第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用 ,貴陽(yáng)五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 選擇 10 一元二次方程 根的定義及判定 以一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為條件比較實(shí)數(shù)的大小 3 3 2015 未考 2014 未考 2013 解答 21 一元二次方程 的應(yīng)用 以汽車(chē)增加量為背景，列關(guān)于增長(zhǎng)率的一元二次方程 10 10 2012 未考 命題規(guī)律 縱觀貴陽(yáng)市5年中考，只有兩年考查了一元二次方程，2016年考查了一元二次方程根的定義及判別式，分值3分，題型是選擇題，題目難度較大；2013年考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，分值10分，題目難度一般． 命題預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)中考考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題可能性較大. ,貴陽(yáng)五年中考真題及模擬) 一元二次方程根的定義與判別式(1次) 1．(2016貴陽(yáng)10題3分)若m，n(n<m)是關(guān)于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩個(gè)根，且b<a，則m，n，b，a的大小關(guān)系是( D ) A．m<a<b<n B．a(chǎn)<m<n<b C．b<n<m<a D．n<b<a<m 一元二次方程的應(yīng)用(1次) 2．(2013貴陽(yáng)21題10分)2010年年底某市汽車(chē)擁有量為100萬(wàn)輛，而截止到2012年年底，該市的汽車(chē)擁有量已達(dá)到144萬(wàn)輛． (1)求2010年年底至2012年年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率； (2)該市交通部門(mén)為控制汽車(chē)擁有量的增長(zhǎng)速度，要求到2013年年底全市汽車(chē)擁有量不超過(guò)155.52萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)2013年報(bào)廢的汽車(chē)數(shù)量是2012年年底汽車(chē)擁有量的10%，求2012年年底至2013年年底該市汽車(chē)擁有量的年增長(zhǎng)率要控制在什么范圍才能達(dá)到要求． 解：(1)設(shè)2010年年底至2012年年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意：100(1＋x)2＝144，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)；(2)設(shè)2012年年底到2013年年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為y，根據(jù)題意得：144(1＋y)－14410%≤155.52，解得y≤0.18，∴年增長(zhǎng)率要控制在不超過(guò)18%才能達(dá)到要求． 3．關(guān)于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋6＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是( C ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是( A ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289 5．(2016貴陽(yáng)模擬)天山旅行社為吸引游客組團(tuán)去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(如圖所示)： 某單位組織員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給旅行社旅游費(fèi)用27 000元，請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游？ 解：設(shè)該單位去黃果樹(shù)旅游人數(shù)為x人，則人均費(fèi)用為[1 000－20(x－25)]元．由題意得x[1 000－20(x－25)]＝27 000，整理得x2－75x＋1 350＝0，解得x1＝45，x2＝30.當(dāng)x＝45時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 000－20(x－25)＝600<700，不符合題意，應(yīng)舍去．當(dāng)x＝30時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 000－20(x－25)＝900>700，符合題意．∴x＝30. ,中考考點(diǎn)清單) 一元二次方程的概念 1．只含有__1__個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__，像這樣的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__． 【溫馨提示】判斷一個(gè)方程是一元二次方程的條件：①是整式方程；②二次項(xiàng)系數(shù)不為零；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且只含有一個(gè)未知數(shù)． 一元二次方程的解法 2. 直接開(kāi) 平方法 這種方法適合于左邊是一個(gè)完全平方式，而右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程． 配方法 配方法一般適用于解二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的這類(lèi)一元二次方程，配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的①__完全平方__式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)． 公式法 求根公式為②__x＝(b2－4ac≥0)__，適用于所有的一元二次方程． 因式分 解法 因式分解法的步驟：(1)將方程右邊化為③__0__；(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積；(3)令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解. 【溫馨提示】關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法： (1)當(dāng)b＝0，c≠0時(shí)，x2＝－，考慮用直接開(kāi)平方法解；(2)當(dāng)c＝0，b≠0時(shí)，用因式分解法解；(3)當(dāng)a＝1，b為偶數(shù)時(shí)，用配方法解簡(jiǎn)便． 一元二次方程根的判別式 3．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由__b2－4ac__來(lái)判定，我們將__b2－4ac__稱(chēng)為根的判別式． 4．判別式與根的關(guān)系： (1)當(dāng)b2－4ac>0?方程有__兩個(gè)不相等__的實(shí)數(shù)根； (2)當(dāng)b2－4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根； (3)當(dāng)b2－4ac＝0?方程有__兩個(gè)相等__的實(shí)數(shù)根． 【溫馨提示】(1)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b2－4ac≥0.(2)當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)Δ>0. 一元二次方程的應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 5．列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟： ①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)；⑥做結(jié)論． 6．一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)的等量關(guān)系： (1)增長(zhǎng)率中的等量關(guān)系：增長(zhǎng)率＝增量基礎(chǔ)量； (2)利率中的等量關(guān)系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金利率時(shí)間； (3)利潤(rùn)中的等量關(guān)系：毛利潤(rùn)＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)，純利潤(rùn)＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)－其他費(fèi)用，利潤(rùn)率＝利潤(rùn)進(jìn)貨價(jià)． 【方法點(diǎn)撥】利用方程根的意義，把方程的根代入方程中，是解決一元二次方程有關(guān)問(wèn)題的一種重要方法，我們可以把這種方法稱(chēng)為讓根回家． ,中考重難點(diǎn)突破) 一元二次方程的解法 【例1】(1)(2014白銀中考)若方程(m－1)xm2＋1＋mx－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝________． (2)解方程：(x－1)(2x－1)＝3(x－1)． 【解析】方程兩邊都含有因式x－1，如果在方程兩邊同時(shí)約去x－1，就會(huì)導(dǎo)致方程失去一個(gè)根x＝1，本題可先移項(xiàng)，利用因式分解法求解． 【學(xué)生解答】解：(1)－1；(2)方程化為(x－1)(2x－1)－3(x－1)＝0，即(x－1)(2x－1－3)＝0，所以x－1＝0或2x－4＝0，所以方程的解為x1＝1，x2＝2. 【點(diǎn)撥】解一元二次方程時(shí)，不能隨便在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式，否則，可能導(dǎo)致方程失去一個(gè)根． 1．(2016貴陽(yáng)考試說(shuō)明)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可變形為( A ) A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 2．(2016天津中考)方程x2＋x－12＝0的兩個(gè)根為( D ) A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3 3．用因式分解法解方程： (1)(2015蘭州中考)x2－1＝2(x＋1)； 解：原方程化為x2－2x－3＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1； (2)(2016山西中考)2(x－3)2＝x2－9. 解：原方程可化為2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.(x－3)(x－9)＝0.∴x－3＝0或x－9＝0.∴x1＝3，x2＝9. 一元二次方程判別式的應(yīng)用 【例2】(2016懷化中考)一元二次方程x2－x－1＝0的根的情況為( ) A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 【解析】一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－41(－1)＝1＋4＝5，∴有兩個(gè)不相等實(shí)根． 【學(xué)生解答】A 4．(2016瀘州中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( D ) A．k≥1 B．k>1 C．k<1 D．k≤1 5．(2016淮安中考)若關(guān)于x的x2＋6x＋k＝0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝__9__． 6．(2016河南中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__k>－__． 7．(2016白銀中考)已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－2＝0. (1)若此方程的一個(gè)根為1，求m的值； (2)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 解：(1)把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0得1＋m＋n－2＝0，解得m＝；(2)Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4.∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4>0，即Δ>0，∴此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 一元二次方程的應(yīng)用 【例3】(2016梅州中考)用一條長(zhǎng)40 cm的繩子圍成一個(gè)面積為64 cm2的矩形．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x cm，則可列方程為_(kāi)_______． 【解析】根據(jù)題意可知矩形的周長(zhǎng)為40 cm，一邊長(zhǎng)為x cm，則另一邊長(zhǎng)為(20－x)cm.可列方程：x(20－x)＝64. 【學(xué)生解答】x(20－x)＝64 8．(2016丹東中考)某公司今年4月份營(yíng)業(yè)額為60萬(wàn)元，6月份營(yíng)業(yè)額達(dá)到100萬(wàn)元，設(shè)該公司5、6兩個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的月均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為_(kāi)_60(1＋x)2＝100__． 9．(2016畢節(jié)中考)為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來(lái)，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6 000萬(wàn)元.2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8 640萬(wàn)元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同． (1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率； (2)若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元． 解：(1)設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x.則有：6 000(1＋x)2＝8 640，解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合題意，舍去)，∴該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%；(2)因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8 640萬(wàn)元，且增長(zhǎng)率為20%，∴2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)y＝8 640(1＋0.2)＝10 368(萬(wàn)元)．答：2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10 368萬(wàn)元．