第第9周周日晚上周周日晚上7點至點至9點大物期中考試點大物期中考試考試方式：閉卷考試方式：閉卷考試范圍：質點力學考試范圍：質點力學 第第2章至第章至第5章章 剛體力學剛體力學 第第6章章 伯努利方程伯努利方程 7-2-3 相對論相對論 第第8章章剛體的學習總結剛體的學習總結 一張一張A4紙紙下周五交下周五交第第6周作業(yè)周作業(yè)課本課本 P124 6.4 6.7 6.9 6.23能力訓練能力訓練 P20 1 2 7每周（第每周（第9周除外）周一周五下午周除外）周一周五下午3點至點至5點點 7409 值班老師答疑值班老師答疑6-2-1 剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量6-2-2 轉動慣量及其計算轉動慣量及其計算6-2-5 剛體定點運動剛體定點運動 進動進動6-2-6 剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：6-2-4 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理6-2-3 剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理&剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律tLMzZdd 恒恒量量，則則 JMZ0&剛體剛體定軸轉動定軸轉動的轉動動能的轉動動能212kEJ剛體定軸轉動剛體定軸轉動的動能定理的動能定理2022121 JJA外外剛體做定軸轉動時，外力的功等于它剛體做定軸轉動時，外力的功等于它對定軸的力矩對角位移的積分。對定軸的力矩對角位移的積分。21dzAM:一長為一長為L，質量為，質量為m的勻質桿豎直立在地面，下端點的勻質桿豎直立在地面，下端點由一水平軸由一水平軸o固定固定.在微擾動作用下以在微擾動作用下以o為軸倒下為軸倒下:當桿與豎直方向成當桿與豎直方向成 角時，對軸的角速度角時，對軸的角速度 =？解：解：.Lcox 方法一：剛體定軸轉動定理方法一：剛體定軸轉動定理方法二：剛體定軸的動能定理方法二：剛體定軸的動能定理方法三：機械能守恒定律方法三：機械能守恒定律3sin2gMJLddddddddtt 003dsind2gL)cos1(3 Lg.Lcox 61sin2MmgL重力的合力矩等于重力全部重力的合力矩等于重力全部集中于質心所產(chǎn)生的力矩集中于質心所產(chǎn)生的力矩方法一：剛體定軸轉動定理方法一：剛體定軸轉動定理mg kEMd dsin210mgL.Lcox)cos1(3 Lg0212 J 0cos21 mgL223121 mL 7方法二：剛體定軸的動能定理方法二：剛體定軸的動能定理cpmghE Lco hc2111cos222JmgLmgL方法三：機械能守恒定律方法三：機械能守恒定律)cos1(3 Lg例例:有一子彈有一子彈,質量為質量為m,以水平速度以水平速度v0射射入桿的下端而入桿的下端而不復出不復出,求桿和子彈開求桿和子彈開始一起運動時的角速度始一起運動時的角速度?mv0解解:碰撞時間很短碰撞時間很短,考慮：考慮：桿和子彈組成的系統(tǒng)動量守恒桿和子彈組成的系統(tǒng)動量守恒?系統(tǒng)對軸系統(tǒng)對軸O角動量守恒角動量守恒!M.lO033mmMl2201()3mlMlml0()mlMm l在碰撞的瞬間，在碰撞的瞬間，軸承力是軸承力是沖擊沖擊力力，與內(nèi)力相比，與內(nèi)力相比，不能忽略不能忽略mv0子彈打在何處可使軸的橫向作用力為零？子彈打在何處可使軸的橫向作用力為零？以子彈與桿為系統(tǒng)寫出動量定理：以子彈與桿為系統(tǒng)寫出動量定理：受力：受力：Mg,mg,FNn,FNt橫向：橫向：0dNtcFtMmm設子彈打在距軸設子彈打在距軸x 處處0d2NtlFtMmxm對軸的角動量守恒對軸的角動量守恒2201()3mxMlmxlx32 打擊中心打擊中心M.lOx桿對軸的作用力方向？桿對軸的作用力方向？022323MmlxlmxMl剛體角速度的絕對性剛體角速度的絕對性 一般來說，剛體的任何運動一般來說，剛體的任何運動都可以分解為基點的平動及繞基都可以分解為基點的平動及繞基點的定點轉動。選擇不同的基點，點的定點轉動。選擇不同的基點，平動速度就不同；而轉動角速度平動速度就不同；而轉動角速度則與基點的選擇無關，不管選擇則與基點的選擇無關，不管選擇剛體上哪一點，角速度矢量的方剛體上哪一點，角速度矢量的方向及大小都不變。剛體的這一重向及大小都不變。剛體的這一重要性質，稱為要性質，稱為剛體角速度的絕對剛體角速度的絕對性。性。剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動,可看作是質心的平動加可看作是質心的平動加上剛體對通過質心且垂直于運動平面的軸的上剛體對通過質心且垂直于運動平面的軸的轉動。轉動。自學選學自學選學剛體的平面平行運動：剛體的平面平行運動：剛體中任意一點的運動始剛體中任意一點的運動始終平行于某一固定平面終平行于某一固定平面M.cv 剛體的平面運動剛體的平面運動,可看作可看作是質心的平動加上剛體對是質心的平動加上剛體對通過質心且垂直于運動平通過質心且垂直于運動平面的軸的轉動。面的軸的轉動。ddccFmamt外tLMccdd ccJM剛體的動能為剛體的動能為:22/2/2kccEmJ利用以上四式可求解剛體的平面運動問題。利用以上四式可求解剛體的平面運動問題。M.cv 質心運動定理質心運動定理繞質心軸的轉動定理繞質心軸的轉動定理剛體的無滑動滾動剛體的無滑動滾動 瞬時轉軸瞬時轉軸無滑動滾動：無滑動滾動：RCpcca 任意時刻接觸點任意時刻接觸點P 瞬時靜止瞬時靜止CCRaR無滑動滾動條件：無滑動滾動條件：x:平動平動y:sinCmgfmacos0Nmg轉動轉動fRJ純滾動純滾動CRa約束方程約束方程例：一質量為例：一質量為M，半徑為，半徑為R的均勻圓柱體沿傾角為的均勻圓柱體沿傾角為 的粗糙斜面的粗糙斜面無滑無滑滾下滾下.求靜摩擦力，質心加速度以及求靜摩擦力，質心加速度以及保證圓柱體做無滑滾動所需要的條件保證圓柱體做無滑滾動所需要的條件.mgNfxcmaF 外外 ccJM四個方程聯(lián)立解：四個方程聯(lián)立解：1sin3fmg tan31 cosfNmg sin32gaC要保證圓柱體做無滑滾動，所需的靜摩擦力不能大要保證圓柱體做無滑滾動，所需的靜摩擦力不能大于最大靜摩擦力于最大靜摩擦力:保證圓柱體做無滑滾動所需要的條件保證圓柱體做無滑滾動所需要的條件:sinCmgfmafRJCRa2sinCCamgJmaR2sin1CgaJmR演示實驗：演示實驗：演示實驗：演示實驗：環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？2sin1CgaJmR演示實驗：演示實驗：演示實驗：演示實驗：環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到環(huán)、盤、球從頂端滾下到底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？212mRJ 圓圓盤盤 2mRJ 細細環(huán)環(huán) 522mRJ 球球質量均勻分布的半徑相同的圓環(huán)、圓盤和球體同質量均勻分布的半徑相同的圓環(huán)、圓盤和球體同時同地滾下時，時同地滾下時，球體最先到底，接著圓盤，圓環(huán)球體最先到底，接著圓盤，圓環(huán)最后到底。最后到底。半徑相同的柱體同時同地滾下時，半徑相同的柱體同時同地滾下時，而質量不均勻分布的柱體不同步運動，而質量不均勻分布的柱體不同步運動，質量均勻分布的柱體同步運動（銅柱質量均勻分布的柱體同步運動（銅柱和鋁柱）。和鋁柱）。轉動慣量小的先到底轉動慣量小的先到底2sin1CgaJmR以滾動物體、斜面和地球為系統(tǒng)，因無滑動，以滾動物體、斜面和地球為系統(tǒng)，因無滑動，摩擦力不作功，只有重力作功，系統(tǒng)摩擦力不作功，只有重力作功，系統(tǒng)機械能守機械能守恒恒。取開始位置為重力零勢能點。物體下滑高。取開始位置為重力零勢能點。物體下滑高度為度為h時時22110()22cmghmJ 而而cR221(1)2cJmghmmR則則剛體質心平動剛體質心平動+繞質心轉動繞質心轉動演示實驗：演示實驗：演示實驗：演示實驗：環(huán)、盤、球從頂端滑下到環(huán)、盤、球從頂端滑下到環(huán)、盤、球從頂端滑下到環(huán)、盤、球從頂端滑下到底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？底，試問所用的時間是否相同？剛體復習剛體復習 質點直線運動和剛體的定軸轉動物理量對比：質點直線運動和剛體的定軸轉動物理量對比：21d ZMA 質點直線運動質點直線運動 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動tdd 位移位移 x速度速度22ddddxatt加速度加速度 xFAd功功 角位移角位移 角速度角速度ddxt22ddddtt 角加速度角加速度質量質量 m 2iirmJ 轉動慣量轉動慣量功功動能動能212KEm轉動動能轉動動能221 JEK m動量動量 J角動量角動量角動量角動量mr21222111d22kAMJJE dd=ddZZLMJtt000dd()ZZtLZZtLM tLJJ常常量量時時當當 JLMZZ0 iimrJ22dJrm0 PKEEE只有保守力做功 JLZ 訓練訓練P17Mz的計算方法的計算方法&課堂討論題課堂討論題(正確正確)(正確正確)(不正確不正確)(不正確不正確)訓練訓練P18o 訓練訓練P18 如圖所示，一光滑細桿上端由光滑絞鏈固定，桿可繞其上端在如圖所示，一光滑細桿上端由光滑絞鏈固定，桿可繞其上端在任意角度的錐面上繞任意角度的錐面上繞豎直軸豎直軸OO作勻角速轉動有一小環(huán)套在作勻角速轉動有一小環(huán)套在桿的上端處開始使桿在一個錐面上運動起來，而后小環(huán)由靜桿的上端處開始使桿在一個錐面上運動起來，而后小環(huán)由靜止開始沿桿下滑在小環(huán)下滑過程中，止開始沿桿下滑在小環(huán)下滑過程中，小環(huán)、桿和地球系統(tǒng)小環(huán)、桿和地球系統(tǒng)的的機械能以及機械能以及小環(huán)加桿小環(huán)加桿對軸對軸OO的角動量這兩個量中的角動量這兩個量中 OOA.機械能、角動量都守恒機械能、角動量都守恒 B.機械能守恒，角動量不守恒機械能守恒，角動量不守恒 C.機械能不守恒，角動量守恒機械能不守恒，角動量守恒 D.機械能、角動量都不守恒機械能、角動量都不守恒#1a0302014b判斷以下哪種情形的角動量守恒：判斷以下哪種情形的角動量守恒：A.圓錐擺運動中，做水平勻速運動的小圓錐擺運動中，做水平勻速運動的小球球m，對豎直軸，對豎直軸OO的角動量的角動量B.繞光滑水平軸繞光滑水平軸O自由擺動的米尺對軸自由擺動的米尺對軸O的角動量的角動量C.光滑水平面上勻質直尺被運動的小滑光滑水平面上勻質直尺被運動的小滑塊撞擊其一端，以尺和小滑塊為系統(tǒng)塊撞擊其一端，以尺和小滑塊為系統(tǒng)對于對于垂直水平面的垂直水平面的某一豎直軸的角動某一豎直軸的角動量量D.定滑輪一側為重物定滑輪一側為重物m，另一側為質量，另一側為質量m的人的人,人向上爬的過程中，以人、重物、人向上爬的過程中，以人、重物、繩和滑輪為系統(tǒng)，對輪軸的角動量繩和滑輪為系統(tǒng)，對輪軸的角動量 OOO#1b0302014c OOFF答：答：盤的角速度增大盤的角速度增大,因為轉盤因為轉盤受到同向的力矩受到同向的力矩0 M與與 同方向同方向質量分別為質量分別為 M1、M2，半徑為，半徑為R1、R2 的兩個均勻圓柱體可的兩個均勻圓柱體可分別繞它們本身的軸轉動（分別繞它們本身的軸轉動（R1R2），二軸平行。開始時它），二軸平行。開始時它們分別以角速度們分別以角速度 10、20 勻速轉動，然后平移兩軸使他們勻速轉動，然后平移兩軸使他們的邊緣互相接觸。在此過程中以兩圓柱為系統(tǒng)，對軸的邊緣互相接觸。在此過程中以兩圓柱為系統(tǒng)，對軸O1或軸或軸O2的角動量是否守恒的角動量是否守恒?A.都守恒都守恒B.都不守恒都不守恒C.對軸對軸O1角動量守恒，角動量守恒，對軸對軸O2角角動量不守恒動量不守恒D.對軸對軸O2角動量守恒，角動量守恒，對軸對軸O1角角動量不守恒動量不守恒#1a0302021a質量分別為質量分別為M1、M2，半徑為，半徑為R1、R2的兩個均勻圓柱體可分的兩個均勻圓柱體可分別繞它們本身的軸轉動（別繞它們本身的軸轉動（R1R2），二軸平行。開始時它們），二軸平行。開始時它們分別以角速度分別以角速度 10、20勻速轉動，然后平移兩軸使他們的邊勻速轉動，然后平移兩軸使他們的邊緣互相接觸。當兩圓柱無相對滑動時，兩圓柱的角速度分別緣互相接觸。當兩圓柱無相對滑動時，兩圓柱的角速度分別為為 1、2，則：則：A.1=2B.1 2C.1 2D.信息不足，難以判斷信息不足，難以判斷#1a0302021b 10A 20O1O2R1R2B 1A 2O1O2R1R2B答：在此過程中答：在此過程中以兩圓柱為系統(tǒng)以兩圓柱為系統(tǒng),對對O1或或O2的角動量不的角動量不守恒守恒.因為軸因為軸1上的力對軸上的力對軸 2力矩不為零力矩不為零;反之亦然。反之亦然。4.質量分別為質量分別為M1、M2，半徑為，半徑為R1、R2的兩個均勻圓柱體可分的兩個均勻圓柱體可分別繞它們本身的軸轉動，二軸平行別繞它們本身的軸轉動，二軸平行.開始時它們分別以角速度開始時它們分別以角速度 10、20勻速轉動，然后平移兩軸使他們的邊緣互相接觸勻速轉動，然后平移兩軸使他們的邊緣互相接觸.試分試分析在此過程中以兩圓柱為系統(tǒng)析在此過程中以兩圓柱為系統(tǒng),對對O1或或O2的角動量是否守恒的角動量是否守恒?如如何求解當兩圓柱的接觸點無相對滑動時何求解當兩圓柱的接觸點無相對滑動時,它們的角速度它們的角速度 1和和 2?21111101d()2FR tM R 設兩滑輪邊緣相互作用力為大小設兩滑輪邊緣相互作用力為大小F,根據(jù)角動量定理根據(jù)角動量定理22222201d()2FR tM R 求解上述方程可得求解上述方程可得 1和和 2。A:對軸對軸O1:B:對軸對軸O2:求解它們的角速度求解它們的角速度 1和和 2 方法如下方法如下:兩滑輪邊緣線速度相同兩滑輪邊緣線速度相同,所以所以2211RR 對對A,B分別用角動量定理分別用角動量定理 1A 2O1O2R1R2B以垂直紙面向外為正以垂直紙面向外為正寫方程。寫方程。A.因為子彈與桿的碰撞時間很短因為子彈與桿的碰撞時間很短,在忽略空氣在忽略空氣阻力情況下，系統(tǒng)的動量守恒；阻力情況下，系統(tǒng)的動量守恒；B.因為子彈與桿的碰撞時間很短因為子彈與桿的碰撞時間很短,懸線還基本懸線還基本保持豎直，在忽略空氣阻力情況下，系統(tǒng)保持豎直，在忽略空氣阻力情況下，系統(tǒng)在水平方向的動量守恒；在水平方向的動量守恒；C.因為作用于該系統(tǒng)上還有其它不能忽略的因為作用于該系統(tǒng)上還有其它不能忽略的水平力，所以系統(tǒng)在水平方向的動量不守水平力，所以系統(tǒng)在水平方向的動量不守恒；恒；D.以上都不對以上都不對有一子彈有一子彈,質量為質量為m,以水平速度以水平速度v射入桿的下端而不復出射入桿的下端而不復出,若以桿和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，下面哪種描述是若以桿和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，下面哪種描述是對的？對的？#1a0302022aM.lOmv06.如圖所示，長為如圖所示，長為L的均勻直棒，質量的均勻直棒，質量M，上端用光滑水，上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈m，一水平速度，一水平速度v0射射入桿的懸點下距離為入桿的懸點下距離為d處而不復出。處而不復出。Odm0問：問：1 1）一子彈和桿為系統(tǒng)，動量）一子彈和桿為系統(tǒng)，動量是否守恒？是否守恒？2）作用力是水平還是豎直？）作用力是水平還是豎直？3)子彈射入過程什么量守恒子彈射入過程什么量守恒?軸對系統(tǒng)有作用力，動量不守恒軸對系統(tǒng)有作用力，動量不守恒(除除d=2L/3)2.已知已知A:m,l,質量均勻質量均勻,開始時水平靜止開始時水平靜止B:m,A豎直時被豎直時被碰撞碰撞,然后滑行距離然后滑行距離S.試試求求:碰后碰后A的質心可達高度的質心可達高度 h.解解:A由水平下擺至垂直由水平下擺至垂直,機械能守恒機械能守恒.以地面為零勢點以地面為零勢點mglJmgl212121 A與與B碰撞對碰撞對O點點角動量角動量守恒守恒lmJJv 21 B向右滑動向右滑動,根據(jù)動能定理：根據(jù)動能定理：212mmgSvA向上擺動向上擺動機械能機械能守恒守恒mghJlmg 222121 2)61(2121lSllh mOABlm 12122213/23/11/63/622g lgSlhllgllgP207.質量為質量為m1，長為，長為l的均勻細棒靜止平放在的均勻細棒靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為滑動摩擦系數(shù)為的的水平桌面上。有一沿水平方向運動的質量為水平桌面上。有一沿水平方向運動的質量為m2的小滑塊，從側的小滑塊，從側面垂直于棒與棒的另一端相碰撞。設碰撞時間極短，已知小滑面垂直于棒與棒的另一端相碰撞。設碰撞時間極短，已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為塊在碰撞前后的速度分別為v1和和v2，如圖所示。求碰撞后從細，如圖所示。求碰撞后從細棒開始轉動到停止轉動的過程所用時間。棒開始轉動到停止轉動的過程所用時間。O1m2ml2v221102213mlm lml11001dd2llmMgx mgxxm gll 000JJtM021212()JmtMm g 212013mm l轉過的角度轉過的角度02102MJ231MlJ 解：解：角動量守恒，角動量守恒，機械能機械能守恒守恒。0sinJJm lAMl8 質量為質量為m的小圓環(huán)套在一長為的小圓環(huán)套在一長為l質量為質量為M的光滑均勻桿的光滑均勻桿AB上上,桿可以繞過其桿可以繞過其A端的固端的固定軸在水平面上自由旋轉。開始時桿旋轉定軸在水平面上自由旋轉。開始時桿旋轉的角速度為的角速度為0而小環(huán)位于而小環(huán)位于A處，當小環(huán)受到處，當小環(huán)受到一微小擾動后，即沿桿向外滑行。一微小擾動后，即沿桿向外滑行。2220111222JJmsinlv牽牽v相相對對v 注意！注意！l解解:桿與球的系統(tǒng)對軸的桿與球的系統(tǒng)對軸的角動量守恒角動量守恒mv 0o vl,m桿桿(m,l)與球與球(m,v0)彈性碰撞彈性碰撞,求碰撞后球和桿的速度、求碰撞后球和桿的速度、角速度。桿處于光滑的水平面上。角速度。桿處于光滑的水平面上。2012212m lm lm l彈性碰撞彈性碰撞機械能守恒機械能守恒222201111222 12mmml轉動動能轉動動能解上二式解上二式012(3)mmm l033mmmm :長為長為L，質量為，質量為M的勻質桿，懸掛在水平軸的勻質桿，懸掛在水平軸O，桿由，桿由水平位置無初速度擺下，在鉛垂位置與質量為水平位置無初速度擺下，在鉛垂位置與質量為m的的物體物體A 作作完全彈性完全彈性碰撞后沿水平面碰撞后沿水平面()滑動滑動.解解：求求:A 滑動距離滑動距離.20212LmgJ vmLJJ 222212121 JmJv2210vmSmg v L41(1)A下滑的加速度下滑的加速度;1.已知已知:如圖如圖 m=2.0kg,R=0.5 m,k=20N/m,J=0.75kgm2,=37.不計摩擦不計摩擦.當彈簧無形變時將當彈簧無形變時將A由靜止釋放由靜止釋放.求求(2)A下滑的最大速率下滑的最大速率;(3)A下滑的最大距離下滑的最大距離;A:B:C:kxT 2 JRTT )(21maTmg 1sin 聯(lián)立求解聯(lián)立求解,得得:2sm44.2xa 解解1:(1)受力分析如圖受力分析如圖,取彈簧為原長時物體取彈簧為原長時物體A位置位置為原點為原點.當當A下滑下滑x 時時,有有:A mT1 1mgT1 1T2 2B Ra A =37RBCmkOxP202sin/mgkxamJ R(2)當當0;0 a時時,A的速率的速率maxvv xtaddddvvv sm2.1max v 設設:A由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為 S 得得 sin2102mgSkS 得得m2.1 S2224.221xx vA =37RBCmkOx(3)EP=0 xa44.2 則以則以A,B,C,地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng),其機械能守恒其機械能守恒.又解又解(能量微分法能量微分法):):EmgxJmkx sin212121222v sin)(2mgaRJmkx 可得可得:2sm44.2xa A下滑下滑x時時:以原點為勢能零點以原點為勢能零點.以以A,B,C,地球地球,斜面為系統(tǒng)斜面為系統(tǒng),機械能守恒機械能守恒.A =37RBCmkOxEP=00sin2212212212 vvvvmgRaJamxk:ddt0 0 E2sin/mgkxamJ R將細繩繞在一個具有水平光滑軸的飛輪邊緣上，將細繩繞在一個具有水平光滑軸的飛輪邊緣上，如果在繩端掛一質量為如果在繩端掛一質量為m的重物時，飛輪的角加的重物時，飛輪的角加速度為速度為 1。如果以拉力。如果以拉力2mg代替重物拉繩時，飛輪代替重物拉繩時，飛輪的角加速度的角加速度 2將將 (A)小于小于 1 (B)大于大于 1,小于小于2 1 (C)等于等于2 1 (D)大于大于2 1 2mgmm2mg12)(mRJmgRM 22 JmgRM 1 mgR2mRJ 2 mgR2J D