高考小題專攻練 3.三角函數(shù)及解三角形 小題強(qiáng)化練,練就速度和技能,掌握高考得分點(diǎn)! 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知α∈R,sinα+2cosα=,則tan2α等于　(　　) A.　　　 B.　　　 C.-　　　 D.- 【解析】選C.因?yàn)閟inα+2cosα=,所以sin2α+4sinαcosα+4cos2α=. 用降冪公式化簡得:4sin2α=-3cos2α,所以tan2α==-. 2.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A=，b=1，△ABC的面積為，則a的值為(　　) A.1 B.2 C.　 D. 【解析】選D.因?yàn)锳=，b=1，S△ABC=， 所以bcsinA=，所以c=2. 所以a2=b2+c2-2bccosA=3，所以a=. 3.已知sin2α=-，α∈，則sinα+cosα=(　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 【解析】選B.因?yàn)棣痢?，所以cosα>0>sinα且cosα>|sinα|， 則sinα+cosα===. 4.在△ABC中，若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)，則△ABC的形狀一定是(　　) A.等邊三角形　 B.不含60的等腰三角形 C.鈍角三角形　 D.直角三角形 【解析】選D.sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB， 所以sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，所以sinAcosB+cosAsinB=1， 即sin(A+B)=1，則有A+B=，故△ABC為直角三角形. 5.已知cos=,則sin=　(　　) A.　　 B.　　 C.-　　　　　 D.- 【解析】選A.因?yàn)閏os=, 所以sin=sin=. 6.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60,則BC邊上的高等于　(　　) A. B. C.　 D. 【解析】選B.設(shè)AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB, 即7=c2+4-22ccos60,c2-2c-3=0, 即(c-3)(c+1)=0. 又c>0,所以c=3. 設(shè)BC邊上的高等于h,由三角形面積公式 S△ABC=ABBCsinB=BCh, 知32sin60=2h,解得h=. 7.已知tanα=2,則=　(　　) A.　 B.-　 C.　 D. 【解析】選D.方法一(切化弦的思想):因?yàn)閠anα=2,所以sinα=2cosα,cosα=sinα. 又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以解得sin2α=. 所以====. 方法二(弦化切的思想): 因?yàn)?====. 8.已知向量a=(cosx,sinx),b=(,),ab=,則cos等于　(　　) A.- B.- C. D. 【解析】選D.由ab=,得cosx+sinx=,所以cosx+sinx=, 即cos=. 9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B, 則cosC=　(　　) A.　 B.-　 C. D. 【解析】選A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB, 由正弦定理及8b=5c得cosB===, 所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2-1=. 10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且=,則B=　(　　) A.　　 B.　 C.　 D. 【解析】選C.由sinA=,sinB=,sinC=,代入整理得=?c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cosB=,所以B=. 11.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,若S+a2=(b+c)2,則cosA等于　(　　) A. B.- C. D.- 【解析】選D.S+a2=(b+c)2?a2=b2+c2-2bc. 由余弦定理可得sinA-1=cosA,結(jié)合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-. 12.若拋物線C:y2=2xcosA(其中角A為△ABC的一個內(nèi)角)的準(zhǔn)線過點(diǎn),則cos2A+sin2A的值為　(　　) A.-　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€C:y2=2xcosA(其中角A為△ABC的一個內(nèi)角)的準(zhǔn)線過點(diǎn), 所以拋物線C:y2=2xcosA的準(zhǔn)線方程為x=, 所以=-,即cosA=-, 因?yàn)榻茿為△ABC的一個內(nèi)角,所以sinA=, 所以cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA=+2=-. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.設(shè)θ為第二象限角，若tan=，則sinθ+cosθ=________. 【解析】因?yàn)閠an=，所以=，解得tanθ=-. 所以(sinθ+cosθ)2== ==. 因?yàn)棣葹榈诙笙藿?，tanθ=-， 所以2kπ+<θ<2kπ+π，所以sinθ+cosθ<0， 所以sinθ+cosθ=-. 答案：- 14.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若cosB=,a=10,△ABC的面積為42,則b+的值等于__________. 【解析】依題意可得sinB=,又S△ABC=acsinB=42,則c=14. 故b==6,所以b+=b+=16. 答案:16 15.若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是__________. 【解析】因?yàn)閟inA+sinB=2sinC.由正弦定理可得a+b=2c,即c=, cosC== = ≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2即=時等號成立. 所以cosC的最小值為. 答案: 16.如圖，在△ABC中，sin=，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=，則cosC=________. 【解析】由條件得cos∠ABC=，sin∠ABC=. 在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b， 則9b2=a2+4-a.?、? 因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ)， 所以cos∠ADB=-cos∠CDB， 所以=-， 所以3b2-a2=-6，　② 聯(lián)合①②解得a=3，b=1，所以AC=3，BC=3. 在△ABC中，cosC===. 答案：