第二章習(xí)題及答案 2-1 試建立題2-1圖所示各系統(tǒng)的微分方程 [其中外力，位移和電壓為輸入量；位移和電壓為輸出量；（彈性系數(shù)），（阻尼系數(shù)），（電阻），（電容）和（質(zhì)量）均為常數(shù)]。 解 （a）以平衡狀態(tài)為基點(diǎn)，對(duì)質(zhì)塊進(jìn)行受力分析（不再考慮重力影響），如圖解2-1(a)所示。根據(jù)牛頓定理可寫出 整理得 （b）如圖解2-1(b)所示，取A,B兩點(diǎn)分別進(jìn)行受力分析。對(duì)A點(diǎn)有 （1） 對(duì)B點(diǎn)有 （2） 聯(lián)立式（1）、（2）可得： (c) 應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗概念可寫出 （3） （4） 聯(lián)立式（3）、（4），可解得： 微分方程為: (d) 由圖解2-1（d）可寫出 （5） （6） （7） 聯(lián)立式（5）、（6）、（7），消去中間變量和，可得： 微分方程為 2-2 試證明題2-2圖中所示的力學(xué)系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)（即有相同形式的數(shù)學(xué)模型）。 解 (a) 取A、B兩點(diǎn)分別進(jìn)行受力分析，如圖解2-2(a)所示。對(duì)A點(diǎn)有 (1) 對(duì)B點(diǎn)有 (2) 對(duì)式（1）、（2）分別取拉氏變換，消去中間變量，整理后得 = (b) 由圖可寫出 = 整理得 = 2-3 假設(shè)某容器的液位高度與液體流入量滿足方程， 式中為液位容器的橫截面積，為常數(shù)。若與在其工作點(diǎn)附近做微量變化，試導(dǎo)出關(guān)于的線性化方程。 解 將在處展開為泰勒級(jí)數(shù)并取一次近似 （1） 代入原方程可得 （2） 在平衡工作點(diǎn)處系統(tǒng)滿足 （3） 式（2），（3）相減可得的線性化方程 2-4 試求題2-3圖所示各信號(hào)的象函數(shù)。 解 （a） = （b） = （c） = 2-5 求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。 (1) (2) (3) 解 (1) (2) 原式 ＝ x（t）＝ (3) 原式 ＝ ＝ 2-6 已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。 解 單位階躍輸入時(shí)，有，依題意 2-7 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ，且初始條件為，，試求系統(tǒng)在輸入作用下的輸出。 解 系統(tǒng)的微分方程為 （1） 考慮初始條件，對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換，得 （2） 2-8 求題2-8圖所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 解 (a) 根據(jù)運(yùn)算放大器 “虛地”概念，可寫出 (b) (c) 2-9 某位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理框圖如題2-9圖所示，已知電位器最大工作角度＝3300，功率放大器放大系數(shù)為。 （1） 分別求出電位器的傳遞函數(shù)，第一級(jí)和第二級(jí)放大器的放大系數(shù)，； （2） 畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖； （3） 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 (1) 電位器的傳遞函數(shù) 根據(jù)運(yùn)算放大器的特性，可分別寫出兩級(jí)放大器的放大系數(shù)為 ， (2) 可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖解2-9所示： (3) 2-10 飛機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題2-10圖所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2-11 已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解2-11所示。 利用結(jié)構(gòu)圖等效化簡(jiǎn)或梅遜增益公式可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2-12 試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡(jiǎn)求題2-12圖所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解 （a） 所以： （b） 所以： （c） 所以： （d） 所以： （e） 所以： 2-13 已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題2-13圖所示，求輸入時(shí)系統(tǒng)的輸出。 解 由圖可得 又有 則 即 2-14 試?yán)L制題2－14圖所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖。 解 2-15 試?yán)L制題2-15圖所示信號(hào)流圖對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 解 2-16 試用梅遜增益公式求2-12題中各結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 （a）圖中有1條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路 （b）圖中有2條前向通路，1個(gè)回路 （c）圖中有1條前向通路，3個(gè)回路 （d）圖中有2條前向通路，5個(gè)回路 （e）圖中有2條前向通路，3個(gè)回路 2-17 試用梅遜增益公式求題2-17圖中各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 （a）圖中有1條前向通路，4個(gè)回路 則有 （b）圖中有2條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路 則有 （c）圖中有4條前向通路，5個(gè)回路 則有 （d）圖中有2條前向通路，5個(gè)回路 則有 （e）圖中有2條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路 則有 2-18 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如題2-18圖所示，圖中為輸入信號(hào)，為干擾信號(hào)，試求傳遞函數(shù)，。 解（a）令，求 。圖中有2條前向通路,3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路。 則有 令，求 。有3條前向通路，回路不變。 則有 （b）令，求 。圖中有1條前向通路，1個(gè)回路。 則有 令，求 。圖中有1條前向通路，回路不變。 則有 令，求 。圖中有1條前向通路，回路不變。 則有 （c）令，求 。圖中有3條前向通路，2個(gè)回路。 則有 令，求 。有1條前向通路，回路不變。 則有 25