*§6　正態(tài)分布 A組 1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(　　) A.f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,μ和σ(σ>0)都是實(shí)數(shù) B.f(x)=2π2πe-x22 C.f(x)=122πe-(x-1)24 D.f(x)=12πex22 解析:根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2進(jìn)行判斷. 答案:B 2.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),則c=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因?yàn)棣蝵N(2,9),所以正態(tài)密度曲線關(guān)于x=2對稱,又概率表示它與x軸所圍成的面積, 所以(c+1)+(c-1)2=2,所以c=2. 答案:B 3.服從正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量X在區(qū)間(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為P1,P2,則(　　) A.P1>P2 B.P1<P2 C.P1=P2 D.不確定 解析:∵X~N(0,1),∴正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱. ∴隨機(jī)變量在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率相等,即P1=P2. 答案:C 4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ<0)=(　　) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析:由ξ~N(2,σ2),可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2,易知P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16. 答案:A 5.在正態(tài)分布N0,19中,隨機(jī)變量在(-∞,-1)∪(1,+∞)內(nèi)的概率為(　　) A.0.997 B.0.046 C.0.03 D.0.003 解析:∵μ=0,σ=13, ∴P(x<-1或x>1)=1-P(-1≤x≤1) =1-P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)=1-0.997=0.003. 答案:D 6.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為　　　　　.  解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2), ∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同,均為0.4. ∴ξ在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4+0.4=0.8. 答案:0.8 7.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)是φμ,σ(x)=122πe-(x+2)28(x∈R),則E(2X-1)=　　　　　.  解析:∵σ=2,μ=-2,∴EX=-2. ∴E(2X-1)=2EX-1=2×(-2)-1=-5. 答案:-5 8.在一次測試中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求: (1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率; (2)P(X>4). 解 (1)由X~N(2,σ2),得對稱軸為x=2,畫出示意圖, ∵P(0<X<2)=P(2<X<4),∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4. (2)P(X>4)=12[1-P(0<X<4)] =12×(1-0.4)=0.3. 9. 已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布,某密度函數(shù)圖像如圖所示. (1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式; (2)求此地農(nóng)民工年均收入在8 000~8 500元之間的人數(shù)百分比. 解設(shè)農(nóng)民工年均收入ξ~N(μ,σ2), 結(jié)合圖像可知μ=8 000,σ=500. (1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式為P(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2=15002πe-(x-8 000)22×5002,x∈(-∞,+∞). (2)∵P(7 500<ξ≤8 500) =P(8 000-500<ξ≤8 000+500)=0.683, ∴P(8 000<ξ≤8 500)=12P(7 500<ξ≤8 500) =0.341 5. ∴此地農(nóng)民工年均收入在8 000~8 500元之間的人數(shù)百分比為34.15%. B組 1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N12,σ2,集合A={x|x>X},集合B=xx>12,則A?B的概率為(　　) A.14 B.13 C.12 D.23 解析:由A?B得X≥12. ∵μ=12,∴PX≥12=12. 答案:C 2.關(guān)于正態(tài)曲線的性質(zhì): ①曲線關(guān)于直線x=μ對稱,并且曲線在x軸上方; ②曲線關(guān)于y軸對稱,且曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是0,12πσ; ③曲線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是12πσ,且曲線無最低點(diǎn); ④σ越大,曲線越“高瘦”;σ越小,曲線越“矮胖”. 其中正確的是(　　) A.①② B.②③ C.④③ D.①③ 答案:D 3.(2016·武漢市重點(diǎn)中學(xué)高二期末聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ~N(2,10),若ξ落在區(qū)間(-∞,k)和(k,+∞)的概率相等,則k等于(　　) A.1 B.10 C.2 D.10 解析:∵區(qū)間(-∞,k)和(k,+∞)關(guān)于x=k對稱, ∴x=k為正態(tài)曲線的對稱軸,∴k=2,故選C. 答案:C 4.某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為f(x)=12π·10e-(x-80)2200(x∈R),則下列命題不正確的是(　　) A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分 B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同 C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同 D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績方差為100 解析:因?yàn)棣?80,σ=10,所以A,D正確,根據(jù)3σ原則知C正確. 答案:B 5.已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率為　　　　　.  解析:因?yàn)閄~N(0,1),所以X在區(qū)間(-∞,-2)和(2,+∞)內(nèi)取值的概率相等. 又知X在(-2,2)內(nèi)取值的概率是0.954,所以X在(-∞,-2)內(nèi)取值的概率為1-0.9542=0.023. 答案:0.023 6.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=0.4,則P(0<ξ<1)=　　　　　.  解析:由P(ξ<1)=12得μ=1,所以隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),所以曲線關(guān)于x=1對稱.因?yàn)镻(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1. 答案:0.1 7.導(dǎo)學(xué)號43944046假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0. (1)求p0的值; (參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997) (2)某客運(yùn)公司用A,B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛? 解(1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954. 由正態(tài)分布的對稱性,可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=12+12P(700<X≤900)=0.977. (2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x,y,則相應(yīng)的營運(yùn)成本為(1 600x+2 400y)元.依題意,x,y還需滿足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等價于36x+60y≥900.于是原問題等價于求滿足約束條件x+y≤21,y≤x+7,36x+60y≥900,x,y≥0,x,y∈N, 且使目標(biāo)函數(shù)z=1 600x+2 400y達(dá)到最小的x,y. 作可行域如圖所示,可行域的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由圖可知,當(dāng)直線z=1 600x+2 400y經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時,直線z=1 600x+2 400y在y軸上截距z2 400最小,即z取得最小值. 故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛. 8.導(dǎo)學(xué)號43944047為了解一種植物的生長情況,抽取一批該植物樣本測量高度(單位:cm),其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求該植物樣本高度的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)假設(shè)該植物的高度Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2,利用該正態(tài)分布求P(64.5<Z<96). 附:110≈10.5,若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954. 解(1)x=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75, s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110. (2)由題意知,Z~N(75,110), 從而P(64.5<Z<75)=12×P(75-10.5<Z<75+10.5)=12×0.683=0.341 5, P(75<Z<96)=12×P(75-2×10.5<Z<75+2×10.5)=12×0.954=0.477. 所以P(64.5<Z<96)=P(64.5<Z<75)+P(75<Z<96)=0.341 5+0.477=0.818 5.