第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念,自由落體運(yùn)動(dòng)中，物體在不同時(shí)刻的 速度是不一樣的。,平均速度不一定能反映物體在某一時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)情況。,物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。,解：設(shè)在3，3.1內(nèi)的平均速度為v1，則,t1=3.1-3=0.1(s),s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g 3.12-0.5g32 =0.305g(m),所以,同理,例1是計(jì)算了3，3+t當(dāng)t=0.1,t=0.01,t=0.001時(shí)的平均速度。,上面是計(jì)算了t0時(shí)的情況,下面再來計(jì)算t<0時(shí)的情況,解：設(shè)在2.9，3內(nèi)的平均速度為v4，則,t1=3-2.9=0.1(s),s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g32-0.5g2.92,,=0.295g(m),所以,設(shè)在2.99，3內(nèi)的平均速度為v5，則,設(shè)在2.999，3內(nèi)的平均速度為v6，則,當(dāng)t0時(shí)， 物體的速度趨近于一個(gè)確定的值3g,在 t=3s 這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于 在 3s 到 (3+t)s 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 當(dāng)t0的極限，,設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是 s=s(t), 物體在時(shí)刻 t 的瞬時(shí)速度為 v ,,一般結(jié)論,就是物體在 t 到 t+t 這段時(shí)間內(nèi), 當(dāng)t0 時(shí)平均速度的極限 ，即,讓我們再來看一個(gè)例子,,,,P,,,,相切,相交,再來一次,例、,,,,,,,,,,,,,,,P,再來一次,設(shè)曲線C是函數(shù) y=f(x) 的圖象， 在曲線C上取一點(diǎn) P及P點(diǎn)鄰近的任一點(diǎn) Q(x0+x,y0+y) , 過P,Q兩點(diǎn)作割線， 則直線PQ的斜率為,上面我們研究了切線的斜率問題,,可以將以上的過程概括如下：,當(dāng)直線PQ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，Q逐漸向P靠近， 也即x 變小,當(dāng)x0時(shí)，PQ無限靠近PT,因此：,一般地， 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是,上式稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作：或,即,注意：,1、函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義， 否則導(dǎo)數(shù)不存在。,2、在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，x趨近于0 可正、可負(fù)，但不為0，而y可能為0。,3、導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)在x0 及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與x無關(guān)。,4、若極限 不存在，則稱 函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。,物體的運(yùn)動(dòng)方程 s=s(t)在t0處的導(dǎo)數(shù) 即在t0處的瞬時(shí)速度vt0,函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù) 即曲線在x0處的切線斜率,導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率,瞬時(shí)變化率除了瞬時(shí)速度，切線的斜率,還有：點(diǎn)密度，國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的增 長率，經(jīng)濟(jì)學(xué)上講的一切邊際量 等,例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第xh時(shí)，原油的溫度(單位：)為f(x)=x2-7x+15 (0 x 8).計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬進(jìn)變化率，并說明它們的意義。,解：第2h和第6h時(shí)，原油溫度的 瞬進(jìn)變化率就是f (2)和f (6),根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：,所以，,同理可得 f (6)=5,f(x)=x2-7x+15,f (6)=5 說明在第6h附近，原油溫度 大約以5 /h的速度上升；,說明在第2h附近，原油溫度 大約以3 /h的速度下降；,所以 物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度為v0-gt0.,由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在 點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法是：,(2)求平均變化率,(3)取極限,得導(dǎo)數(shù),(1)求函數(shù)的增量,練習(xí)2、質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng) (位移單位：m , 時(shí)間單位：s).若質(zhì)點(diǎn)在 t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s,求常數(shù)a的值。,a=2,,,由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在 點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法是： (1)求函數(shù)的增量 (2)求平均變化率 (3)取極限,得導(dǎo)數(shù),小 結(jié):,,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 的定義。,,再見,