高考小題專攻練 3 三角函數(shù)及解三角形 理 新人教版
高考小題專攻練 3.三角函數(shù)及解三角形
小題強(qiáng)化練,練就速度和技能,掌握高考得分點(diǎn)!
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知α∈R,sinα+2cosα=,則tan2α等于 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】選C.因?yàn)閟inα+2cosα=,所以sin2α+4sinαcosα+4cos2α=.
用降冪公式化簡得:4sin2α=-3cos2α,所以tan2α==-.
2.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若A=,b=1,△ABC的面積為,則a的值為( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】選D.因?yàn)锳=,b=1,S△ABC=,
所以bcsinA=,所以c=2.
所以a2=b2+c2-2bccosA=3,所以a=.
3.已知sin2α=-,α∈,則sinα+cosα=( )
A.- B. C.- D.
【解析】選B.因?yàn)棣痢?,所以cosα>0>sinα且cosα>|sinα|,
則sinα+cosα===.
4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是( )
A.等邊三角形 B.不含60的等腰三角形
C.鈍角三角形 D.直角三角形
【解析】選D.sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,
所以sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=1,
即sin(A+B)=1,則有A+B=,故△ABC為直角三角形.
5.已知cos=,則sin= ( )
A. B. C.- D.-
【解析】選A.因?yàn)閏os=,
所以sin=sin=.
6.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60,則BC邊上的高等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】選B.設(shè)AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,
即7=c2+4-22ccos60,c2-2c-3=0,
即(c-3)(c+1)=0.
又c>0,所以c=3.
設(shè)BC邊上的高等于h,由三角形面積公式
S△ABC=ABBCsinB=BCh,
知32sin60=2h,解得h=.
7.已知tanα=2,則= ( )
A. B.- C. D.
【解析】選D.方法一(切化弦的思想):因?yàn)閠anα=2,所以sinα=2cosα,cosα=sinα.
又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以解得sin2α=.
所以====.
方法二(弦化切的思想):
因?yàn)?====.
8.已知向量a=(cosx,sinx),b=(,),ab=,則cos等于 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】選D.由ab=,得cosx+sinx=,所以cosx+sinx=,
即cos=.
9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,
則cosC= ( )
A. B.- C. D.
【解析】選A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理及8b=5c得cosB===,
所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2-1=.
10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且=,則B= ( )
A. B. C. D.
【解析】選C.由sinA=,sinB=,sinC=,代入整理得=?c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cosB=,所以B=.
11.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,若S+a2=(b+c)2,則cosA等于 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】選D.S+a2=(b+c)2?a2=b2+c2-2bc.
由余弦定理可得sinA-1=cosA,結(jié)合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-.
12.若拋物線C:y2=2xcosA(其中角A為△ABC的一個內(nèi)角)的準(zhǔn)線過點(diǎn),則cos2A+sin2A的值為 ( )
A.- B. C. D.
【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€C:y2=2xcosA(其中角A為△ABC的一個內(nèi)角)的準(zhǔn)線過點(diǎn),
所以拋物線C:y2=2xcosA的準(zhǔn)線方程為x=,
所以=-,即cosA=-,
因?yàn)榻茿為△ABC的一個內(nèi)角,所以sinA=,
所以cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA=+2=-.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.設(shè)θ為第二象限角,若tan=,則sinθ+cosθ=________.
【解析】因?yàn)閠an=,所以=,解得tanθ=-.
所以(sinθ+cosθ)2==
==.
因?yàn)棣葹榈诙笙藿?,tanθ=-,
所以2kπ+<θ<2kπ+π,所以sinθ+cosθ<0,
所以sinθ+cosθ=-.
答案:-
14.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若cosB=,a=10,△ABC的面積為42,則b+的值等于__________.
【解析】依題意可得sinB=,又S△ABC=acsinB=42,則c=14.
故b==6,所以b+=b+=16.
答案:16
15.若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是__________.
【解析】因?yàn)閟inA+sinB=2sinC.由正弦定理可得a+b=2c,即c=,
cosC==
=
≥=,
當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2即=時等號成立.
所以cosC的最小值為.
答案:
16.如圖,在△ABC中,sin=,AB=2,點(diǎn)D在線段AC上,且AD=2DC,BD=,則cosC=________.
【解析】由條件得cos∠ABC=,sin∠ABC=.
在△ABC中,設(shè)BC=a,AC=3b,
則9b2=a2+4-a.?、?
因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ),
所以cos∠ADB=-cos∠CDB,
所以=-,
所以3b2-a2=-6, ②
聯(lián)合①②解得a=3,b=1,所以AC=3,BC=3.
在△ABC中,cosC===.
答案: