8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì),知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,1,1.直線與平面垂直,任意,mn=O,a,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,1,b,ab,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,1,2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個(gè)平面互相垂直.,直二面角,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,1,(2)判定定理與性質(zhì)定理,垂線,交線,l,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,1,3.常用結(jié)論 (1)線面平行或垂直的有關(guān)結(jié)論 若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面. 若一條直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法). 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直. 兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面. (2)證明線面垂直時(shí),易忽視平面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.,2,知識(shí)梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)已知直線a,b,c;若ab,bc,則ac.() (2)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.() (3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,若mn,m,則n. () (4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.() (5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則. (),答案,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是() A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.(教材習(xí)題改編P69練習(xí))將圖中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體A-BCD(如圖),則在空間四面體A-BCD中,AD與BC的位置關(guān)系是() A.相交且垂直B.相交但不垂直 C.異面且垂直D.異面但不垂直,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,4.(教材習(xí)題改編P67T2)P為ABC所在平面外一點(diǎn),O為P在平面ABC內(nèi)的射影. (1)若P到ABC三邊距離相等,且O在ABC的內(nèi)部,則O是ABC的心; (2)若PABC,PBAC,則O是ABC的心; (3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是ABC的心.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,5.如圖,PAO所在平面,AB是O的直徑,C是O上一點(diǎn),AEPC,AFPB,給出下列結(jié)論:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命題的序號(hào)是.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點(diǎn)評 1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,還有可能異面、相交. 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理,不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,就垂直于這個(gè)平面”. 3.判斷線面關(guān)系時(shí)最容易漏掉線在面內(nèi)的情況.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例1如圖,S是RtABC所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn). (1)求證:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求證:BD平面SAC. 思考證明線面垂直的常用方法有哪些?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:(1)如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接SE,DE, 在RtABC中, D,E分別為AC,AB的中點(diǎn), DEBC,DEAB. SA=SB,SEAB. 又SEDE=E,AB平面SDE. 又SD平面SDE,ABSD. 在SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),SDAC. 又ACAB=A,SD平面ABC. (2)AB=BC,D為AC的中點(diǎn),BDAC. 由(1)可知,SD平面ABC, BD平面ABC,SDBD. 又SDAC=D,BD平面SAC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.證明線面垂直的方法 (1)線面垂直的判定定理(常用方法):la,lb,a,b,ab=Pl. (2)面面垂直的性質(zhì)定理(常用方法):,=l,a,ala. (3)性質(zhì):ab,ba,,aa. (4),,=ll.(客觀題可用) 2.在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EFA1D,EFAC,求證:EFBD1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:如圖,連接A1C1,C1D,B1D1,BD. 因?yàn)锳CA1C1,EFAC, 所以EFA1C1. 又EFA1D,A1DA1C1=A1, 所以EF平面A1C1D. 因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1, 所以BB1A1C1. 因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1為正方形,所以A1C1B1D1. 又B1D1BB1=B1,所以A1C1平面BB1D1D. 又BD1平面BB1D1D,所以A1C1BD1. 同理,DC1BD1. 因?yàn)镈C1A1C1=C1,所以BD1平面A1C1D. 由可知EFBD1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積. 思考證明面面垂直的常用方法有哪些?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形, 所以ACBD. 因?yàn)锽E平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件:l,l,缺一不可.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB平面PAC,ABBP,M,N分別為PA,AB的中點(diǎn). (1)求證:PB平面CMN; (2)若AC=PC,求證:AB平面CMN.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:(1)在平面PAB中,因?yàn)镸,N分別為PA,AB的中點(diǎn),所以MNPB. 又PB平面CMN,MN平面CMN, 所以PB平面CMN. (2)在平面PAB中,因?yàn)锳BBP,MNPB,所以ABMN. 因?yàn)锳C=PC,M為PA的中點(diǎn),所以CMPA. 又平面PAB平面PAC,平面PAB平面PAC=PA, 所以CM平面PAB. 因?yàn)锳B平面PAB,所以CMAB. 又CMMN=M,CM平面CMN,MN平面CMN, 所以AB平面CMN.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向一平行與垂直關(guān)系的證明 例3(2018江蘇,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證: (1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC. 思考處理平行與垂直關(guān)系的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是什么?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形, 因此AB1A1B. 又因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC. 又因?yàn)锳1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因?yàn)锳B1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向二探索性問題中的平行與垂直關(guān)系 例4如圖,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),如圖. (1)求證:DEA1B. (2)求證:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.,思考探索性問題的一般處理方法是什么?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明:在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置, DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DE丄A1B. (2)證明:取CD中點(diǎn)F,連接NF,MF. M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn), MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)解:取A1B的中點(diǎn)G,連接EG. A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE. DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系 例5如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置. (1)證明:ACHD; 思考折疊問題的處理關(guān)鍵是什么?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想和處理策略: (1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化. (2)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)的存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè),也可以根據(jù)相似知識(shí)找點(diǎn). (3)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系,尤其是隱含著的垂直關(guān)系.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,在RtABC中,ABC=90,D為AC的中點(diǎn),AEBD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D),延長AE交BC于點(diǎn)F,將ABD沿BD折起,得到三棱錐A1-BCD,如圖所示. (1)若M是FC的中點(diǎn),求證:直線DM平面A1EF; (2)求證:BDA1F.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:(1)因?yàn)镈,M分別為AC,FC的中點(diǎn), 所以DMEF. 又EF平面A1EF,DM平面A1EF, 所以DM平面A1EF. (2)因?yàn)锳1EBD,EFBD且A1EEF=E, 所以BD平面A1EF. 又A1F平面A1EF,所以BDA1F.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2.在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. 2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.,審題答題指導(dǎo)“立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范 在高考數(shù)學(xué)試題中,問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時(shí),要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢,抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來解決問題.,典例(12分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點(diǎn),求證: (1)直線BC1平面EFPQ; (2)直線AC1平面PQMN.,審題要點(diǎn)解題流程: 第(1)問,第(2)問,解題步驟第一步:由圖形特征(正方體、中位線)推證AD1BC1,FPAD1,從而證FPBC1,可得結(jié)論. 第二步:利用圖形特征ACBD及CC1平面ABCD推證BD平面ACC1,從而得AC1BD. 第三步:利用平行性證明MNAC1,PNAC1,可證AC1平面PQMN.,證明:(1)連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1BC1,因?yàn)镕,P分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以FPAD1.從而BC1FP. (3分) 而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ. (2)如圖,連接AC,BD, 則ACBD. 由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD. (7分) 又ACCC1=C, 所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1,所以BDAC1. (8分) 連接B1D1,因?yàn)镸,N分別是A1B1,A1D1的中點(diǎn), 所以MNB1D1,故MNBD, (10分) 從而MNAC1.同理可證PNAC1. (11分) 又PNMN=N,所以直線AC1平面PQMN. (12分),失分警示1.易漏線面平行判定定理中的條件,導(dǎo)致失分. 2.易漏“面內(nèi)相交線”這一條件,導(dǎo)致判定線面垂直失誤丟分.,