第3課時　不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法 1．了解放縮法、反證法、幾何法的概念；理解用反證法、放縮法、幾何法證明不等式的步驟．(重點) 2．會用反證法、放縮法、幾何法證明一些簡單的不等式．(難點) [基礎初探] 教材整理1　放縮法與幾何法 閱讀教材P18～P20，完成下列問題． 1．放縮法 證明命題時，有時可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法． 2．幾何法 通過構造幾何圖形，利用幾何圖形的性質來證明不等式的方法稱為幾何法． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)分式的放縮可以通過放大(或縮小)分子(或分母)來進行．(　　) (2)整式的放縮可以通過加減項來進行．(　　) (3)從<來看，這是通過擴大分子達到了放大的目的．(　　) 【解析】　根據放縮法的定義知(1)(2)正確，而(3)中，因m的符號不定，所以不一定達到放大的目的，故錯誤． 【答案】　(1)√　(2)√　(3) 教材整理2　反證法 閱讀教材P20～P21，完成下列問題． 通過證明命題結論的否定不能成立，來肯定命題結論一定成立的證明方法叫反證法．其證明的步驟是：(1)作出否定結論的假設；(2)進行推理，導出矛盾；(3)否定假設，肯定結論． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)反證法與同一法實質上是一致的．(　　) (2)證明“至少”“至多”“否定性命題”時宜用反證法．(　　) (3)證明結論“a，b，c至少一個為負數(shù)”時，提出假設可以是“a，b，c至多有兩個為負數(shù)”．(　　) 【解析】　(1)　從原理上分析，兩種方法截然不同． (2)√　反證法適合于證明這種類型． (3)　假設應為“a，b，c沒有一個為負數(shù)”． 【答案】　(1)　(2)√　(3) [質疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用反證法證明否定性結論 　已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于. 【導學號：94910023】 【精彩點撥】　當直接證明命題較困難時，可根據“正難則反”，利用反證法加以證明．凡涉及否定性、惟一性命題或含“至多”“至少”等語句的不等式時，?？煽紤]反證法． 【自主解答】　假設三式同時大于， 即b－ab>，c－bc>，a－ac>， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>. ① ∵0<a<1， ∴(1－a)a≤＝. 同理(1－b)b≤，(1－c)c≤. 又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零， ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤， ② 因此①式與②式矛盾． 故假設不成立，即原命題成立． 1．反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推理，否則，僅否定結論， 不從結論的反面推理，就不是反證法． 2．利用反證法證題的關鍵是利用假設和條件通過正確推理推出與已知條件或定理事實相矛盾，或自相矛盾． [再練一題] 1．若0<a<2,0<b<2,0<c<2.求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時大于1. 【證明】　假設 那么≥>1. ① 同理>1， ② >1. ③ ①＋②＋③得3>3，矛盾．所以原命題得證. 反證法證明“至少”“至多” 型命題 　已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 【精彩點撥】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結論． (2)假設結論不成立，推出矛盾，得結論． 【自主解答】　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)用反證法證明． 假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 又∵|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 互相矛盾，∴假設不成立，∴|f(1)|，|f(2)|， |f(3)|中至少有一個不小于. 1．當證明的題目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，常使用反證法證明，在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設不成立． 2．在用反證法證明的過程中，由于作出了與結論相反的假設，相當于增加了題設條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾． [再練一題] 2．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，求證：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點． 【證明】　假設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點． 不妨設x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個零點，且x1<x2，則f(x1)＝f(x2)＝0. ∵函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)，x1，x2∈(a，b)且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，與f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，∴原假設不成立． ∴函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上至多有一個零點． [探究共研型] 放縮法證明不等式 探究1　若將放大(或縮小)，常用哪些方法？ 【提示】　將分子或分母放大(縮小)：<(k>1)，>，<(k>1)，>(k>1)等． 探究2　在整式放縮中，常用到哪些性質？ 【提示】　在整式的放縮中，常用到不等式的性質．絕對值不等式、平均值不等式等．如a＋b≥2(a，b為正數(shù))，a2＋b2≥2ab，|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|等． 　已知an＝2n2，n為正整數(shù)，求證：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 【精彩點撥】　針對不等式的特點，對其通項進行放縮、列項． 【自主解答】　∵當n≥2時，an＝2n2＞2n(n－1)， ∴＝＜＝＝， ∴＋＋…＋＜1＋ ＝1＋ ＝1＋＝－＜， 即＋＋…＋＜. 放大或縮小時注意要適當，必須目標明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，謹慎地添或減是放縮法的基本策略. [再練一題] 3．求證：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈為正整數(shù))． 【證明】　∵k2>k(k－1)， ∴<＝－(k為正整數(shù)，且n≥2)， 分別令k＝2,3，…，n得 <＝1－，<＝－，… <＝－， 因此1＋＋＋…＋ <1＋＋＋…＋ ＝1＋1－＝2－， 故不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n為正整數(shù))成立． [構建體系] 1．實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為(　　) A．a，b，c均不為0 B．a，b，c中至多有一個為0 C．a，b，c中至少有一個為0 D．a，b，c中至少有一個不為0 【解析】　實數(shù)a，b，c不全為0的含義即是a，b，c中至少有一個不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D. 【答案】　D 2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時的假設為(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0 C．a，b，c不全是正數(shù) D．abc<0 【答案】　C 3．已知a，b，c，d都是正數(shù)，S＝＋＋＋，則有(　　) A．S<1 B．S>1 C．S>2 D．以上都不對 【解析】　S>(a＋b＋c＋d)＝1. 【答案】　B 4．已知a為正數(shù)，則，，從大到小的順序為__________. 【導學號：94910024】 【解析】　∵＋>＋＝2， ＋<＋＝2， ∴2<＋<2， ∴>>. 【答案】　>> 5．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R. (1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論． 【證明】　(1)∵a＋b≥0， ∴a≥－b. 由已知f(x)的單調性得：f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)． 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)命題(1)的逆命題為：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 逆命題成立．下面用反證法證之． 假設a＋b<0，那么： ?f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 這與已知矛盾，故只有：a＋b≥0.逆命題得證． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評(八) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．若△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則(　　) A．∠B＝　 B．∠B< C．∠B> D．∠B＝ 【解析】　假設∠B≥，則b最大，有b>a，b>c， ∴>，>. ∴＋>，與題意中的＋＝矛盾． ∴∠B<. 【答案】　B 2．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用(　　) ①否定原結論的假設；②原命題的條件； ③公理、定理、定義等；④原結論． A．①②　　 B．①②④ C．①②③ D．②③ 【解析】　由反證法的推理原理可知，反證法必須把結論的相反情況作為條件應用于推理，同時還可應用原條件以及公理、定理、定義等． 【答案】　C 3．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時，假設的內容是(　　) A.＝ B．< C.＝且< D．＝或< 【解析】　應假設≤，即＝或<. 【答案】　D 4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，則(　　) A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q 【解析】　∵p＝(a－2)＋＋2， 又a－2>0， ∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4， 根據a>2，可得q<4，∴p>q. 【答案】　A 5．設M＝＋＋＋…＋，則(　　) A．M＝1 B．M<1 C．M>1 D．M與1大小關系不定 【解析】　M＝＋＋＋…＋<＝＝1.故選B. 【答案】　B 二、填空題 6．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60”時，假設應為__________． 【解析】　“至少有一個不大于”的反面應是“都大于”． 【答案】　假設三內角都大于60 7．若a>b>0，m>0，n>0，則，，，，按由小到大的順序排列為________． 【解析】　由不等式a>b>0，m>0，n>0，知<<1，且<<1， 得>>1， 即1<<. 【答案】　<<< 8．設x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A，B的大小關系為__________. 【導學號：94910025】 【解析】　B＝＋>＋＝＝A，即A<B. 【答案】　A<B 三、解答題 9．已知a>0，b>0，且a＋b>2， 求證：，中至少有一個小于2. 【證明】　假設，都不小于2， 則≥2，≥2. ∵a>0，b>0， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， ∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b， 這與a＋b>2矛盾． 故假設不成立．即，中至少有一個小于2. 10．已知△ABC三邊長是a，b，c，且m是正數(shù)，求證：＋>. 【證明】　設f(x)＝＝1－(x>0，m>0)． 易知函數(shù)f(x)(x>0)是增函數(shù)． 則f(a)＋f(b)＝＋ >＋ ＝ ＝f(a＋b)． 又在△ABC中，a＋b>c>0， ∴f(a＋b)>f(c)＝， ∴＋>. [能力提升] 1．已知x＝a＋(a>2)，y＝(b<0)，則x，y之間的大小關系是(　　) A．x>y B．x<y C．x＝y(tǒng) D．不能確定 【解析】　因為x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a>2)， 而b2－2>－2(b<0)， 即y＝<＝4. 所以x>y. 【答案】　A 2．若|a|<1，|b|<1，則(　　) A.＝1 B．<1 C.≤1 D．≥1 【解析】　假設≥1， 故|a＋b|≥|1＋ab| ?a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2 ?a2＋b2－1－a2b2≥0 ?a2(1－b2)－(1－b2)≥0 ?(a2－1)(1－b2)≥0. 由上式知a2－1≤0,1－b2≤0或a2－1≥0,1－b2≥0. 與已知矛盾，故<1. 【答案】　B 3．設a，b∈R，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出“a，b中至少有一個實數(shù)大于1”的條件是________． 【解析】　對于①，a，b均可小于1；對于②，a，b均可等于1；對于④⑤，a，b均可為負數(shù)；對于③，若a，b都不大于1，則a＋b≤2，與③矛盾．故若③成立，則“a，b中至少有一個實數(shù)大于1”成立． 【答案】?、? 4．若0<a<，n≥2，且n為正整數(shù)，已知a2<a－b，求證：b<. 【證明】　由已知得b<a－a2＝－＋. 令f(x)＝－＋，則f(x)在內是增函數(shù)， 又n≥2，n為正整數(shù)，且0<a<， 因此a，∈， ∴f(a)<f， 從而b<－＋<－＋＝－＋. 又－＋＝<＝， 故b<.