kāi)釘子8m,另一端離開(kāi)釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間.
O
P
6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線.
§8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組
1.求下列微分方程的通解
(1);
(2).
2.求下列微分方程組的通解
(1)
(2)
自測(cè)題
1.求下列微分方程的解。
(1);
(2);
(3);
(4).
2.求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有.
3.求以為通解的二階微分方程.
4.某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和,求.
5.設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求:
(1)的表達(dá)式;
(2)該微分方程的通解.
6.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式:
求.
7.已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程.
微分方程習(xí)題答案
§1 基本概念
1.驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.
(1)
故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解
(2).
解:隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)
方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)
指數(shù)函數(shù)非零,即有
故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解
2.已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù))
(一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)
(1);
(2).
3.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。
(1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。
解:設(shè)曲線為 y = y ( x )則曲線上的點(diǎn)處的切線斜率為,由題意知所求方程為
(2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。
解:曲線上的點(diǎn)處法線方程:。
故法線x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為,又PQ為y軸平分,故,
便得曲線所滿足的微分方程:
(3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長(zhǎng)度為2,且曲線過(guò)點(diǎn)(2,0)。
解:點(diǎn)P處切線方程:
故Q坐標(biāo)為,則有
則得初值問(wèn)題為:
§2可分離變量與齊次方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
解:分離變量
(2);
解:分離變量
其中
(3);
解: 分離變量得
其中
(4).
解:分離變量得
其中
2.求下列微分方程的特解
(1);
(2)
解:分離變量得
,其中,
由得,故特解為
3.求下列微分方程的通解
(1);
解:方程變形為齊次方程,,則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得,兩邊積分,即,故,得
,其中
(2).
解:方程變形為齊次方程,令則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得
,兩邊積分,即,即,
得
其中
4. 求下列微分方程的特解
(1);
解:原方程化為,令則,故原方程變?yōu)椋蛛x變量得
兩邊積分,即,得
其中,由得,故特解為
(2).
解:原方程可化為令則,故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分,即得即得,即,又得特解為
5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程,并求解下列方程
(1);
解:令則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得
故方程通解為
(2)
解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分,即
得,得,即,其中故方程通解為
(,其中)
(3)
解:,則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得
故方程通解為
(4)
解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分,
得,即其中
(分析原方程可變形為,故令)
(,,
其中)
6. 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).
B
A
P(x,y)
解:曲線點(diǎn)P(x, y)的切線方程為:
該曲線與x軸交點(diǎn)記為B,則B坐標(biāo)為,
過(guò)點(diǎn)P(x, y)平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A,則A坐標(biāo)為
故三角形面積為
即有微分方程
當(dāng)時(shí)用分離變量法解得
當(dāng)時(shí)用分離變量法解得
7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.
8. 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常?
解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得
通解為:
加以初始 p(0)=0.3,
便可求出 p(t)=0.3e及p(30)=0.3e
然后與實(shí)測(cè)比較知,此人胰臟不正常.
9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問(wèn)一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽?
解:設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽,,由于時(shí)刻容器內(nèi)液體為:100+,因此時(shí)刻容器內(nèi)濃度為:.于是在時(shí)刻鹽的流失速度為:,從而有滿足的方程為:
初始化條件為:
§3 一階線性方程與貝努利方程
1.求下列微分方程的通解
(1);
解:法一:常系數(shù)變易法:解齊次方程,分離變量得,
積分得,即,其中(注:在常系數(shù)變易法時(shí)求解齊次方程通解時(shí)寫成顯式解;
其中。
設(shè)非齊次方程有解,代入非齊次方程有,即,
故,非齊次微分方程的通解
法二(公式法)
(2);
故
(
(3);
解:方程變形為
故
即,其中
(4);
解:方程變形為,
故
即
(分部積分法:)
(5)
解:兩邊同乘得,即,
故令,則原方程變?yōu)?
故,即
得
即原方程通解為
(用分部積分法積分)
2.求下列微分方程的特解
(1);
解:
(2)
解:
3.一 曲線過(guò)原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程.
解:由題意可得:
于是:
由得,故曲線方程為
4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程
,求.
解:?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題
該微分方程為線性微分方程故
又得,故
5.設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開(kāi)關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.
解:由及可得:?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題
該微分方程為線性微分方程故
又得,故
(分部積分法積)
6.求下列貝努利方程的通解
(1)
解:原方程變形為,令,則,
故原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
貝努利方程的通解為
(2)
原方程變形為,令,則
故原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
貝努利方程的通解為
(3)
解:方程變形為,令,則
故原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
貝努利方程的通解為,即
(4)
解:方程變形為,,令,則
故原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
貝努利方程的通解為
§4 可降階的高階方程
1. 求下列方程通解。
2.
解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
故
即
(2);
解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程,
分離變量積分得,得
故,即
解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程
若,即,故
若,分離變量積分,得,
即,分離變量積分,得
解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程
分離變量積分,得,即,
變形得,分離變量積分
即得,即
即
解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程
由,知分離變量積分得,得
即,分離變量積分得,由得
故特解
(2)
解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程
故
由得,即
故,由得,
故特解為
3.求的經(jīng)過(guò)且在與直線相切的積分曲線.
解:由題意,原方程可化為:
4.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.
證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù))
用作自變量,令得:
,
,
從而
,
,
再積分:
,
,
.
5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問(wèn)槍彈穿過(guò)鋼板的時(shí)間是多少?
解:由方程,
可得 ,
再?gòu)? ,
得到 ,
根據(jù) ,
可得 ,
§5 高階線性微分方程
1.已知是二階線性微分方程的解,試證是的解
3. 已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解.
解:;是齊次微分方程的解,
且常數(shù),故原方程通解為
由得,即特解為
3.驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解.
§6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
1. 求下列微分方程的通解
(1);
(2);
(3);
(4).
解:特征方程為,即得
即特征方程為有二重共軛復(fù)根
故方程通解為
2.求下列微分方程的特解
(1)
(2)
(3)
3.設(shè)單擺擺長(zhǎng)為,質(zhì)量為,開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開(kāi),開(kāi)始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.
解:在時(shí)刻,P點(diǎn)受力中垂直于擺的分量為: ,如圖:
P
mg
此為造成運(yùn)動(dòng)之力.而此時(shí)線加速度為,故有.
從而方程為:,
初始條件:,,
解得通解為:
特解為:
4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi),浮筒在水中上下震動(dòng),周期為2s,求浮筒質(zhì)量.
解:建立如圖所示的坐標(biāo)系,O
取圓筒在平衡時(shí)(此時(shí)重力與浮力相等)筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)筒在上下振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)位移為,則有.其中為由于筒離開(kāi)平衡位置后產(chǎn)生的浮力:.
由此可得振動(dòng)方程:
該方程的通解為
根據(jù)周期為,獲得
解出 .
5.長(zhǎng)為6m的鏈條自桌上無(wú)摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m,問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面.
解:坐標(biāo)系如圖,原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn),鏈條滑過(guò)的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系,
O
于是,
由 ,
觀察得一特解:,
于是通解為:
求,由,
得:=
§7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
1. 求下列微分方程的通解
(1);
解:特征方程為,特征根為,
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
本題中是特征方程的單根,故可設(shè)原方程有特解
代入原方程有
得
故原方程通解為
(2);
解:特征方程為,特征根為,
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
本題中不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解
代入原方程有
得
故原方程通解為
(3);
解:特征方程為,特征根為,
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
構(gòu)造復(fù)方程
復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解
代入復(fù)方程得
得
故復(fù)方程有特解
故復(fù)方程特解的實(shí)部為原方程的一個(gè)特解,
故原方程的通解為
(4);
解:原方程即為
特征方程為,特征根為,
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
顯然有特解
對(duì)構(gòu)造復(fù)方程
設(shè)復(fù)方程有特解,代入復(fù)方程有
得,即復(fù)方程有特解
故有特解,
所以原方程有特解
故原方程有通解
(5).
解:特征方程為,特征根為
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
對(duì),
是特征方程的單根,可設(shè)有特解
解得
對(duì),
是特征方程的單根,可設(shè)有特解
解得
故是原方程的一個(gè)特解
故原方程通解為
2.求下列微分方程的特解
(1);
(2)
解法一:原方程即為
特征方程為,特征根為,
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
構(gòu)造復(fù)方程
復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解
代入復(fù)方程得
得
故復(fù)方程有特解
故復(fù)方程特解的虛部為原方程的一個(gè)特解,
故原方程的通解為
由得特解
2. 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.
解:由題意有
特征方程為,特征根為
故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為
不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解
解得
故原方程的通解為
由得本題解為
(注
4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律.
解:取坐標(biāo)系如圖:
O
P
設(shè)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)離水平面為,其加速度為,所受的力為,便得滿足的微分方程為:
5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開(kāi)釘子8m,另一端離開(kāi)釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間.
解:考查鏈條的末端(在8米處)記為P,坐標(biāo)系如圖:
O
P
在時(shí)刻P坐標(biāo)為,于是.時(shí)刻鏈條所受的合力是:
是鏈條線密度)
整個(gè)鏈條的質(zhì)量為:
由,得
,
,(有特解)
求出通解
然后由解出全部滑落的時(shí)間
(秒)
6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線.
解:取坐標(biāo)系如圖.
設(shè)彈道曲線為,時(shí)刻受力為:
(0,),
即,
有,
分別可以解得:
§8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組
1. 求下列微分方程的通解
(1);
(2).
2.求下列微分方程組的通解
(1)
(2)
自測(cè)題
1. 求下列微分方程的解
(1);
解:令則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程,
分離變量積分即,得,故原方程通解為
(2);
解:原方程變形為伯努力方程
令,則化為線性方程
故得,
故
法二:
;
(3);
;
(4).
2.求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有.
解:由題意有, 即為線性齊次方程
故
(注令,則變?yōu)?
)
3.求以為通解的二階微分方程.
4.某個(gè)三階常系數(shù)微分方程
有兩個(gè)解和,求.
.
5.設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求:
(1)的表達(dá)式;
(2)該微分方程的通解.
;
6.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式:
求.
解:由題意得即
分離變量積分得
由得,故,即
7.已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程.