2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,第2章 2.4 拋物線,,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念. 2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程. 3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),,知識(shí)點(diǎn) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,,,,思考1 在拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定？ 答案 p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線方程中一次項(xiàng)決定開口方向. 思考2 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點(diǎn)位置和開口方向？ 答案 一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上.若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上.焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定.,梳理 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型,1.拋物線y2＝2x(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).( ) 2.到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.( ) 3.拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù).( ) 4.方程x2＝2py是表示開口向上的拋物線.( ),[思考辨析 判斷正誤],,,,,題型探究,,類型一 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,解答,例1 分別根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，－2)；,解 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y.,解答,解 因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線平行于x軸，且在x軸上面，,解答,(3)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5；,解 由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5知，p＝5. 又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上， 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－10 x.,解答,(4)過點(diǎn)A(2,3).,解 由題意知，拋物線方程可設(shè)為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0).將點(diǎn)A(2,3)的坐標(biāo)代入，,反思與感悟 求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可.若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0).,解答,跟蹤訓(xùn)練1 分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)過點(diǎn)(3，－4)；,解 方法一 ∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限， ∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把點(diǎn)(3，－4)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y， 得(－4)2＝2p3,32＝－2p1(－4)，,方法二 ∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限， ∴設(shè)拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0).,解答,(2)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 解 令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15， ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)或(－15,0). ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60 x.,解答,(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 .,,類型二 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,例2 已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)y2＝－6x； 解 由方程y2＝－6x知，拋物線開口向左，,解答,(2)3x2＋5y＝0；,解答,(3)y＝4x2；,解答,(4)y2＝a2x(a≠0). 解 由方程y2＝a2x(a≠0)知，拋物線開口向右，,解答,引申探究 若將本例(4)中條件改為y＝ax2(a≠0)，結(jié)果又如何？,解答,反思與感悟 如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向.一次項(xiàng)的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向.,跟蹤訓(xùn)練2 若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝___，準(zhǔn)線方程為________.,答案,解析,2,x＝－1,,類型三 拋物線定義的應(yīng)用,,解答,其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，,故點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0).,反思與感悟 滿足拋物線的定義，可直接利用定義寫出軌跡方程，避免了繁瑣的化簡(jiǎn).,跟蹤訓(xùn)練3 平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 解 由題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1. 由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).,解答,由題意設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為MN，,故拋物線方程為y2＝－4x. 將M(－9，y0)代入拋物線方程，得y0＝6. ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6).,3.對(duì)于拋物線上的點(diǎn)，利用定義可以把其到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，也可以把其到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題.,