課后提升作業(yè) 二十 平面向量的正交分解及坐標表示　平面向量的坐標運算 (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知=(1,3)且點B(-1,8),則點A的坐標為(　　) A.(0,-11) B.(-2,5) C.(2,-5) D.(0,5) 【解析】選B.設A點坐標為(x,y), 則=(-1-x,8-y)=(1,3), 所以得 【誤區(qū)警示】本題易弄錯向量的坐標與點的坐標的順序而致誤. 2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=(　　) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【解析】選A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). 3.(2015全國卷Ⅰ)已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3), 則向量=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 【解題指南】先求出,再利用=-求解. 【解析】選A.因為=(3-0,2-1)=(3,1), 所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 4.(2016長春高一檢測)已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.由已知,得=(3,-4),所以||=5,因此與同方向的單位向量是=. 5.(2016聊城高一檢測)已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,則頂點D的坐標為(　　) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 【解析】選A.設點D(m,n),則由題意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4), 由此解得m=2,n=,點D. 6.已知M(3,-2),N(-5,-1)且=,則點P的坐標為(　　) A.(-8,1)　　　　　　　　 B. C. D.(8,-1) 【解析】選C.設P(x,y),由(x-3,y+2)=(-8,1),所以x=-1,y=-. 7.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述中,正確的個數是(　　) ①存在實數x,使a∥b; ②存在實數x,使(a+b)∥a; ③存在實數x,m,使(ma+b)∥a; ④存在實數x,m,使(ma+b)∥b. A.0個　　　 B.1個　　　 C.2個　　　 D.3個 【解題指南】利用兩向量共線的坐標表示求解出x的值. 【解析】選B.由a∥b得x2=-9,無實數解,故①不對;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a 得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,無實數解,故②不對;因為ma+b=(mx-3,3m+x),而(ma+b)∥a, 所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,無實數解,故③不對;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故④正確. 8.對于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定義m?n=(x1x2,y1y2),已知a=(2,-4),且a+b=a?b,則b=(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.設b=(x,y),由定義知a?b=(2x,-4y),所以有(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2x=x+2,y-4=-4y,得x=2,y=.所以b=. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016北京高一檢測)已知兩點A(1,0),B(1,1),O為坐標原點,點C在第二象限,且∠AOC=135,設=-+λ(λ∈R),則λ的值為　　　　. 【解析】由∠AOC=135知,點C在射線y=-x(x<0)上,設點C的坐標為(a,-a),a<0,則有(a,-a)=(-1+λ,λ),得a=-1+λ,-a=λ,消掉a,得λ=. 答案: 10.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為　　　　. 【解題指南】利用向量相等的定義,得出關于m,n的二元一次方程組,求出m,n的值相減即可. 【解析】因為a=(2,1),b=(1,-2),所以ma+nb=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n).又因為ma+nb=(9,-8),所以解得 所以m-n=-3. 答案:-3 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.在△ABC中,點P在BC上,且=2,點Q是AC的中點,若=(4,3),=(1,5),求的坐標. 【解析】=-=(-3,2), 所以=2=(-6,4).=+=(-2,7), 所以=3=(-6,21). 12.已知向量=(4,3),=(-3,-1),點A(-1,-2). (1)求線段BD的中點M的坐標. (2)若點P(2,y)滿足=λ(λ∈R),求λ與y的值. 【解析】(1)設B(x1,y1),因為=(4,3),A(-1,-2), 所以(x1+1,y1+2)=(4,3), 所以所以所以B(3,1). 同理可得D(-4,-3), 設BD的中點M(x2,y2), 則x2==-,y2==-1, 所以M. (2)由=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4), 又=λ(λ∈R), 所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ), 所以所以 【能力挑戰(zhàn)題】 平面直角坐標系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),點C在第二象限內,∠AOC=,且OC=2,若=λ+μ,求的值. 【解析】設C(x,y), 因為點C在第二象限內,且∠AOC=π,OC=2, 所以x=OCcosπ=-,y=OCsinπ=1, 所以C(-,1),所以=(-,1). 又因為=λ+μ, 所以(-,1)=λ(1,0)+μ(0,1), 即(-,1)=(λ,μ),所以λ=-,μ=1. 故==-.