第十五章 圓錐曲線 15.1曲線和方程 基礎(chǔ)練習 1．如果命題“坐標滿足方程的點都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是（ ）． （A）曲線上的點的坐標都滿足方程 （B）坐標滿足方程的點有些在上，有些不在上 （C）坐標滿足方程的點都不在曲線上 （D）一定有不在曲線上的點，其坐標滿足方程 解：原命題不正確說明坐標滿足方程的點不都在曲線上，故正確． 2．若曲線與有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍． 解：數(shù)形結(jié)合法，可得：． 3．判斷并畫出方程所表示的曲線． 解：由原方程可得 ，即 方程的曲線是兩條射線，如解析圖所示． 4．若曲線與直線恰有三個公共點，則的值為__________． 解：數(shù)形結(jié)合，可知：無解． 5．過（2，4）點作兩條互相垂直的直線，，若交軸于，交軸于，求線段中點的軌跡方程． 解：設(shè)的方程為，則的方程為（若兩直線的斜率均存在）， 則，． 由中點坐標公式知，的坐標為． 所以的軌跡方程為． 若兩直線有一條無斜率，則的坐標為（1，2）． 所以的軌跡方程為． 能力提高 6．如題6解析圖，已知兩點以及一直線，設(shè)長為的線段在直線上移動．求直線和的交點的軌跡方程． 解：由于、在直線，且線段長為，設(shè)，. 則方程為， 方程為． 聯(lián)立兩方程得． 所以的軌跡方程為． 7．如題7解析圖，的兩條直角邊長分別為和，與兩點分別在軸的正半軸和軸的正半軸上滑動，求直角頂點的軌跡方程． 解：設(shè)點的坐標為，連接，由，所以、、、四點共圓． 從而．由，，有，即． 注意到方程表示的是過原點、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩坐標軸的正半軸上滑動，由于、為常數(shù)，故點的軌跡不會是一條直線，而是直線的一部分．我們可考查與兩點在坐標軸上的極端位置，確定點坐標的范圍． 如圖，當點與原點重合時， ，所以． 如圖，當點與原點重合時，點的橫坐標． 由射影定理，，即，有． 由已知，所以． 故點的軌跡方程為：． 8．已知常數(shù)，在矩形中，，，為的中點，點、、分別在、、上移動，且，為與的交點（如解析圖）．求點的軌跡方程． 解：根據(jù)題設(shè)條件可知，點的軌跡即直線與的交點． 據(jù)題意有，，，． 設(shè)，， 由此有，， 直線的方程為， ① 直線的方程為． ② 從①②消去參數(shù)，得點的軌跡方程是：． 1 5.2 圓的方程 基礎(chǔ)練習 1．求過兩點（1，4）、（3，2）且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點（2，4）與圓的關(guān)系． 解：圓心坐標為中垂線與直線的交點，半徑為圓心到的距離，繼而得，計算點到圓心的距離為5，圓半徑為，其大于半徑，故點在圓外． 2．圓上到直線的距離為的點共幾個． 解：圓方程為，圓心坐標（，），其到直線的距離為，又圓的半徑為，故圓上到直線距離為的點有3個． 3．自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切. （1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點所經(jīng)過的路程多長？ 解：（1）根據(jù)對稱性可知，入射光線與圓關(guān)于軸對稱的圓相切． 設(shè)入射光線的方程為，則，． 所以入射光所在直線方程為或． 根據(jù)對稱性可知，反射光線是通過點關(guān)于軸對稱的點與圓相切的直線． 設(shè)入射光線的方程為，則，． 所以反射光線所在的直線的方程為或． （2）根據(jù)對稱性可知，光線自到切點所經(jīng)過的路程等于點與圓相切的切線的長度，即答案為． 4．求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程． 解：依題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心的坐標為或，又已知圓的圓心坐標為，半徑，若兩圓相切，則或． （1）當圓心為時，有， 解得，或，無解． 故所求圓的方程為或． （2）當圓心為時，有， 解得，或，無解． 故所求的圓的方程為或． 綜合（1）（2）可知所求圓的方程為或或或． 5．求經(jīng)過點（0，5），且與直線和都相切的圓的方程． 解：設(shè)圓心坐標為，半徑為，則， 解得：或，所以圓的方程為：或． 6．設(shè)點是圓上的任一點，求的取值范圍． 解：由得：，此直線與圓有公共點， 故點到直線的距離．解得：． 能力提高 7．在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切． （1）求圓的方程．（2）圓與軸相交于，兩點，圓內(nèi)的動點使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍． 解：（1）點到直線的距離為，故圓方程為． （2），設(shè)，故為． 因點在圓內(nèi)，所以，得． 8．矩形的兩條對角線相交于點（2，0），邊所在直線的方程為，點（1，1）在邊所在直線上． （1）求邊所在直線的方程． （2）求矩形外接圓的方程． （3）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程． 解：（1）因為，因為，又過．故直線方程為． （2）由題知，點坐標為，圓心為點（2，0），所以矩形外接圓的方程為． （3）由題知，，由雙曲線的定義知：． 9．在平面直角坐標系中，給定兩點和，點在軸上移動，當取最大值時，試求點的橫坐標． 解：經(jīng)過，兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線，設(shè)圓心為，則圓的方程為：．對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經(jīng)過，，三點的圓必與軸相切于點，即圓的方程中的值必須滿足，解得或． 即對應的切點分別為（1，0）和，而過點，，的圓的半徑大于過點，，的圓的半徑，所以，故點（1，0）為所求，所以點的橫坐標為l． 10．已知，是軸上的動點，，分別切于，兩點． （1）如果，求直線的方程．（2）求動弦的中點的軌跡方程． 解：（1）如解析圖所示，由，可得． 由射影定理，得，得，在中， ， 故或，所以直線方程是 或． （2）連接，．設(shè)，，由 點，，在一直線上，得 由射影定理得， ① 即 ② 在①及②中消去，并注意到，可得． 11．在軸同側(cè)的兩個圓：動圓和圓外切，且動圓與軸相切，求： （1）動圓的圓心軌跡方程． （2）若直線與曲線有且僅有一個公共點，求，之值． 解：（1）由可得， 由，，以及兩圓在軸同側(cè)，可知動圓圓心在軸上方，設(shè)動圓圓心坐標為， 則有， 整理得到動圓圓心軌跡方程． （2）聯(lián)立方程組 ① ② 消去得， 由，整理得 ③ 從③可知．故令，代入③可得， ．再令，代入上式得． 同理可得，．可令，，代入③可得 ④ 對④進行配方，得，對此式進行奇偶分析，可知，均為偶數(shù)．所以為8的倍數(shù)，令，則． 所以0，1，2，3，4，5，6． 僅當時，為完全平方數(shù)。于是解得 ． 15.3橢圓的標準方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習 1．設(shè)是橢圓上異于長軸端點的任意一點，、分別是其左、右焦點，為中心，求的值． 解：設(shè)的坐標由焦半徑公式． 2．設(shè)，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，求的面積． 解：，則為直角三角形， 故的面積為4． 3．已知橢圓的左右焦點分別為與，點在直線上．當取最大值時，求的值． 解：由平面幾何知，要使最大，則過，，三點的圓必定和直線相切于點． 設(shè)直線交軸于，則，即， 即 ① 又由圓冪定理， ② 而，，從而有． 代入①②． 4．已知橢圓，長軸的兩個端點為、，若橢圓上存在點，使，求該橢圓的離心率的取值范圍． 解：，， 將代入，得，解得． 5．等腰直角中，斜邊，一個橢圓以為其焦點，另一個焦點在線段上，且橢圓經(jīng)過，兩點，求該橢圓的標準方程． 解：由題可知，橢圓的另一焦點與點的連線平分三角形的周長，三角形的周長為．所以橢圓的半長軸長為，同時解得長為，所以橢圓方程為． 6．橢圓的右焦點為，，，…，，為24個依逆時針順序排列在橢圓上的點，其中是橢圓的右頂點，并且…．若這24個點到右準線的距離的倒數(shù)和為，求的值． 解：橢圓中，，，故．所以． 設(shè)與軸正向的夾角為，為點到右準線的距離．則 ．即． 同理． 所以． 從而，于是． 7．過橢圓上任一點，作橢圓的右準線的垂線（為垂足），延長到點，使．當點在橢圓上運動時，求點的軌跡的離心率的取值范圍． 解：設(shè)，，因為右準線方程為，所以點的坐標為． 又由于，所以，所以由定比分點公式，可得：，代入橢圓方程，得點軌跡為，所以離心率． 8．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的一點，的內(nèi)心為，求． 解：記內(nèi)切圓在，，上的三個切點為，， 則，，． 則， ， ， ． 能力提高 9．設(shè)橢圓的方程為，線段是過左焦點且不與軸垂直的焦點弦．若在左準線上存在點，使為正三角形， 求橢圓的離心率的取值范圍，并用表示直線的斜率． 解：如下頁解析圖，設(shè)線段的中點為． 過點、、分別作準線的垂線，垂足分別為、、， 則． 假設(shè)存在點，則，且， 即，所以． 于是，． 則． 若（如解析圖）則． 當時，過點作斜率為的焦點弦，它的中垂線交左準線于，由上述運算知，．故為正三角形． 若，則由對稱性得． 又，所以，橢圓的離心率的取值范圍是， 直線的斜率為． 10．如圖15—16，已知，，是長軸為4的橢圓上三點，點是長軸的一個頂點，過橢圓中心，且，． （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求橢圓方程． （2）如果橢圓上兩點，使直線，與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)，使？請給出證明． 解：（1）以為原點，所在的直線為軸建立如解析圖直角坐標系，則（2，0），橢圓方程可設(shè)為 ． 如解析圖所示，為橢圓中心，南對稱性知又． 則，又，所以， 則為等腰直角三角形，所以點坐標為（1，1）． 將（1，1）代入橢圓方程得． 則橢圓方程為． （2）由直線、與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為．由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得 ① 因為（1，1）在橢圓上，所以是方程①的一個根，于是 ．同理，． 這樣，，又，所以，即． 所以，存在實數(shù)使． 11．學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設(shè)計方案如圖1 5—1 7．航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為（8，0）．觀測點（4，0）、（6，0）同時跟蹤航天器． （1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程． （2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點、測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發(fā)出變軌指令． 解：（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，． 則． 則曲線方程為． （2）設(shè)變軌點為，根據(jù)題意可知 得，即或（不合題意，舍去）． 則．得或（不合題意，舍去）． 則點的坐標為（6，4），． 即當觀測點、測得、距離分別為、時，應向航天器發(fā)出指令． 12．如圖15—18，為橢圓上的一個動點，弦、分別過焦點、．當垂直于軸時，恰好． （1）求該橢圓的離心率． （2）設(shè)，，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由． 解：（1）當垂直于軸時， ，由，得 ． 在中，，解得． （2）由，則． 焦點坐標為，，則橢圓方程為，化簡有． 設(shè)，，． ①若直線斜率存在，則直線方程為， 代入橢圓—方程有． 由韋達定理得，則． 所以，同理可得．故． ②若直線軸，，，． 則．綜上所述：是定值6． 1 5.4 雙曲線的標準方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習 1．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是（ ）． （A） （B） （C） （D） 解：設(shè)點和點，則 ，因為點和點在雙曲線的右分支上，所以，． 所以直線方程為，聯(lián)立，得 ，故選． 2．已知一條直線與雙曲線的兩支分別相交于、兩點，為原點，當時，求雙曲線的中心到直線的距離． 解：設(shè)， 則， 則 ①+②得． 記到的距離為，則， 則． 3．方程表示的曲線是（ ）． （A）焦點在軸上的橢圓 （B）焦點在軸上的雙曲線 （C）焦點在軸上的橢圓 （D）焦點在軸上的雙曲線 解：， ， ，所以選． 4．如圖15—25，從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為．延長交雙曲線右支于點．若為線段的中點，為坐標原點，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明． 解：記雙曲線右焦點為，連接， 則． ． 又由于，則， 則， ．（利用雙曲線的定義） 5．已知雙曲線，拋物線的頂點在原點，的焦點是的左焦點． （1）求證：，總有兩個不同的交點． （2）問：是否存在過的焦點的弦，使的面積有最大值或最小值？ 若存在，求直線的方程與的最值，若不存在，說明理由． 解：（1），所以，總有兩個不同的交點． （2），存在過的直線使面積有最小值． 6．在正中，、分別是、的中點，試求以、為焦點且過點、的雙曲線的離心率． 解：． 能力提高 7．已知曲線，，為正常數(shù)．直線與曲線的實軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、、、四個點，為坐標原點．若，求證：的面積為定值． 解：設(shè)直線代入得． 得． 設(shè)，，則有． 設(shè)，，易得，． 由得． 故． 代入得． 整理得：． 又． 則為定值． 8．過雙曲線的右焦點作軸，交雙曲線于，兩點，與左焦點連線交雙曲線于點，聯(lián)結(jié)交軸于點．求證：的橫坐標為定值． 證明：設(shè)點，，的坐標分別為，，，則，，的坐標分別為，，，因為，分別是直線，與軸的交點， 所以 ① 所以 ． 由①得， 代入上式得，即（定值）． 9．已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值，且的最小值為． （1）求動點的軌跡方程． （2）若已知（0，3），、在動點的軌跡上且，求實數(shù)的取值范圍． 解：（1）由題意．設(shè)，由余弦定理，得 ． 又， 當且僅當時，取最大值， 此時取最小值，令， 解得．由于，則，故所求的軌跡方程為． （2）設(shè)，，則由，可得， 故，． 由于，在動點的軌跡上， 則且， 消去可得，解得． 又，，解得． 故實數(shù)的取值范圍是． 10．在雙曲線的一支上有三個點、、與焦點（0，5）的距離成等差數(shù)列． （1）求． （2）求證線段的垂直平分線經(jīng)過某個定點，并求出定點的坐標． 解：（1）雙曲線方程可以化為：， 由題意可知，，三點在雙曲線的一支上，即得 由于，，成等差數(shù)列 由于，則，得． （2）設(shè)的中點坐標，由于，在雙曲線上，故 ，兩式相減得： ， 整理得：， 則中垂線斜率為， 則的中垂線方程為：，即， 則當時，即的中垂線經(jīng)過定點． 11．直線與雙曲線的左支相交于，兩點，設(shè)過點和中點的直線在軸上的截距為，求的取值范圍． 解：由得．令， 直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程在上有兩個不等實根． 因此．解得，又中點為， 則直線的方程為， 令，得， 由于，則． 則故的取值范圍是． 12．已知雙曲線的兩條漸近線過坐標原點，且與以為圓心，為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點和關(guān)于直線對稱，設(shè)直線過點，斜率為． （1）求雙曲線的方程． （2）當時，在雙曲線的上支求點，使其與直線的距離為． （3）當時，若雙曲線的上支上有且只有一個點到直線的距離為，求斜率的值及相應的點的坐標． 解：（1）由已知得雙曲線的漸近線為． 因而為等軸雙曲線，其中一個頂點為，所以雙曲線的方程為． （2）若是雙曲線的上支上到直線的距離為的點， 則，解得，．故點坐標為． （3）因為當時，雙曲線的上支在直線的上方，所以點在直線的上方． 設(shè)直線與直線平行，兩線間的距離為， 直線在直線的上方，雙曲線的上支上有且只有一個點到直線的距離為，等價于直線與雙曲線的上支有且只有一個公共點． 設(shè)的方程是，由上的點到距離為，可知， 解得，其中舍去． 由方程及，消去得，． 由于，則． 令．由于，解得，． 當時，，解得，，則點的坐標為． 當時，，解得，，而，則點的坐標為． 1 5.5 拋物線的標準方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習 1．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，若此直線與拋物線交于，兩點，弦的中垂線與軸交于點，求線段的長． 解：易知此拋物線焦點與坐標原點重合，故直線的方程為，因此，，兩點的橫坐標滿足方程，由此求得中點的橫坐標，縱坐標進而求得其中垂線方程為，令，得點的橫坐標，即． 2．拋物線頂點在原點，對稱軸為軸，焦點在直線上，求此拋物線的方程． 解：焦點為（4，0），則拋物線方程為． 3．已知拋物線，是坐標原點，為軸上一動點，過作直線交于，兩點，設(shè)，求的最小值． 解：． ． 設(shè)方程為，設(shè)，點坐標分別為，， 聯(lián)立得：． ． 則的最小值為． 4．正方形的兩頂點，在拋物線上，，兩點在直線上，求正方形的邊長． 解：設(shè)，兩點坐標分別為、，顯然． 由于，則，即． 一方面， ， 則 ① 另一方面，， 則 ② 將①代入②，得，即． 故或． 5．如圖15—30，拋物線頂點在原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、、、四點，求的值． 解：由圓的方程，即可知，圓心為（2，0），半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為（2，0），設(shè)拋物線方程為， ． 由于為已知圓的直徑，則，則． 設(shè)、，由于，而、在拋物線上，由已知可知，直線方程為，于是，由方程組 消去，得，則． 則，因此，． 能力提高 6．已知，為拋物線上異于原點的兩點，，點坐標為． （1）求證：，，三點共線． （2）若且，試求點的軌跡方程． 解:（1）證明：設(shè)，，由得 ，則， 又由于，， 且，則，即，，三點共線． （2）由（1）知直線過定點，又由及知，垂足為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，除去坐標原點．即點的軌跡方程為． 7．已知為拋物線的焦點，點的坐標為（4，0），過點作斜率為，的直線與拋物線交于，兩點，延長，交拋物線于，兩點，設(shè)直線的斜率為． （1）求的值． （2）求直線與直線夾角的取值范圍． 解：（1）由條件知，設(shè)、、、，不妨設(shè)． 直線的方程為，與聯(lián)立得． 所以． ①當時，則，故，即． 直線的方程為，從而；直線的方程為：， 與聯(lián)立得，得，，即． 于是，．所以． ②當時，直線方程為與拋物線方程． 聯(lián)立得，又由，化簡上述方程得． 此方程有一根為，所以另一根，．即，同理，． 所以，，即． 由①、②可知． （2）故． 所以，直線與直線夾角的取值范圍是． 8．如圖15—31，已知與軸的交點．如果．試求函數(shù)的值域． 解：設(shè)，不妨設(shè)，則的方程是 取得：， 因，所以，，， ． 因，所以．當時， ， 所以，．因在區(qū)間上是減函數(shù)， 所以，．即函數(shù)的值域為． 9．已知動點到定點（1，0）的距離比到定直線的距離?。? （1）求證：點軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程． （2）大家知道，過圓上任意一點，任意作相互垂直的弦，，則弦必過圓心（定點），受此啟發(fā)，研究下面的問題：①過（1）中的拋物線的頂點任作相互垂直的弦，，則弦是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過定點（設(shè)為），請求出點的坐標，否則說明理由．②研究：對于拋物線上頂點以外的定點是否也有這樣的性質(zhì)？請?zhí)岢鲆粋€一般的結(jié)論，并予以證明． 解：（1）到定點（1，0）的距離等于到定直線的距離，則軌跡為拋物線； 軌跡方程為． （2）①設(shè)． 由得，同理． 因此，方程為． 即，令，得． 則直線必過定點（4，0）． ②設(shè)點為上一定點，則． 過作互相垂直的弦，， 設(shè)，，則，． 則，則． 化簡得，即 ① 假設(shè)過定點，則有， 即化簡得 ② 比較①②得，，則過定點． 10．已知拋物線上橫坐標為4的點到焦點的距離為5． （1）求拋物線的方程． （2）設(shè)直線與拋物線交于兩點，，且，是弦的中點，過作平行于軸的直線交拋物線于點，得到；再分別過弦、的中點作平行于軸的直線依次交拋物線于點，，得到和；按此方法繼續(xù)下去（見圖15—32）．解決下列問題： ①求證：． ②計算的面積． ③根據(jù)的面積的計算結(jié)果，寫出，的面積；請設(shè)計一種求拋物與線段所圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積． 解：（1）由拋物線定義，拋物線，上點到焦點的距離等于它到準線的距離，得，，所以拋物線的方程為． （2）由，得（或）， 當，即且時， ． ①由即，得，所以． ②由①知，中點的坐標為，點， ． ③由問題②知，的面積值僅與有關(guān)，由于 ，所以與的面積 ． 設(shè)． 由題設(shè)當中構(gòu)造三角形的方法，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積看成無窮多個三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項和， 所以……， 即……， 因此，所求封閉圖形的面積為． 15.6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 基礎(chǔ)練習 1．若，，成等差數(shù)列，則直線被橢圓截得線段的中點的軌跡方程為__________． 解：由知過定點．又點在橢圓， 所以為所截線段的一個端點，設(shè)另一個端點為，線段的中點為， 則，即，因為點在橢圓上， 所以． 故得中點的軌跡方程為：． 2．過原點引拋物線的切線，當變化時，兩個切點分別在拋物線（ ）上． （A） （B） （C）， （D）， 解：設(shè)切線方程為（顯然直線的斜率存在）． 聯(lián)立，得． 由于切線與拋物線有且僅有一個交點，所以上述方程． 所以或．分別代入方程中可得切點坐標為或． 所以兩個切點分別在拋物線，上．故正確選項為． 3．若在拋物線的上方可作一個半徑為的圓與拋物線相切于原點，且該圓與拋物線沒有別的公共點，求的最大值． 解：，， ． 4．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和． （1）求的取值范圍． （2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由． 解：（1）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得． 整理得 ① 直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于， 解得或．即是的取值范圍為． （2）設(shè)，，則， 由方程① ． ② 又 ． ③ 而，，．所以與共線等價于，將②③代入上式，解得． 由（1）知或，故沒有符合題意的常數(shù)． 5．若拋物線上存在關(guān)于直線成軸對稱的兩點，試求的取值范圍． 解：拋物線的頂點為，對稱軸為軸，存在關(guān)于直線對稱兩點的條件是存在一對點，，滿足且相減得，因為不在直線上，所以，所以，即． 所以．此方程有不等實根，所以，求得，即為所求． 6．若直線與橢圓相交． （1）求的范圍． （2）當截得弦長最大時，求的值． 解：聯(lián)立． （1）． （2），顯然當時，最大． 能力提高 7．設(shè)雙曲線與直線相交于兩個不同的點，． （1）求雙曲線的離心率的取值范圍． （2）設(shè)直線與軸的交點為，且．求的值． 解：（1）由與相交于兩個不同的點，故知方程組 有兩個不同的實數(shù)解．消去并整理得． ①且． 雙曲線的離心率．且， 則． 離心率的取值范圍為． （2）設(shè) 由于，則． 由于，都是方程①的根，且， ，． 消去得． 8．過橢圓上一動點引圓的兩條切線、，、為切點，直線與軸，軸分別交于、兩點（如圖15—38）． （1）已知點坐標為且，試求直線的方程． （2）若橢圓的短軸長為8，且，求橢圓的方程． （3）橢圓上是否存在點，由向圓所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由． 解：（1）設(shè)，切線，． 由于點在切線，上，，， 則直線的方程為． （2）在直線方程中，令，則；令，則，則． 由于則． 則橢圓方程：． （3）假設(shè)存在點滿足，連接，由知，四邊形為正方形，則 ① 又由于點在橢圓上，則 ② 由①②知，． 由于，則． 當，即，時，橢圓上存在點，由點向圓所引兩切線互相垂直． 當，即時，橢圓上不存在滿足條件的點． 9．設(shè)、是橢圓上的兩點，點（1，3）是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點． （1）確定的取值范圍，并求直線的方程． （2）試判斷是否存在這樣的，使得，，，四點在同一個圓上？并說明理由． 解：（1）依題意，可設(shè)直線的方程為，代入，整理得 ① 解法一：設(shè)，，則，是方程①的兩個不同的根 則 ② 且，由（1，3）是線段的中點，得 ，則． 解得，代入②得，，即的取值范圍是． 于是，直線的方程為． 解法二：設(shè)，則有 ． 依題意，，則． 由于（1，3）是的中點，則，，從而． 又由（1，3）在橢圓內(nèi)，則． 則的取值范圍是． 直線的方程為． （2）由于垂直平分，則直線的方程為，即， 代入橢圓方程，整理得 ③ 又設(shè)，，的中點為，則，是方程③的兩根， 則，且，，即． 于是由弦長公式可得 ④ 將直線的方程，代入橢圓方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ 由于當時，，． 假設(shè)存在，使得，，，四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心． 點到直線的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 ． 故當時，，，，四點均在以為圓心，為半徑的圓上． 10．如圖15—39，已知拋物線和直線，點在直線上移動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，線段的中點為． （1）求點的軌跡． （2）求的最小值． （3）求證：直線的傾斜角為定值，并求的值． 解：（1）由得，則． 設(shè)，，則，， 則即． 同理，有． 則，為方程的兩根，則，． 設(shè)，則 ① ② 由①②消去得點的軌跡方程為． （2）， 又則當時，． （3）由于坐標為，則對任意，恒有軸，則的傾斜角為定值．則又由（2）得． 則． 15.7 圓錐曲線的應用 能力提高 1．在周長為定值的中，已知，且當頂點位于定點時，有最小值為． （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求頂點的軌跡方程． （2）過點作直線與（1）中的曲線交于、兩點，求的最小值的集合． 解：（1）以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，設(shè)為定值，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，所以焦距． 由于 又，所以，由題意得，． 此時，點坐標為．故點的軌跡方程為． （2）不妨設(shè)點坐標為，，．當直線的傾斜角不為時， 設(shè)其方程為代入橢圓方程化簡，得． 顯然有，所以，． 而由橢圓第二定義可得 只要考慮為最小值，即考慮為最小值，則時，得最小值16． 當直線的傾斜角為時，，得， 但，故，這樣的，不存在，即的最小值的集合為空集． 2．已知橢圓，動圓，其中．若是橢圓上的點，是動圓上的點，且使直線與橢圓和動圓均相切，求，兩點的距離的最大值． 解：設(shè)，，直線的方程為， 因為既在橢圓上又在直線上，從而有 將①代入②得 由于直線與橢圓相切，故 從而可得， ③ 同理，由既在動圓上又在直線上，可得， ④ 由③、④得，． ． 即，當且僅當時取等號，所以，兩點的距離的最大值為． 3．在平面直角坐標系中，給定三點，，，點到直線的距離是該點到直線，距離的等比中項． （1）求點的軌跡方程． （2）若直線經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為）．且與點的軌跡恰好有3個公共點，求的斜率的取值范圍． 解：（1）直線，，的方程依次為，，． 點到，，的距離依次為，，． 依設(shè)，，得，即，或， 化簡，得點的軌跡方程為圓與雙曲線． （2）由前知，點的軌跡包含兩部分圓 ① 與雙曲線 ② 因為和是適合題設(shè)條件的點，所以點和點在點的軌跡上，且點的軌跡曲線與的公共點只有，兩點． 的內(nèi)心也是適合題目設(shè)條件的點，由解得，且知它在圓上． 直線經(jīng)過，且與點的軌跡有3個公共點， 所以，的斜率存在，設(shè)的方程為 ③ （?。┊敃r，與圓相切，有唯一的公共點；此時，直線平行于軸，表明與雙曲線有不同于的兩個公共點，所以恰好與點的軌跡有3個公共點． （ⅱ）當時，與圓有兩個不同的交點． 這時，與點的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況： 情況1：直線經(jīng)過點或點，此時的斜率，直線的方程為． 代入方程②得，解得或．表明直線與曲線有2個交點，， 直線與曲線有個交點，故當時，恰好與點的軌跡有3個公共點． 情況2：直線不經(jīng)過點和點（即），因為與有兩個不同的交點， 所以與雙曲線有且只有一個公共點．即方程組有且只有一組實數(shù)解， 消去并化簡得， 該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得．解方程⑤得． 綜合得直線的斜率的取值范圍是有限集． 4．過點作一條直線和軸、軸分別相交于，兩點，試求的最大值（其中為坐標原點）． 解：過點作一圓與軸、軸分別相切于點、，且使點在優(yōu)弧上，則圓的方程為． 于是，過點作圓的切線和軸、軸分別相交于，兩點， 圓為的內(nèi)切圓，故． 若過點的直線不和圓相切，則作圓的平行于的切線和軸、軸分別相交于 ，兩點，則． 由折線的長大于的長及切線長定理，得 ． 所以，的最大值為6． 5．設(shè)橢圓的兩個焦點是和，且橢圓與圓有公共點（見圖15—41）． （1）求的取值范圍． （2）若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程． （3）對（2）中的橢圓，直線與交于不同的兩點、，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍． 解：（1）由已知，， 則方程組有實數(shù)解，從而， 故，所以，即的取值范圍是． （2）設(shè)橢圓上的點到一個焦點的距離為， 則． 由于，則當時，， 于是，，解得．．則所求橢圓方程為． （3）由得（*） 由于直線與橢圓交于不同兩點，則，即 ① 設(shè)、，則、是方程（*）的兩個實數(shù)解． 則，則線段的中點為， 又由于線段的垂直平分線恒過點，， 即，即 ② 由①②得，，又由②得， 則實數(shù)的取值范圍是． 6．設(shè)斜率為的直線交橢圓于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設(shè)、都存在）． （1）求的值． （2）把上述橢圓一般化為，其他條件不變，試猜想與關(guān)系（不需要證明）．請你給出在雙曲線中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論． （3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．如果概括后的命題中的直線過原點，為概括后命題中曲線上一動點，借助直線及動點，請你提出一個有意義的數(shù)學問題，并予以解決． 解：（1）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理，得， ，又中點在直線上，所以，從而可得弦中點的坐標為，，所以． （2）對于橢圓，， 已知斜率為的直線交雙曲線于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設(shè)是、都存在）．則的值為． 設(shè)直線方程為，代入方程并整理，得 ，所以，即． （3）對（2）的概括：設(shè)斜率為的直線交二次曲線于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設(shè)、都存在），則． 提出的問題如：直線過原點，為二次曲線上一動點，設(shè)直線交曲線于、兩點，當異于、兩點時。如果直線、的斜率都存在，則它們斜率的積為與點無關(guān)的定值． 設(shè)直線方程為，、兩點坐標分別為、，則． 把代入得， ， 所以． 7．已知點，一動圓過點且與圓內(nèi)切． （1）求動圓圓心的軌跡的方程． （2）設(shè)點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值． （3）在的條件下，設(shè)的面積為 （是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由． 解：（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為，已知動圓圓心為， 由題意知，，于是， 所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，其方程為． （2）設(shè)，則 ，令，，所以， 當，即時在上是減函數(shù)，； 當，即時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 則； 當，即時，在上是增函數(shù)，． 所以， （3）當時，，于是， 若正數(shù)滿足條件，則，即， ，令，設(shè)，則， 于是．所以，當，即時，， 即，．所以，存在最小值． 8．已知點，，，，動點滿足，動點滿足． （1）求動點的軌跡方程和動點的軌跡方程． （2）是否存在與曲線外切且與曲線內(nèi)接的平行四邊形，若存在，請求出一個這樣的平行四邊形，若不存在，請說明理由． （3）固定曲線，在（2）的基礎(chǔ)上提出一個一般性問題，使（2）成為（3）的特例，探究能得出相應結(jié)論（或加強結(jié)論）需滿足的條件，并說明理由． 解：（1）． （2）連橢圓四端點可得． （3）問題：已知和，試問，當、滿足什么條件時，對上任意一點均存在以為頂點，與外切，與內(nèi)接的平行四邊形．解得． 9．已知焦點在軸上的雙曲線的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知的一個焦點與關(guān)于直線對稱． （1）求雙曲線的方程． （2）若是雙曲線上的任一點，、為雙曲線的左、右兩個焦點，從引的平分線的垂線，垂足為，試求點的軌跡方程． （3）設(shè)直線與雙曲線的左支交于、兩點，另一直線經(jīng)過及 的中點，求亙線在軸上的截距的取值范圍． 解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即． 由于該直線與圓相切，則雙曲線的兩條漸近線方程為， 故設(shè)雙曲線的方程為． 又由于雙曲線的一個焦點為， 則，，則雙曲線的方程為． (2)若在雙曲線的右支上，則延長到，使， 若在雙曲線的左支上，則在上取一點，使， 根據(jù)雙曲線的定義，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上， 即點的軌跡方程是 ① 由于點是線段的中點，設(shè)，， 則，即． 代入①并整理得點的軌跡方程為，． (3)由得，令， 直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程在上有兩個不等實根． 因此，解得，又中點為， 則直線的方程為． 令，得， 由于，則． 則故的取值范圍是．