專題三　動態(tài)變化問題 1．動態(tài)問題為河北中考的?？键c(diǎn)，近8年共考查8次，對動點(diǎn)問題的考查都會結(jié)合幾何圖形的綜合考查，且都是以解答題形式出現(xiàn)，分值為9～12分． 2．考查類型：(1)幾何圖形中的動點(diǎn)問題(2012年25題，2010年25題，2009年26題)；(2)一次函數(shù)中的動點(diǎn)問題(2013年23題)；(3)二次函數(shù)中的動點(diǎn)問題(2011年26題)． 預(yù)計2017年河北中考對動態(tài)變化問題仍會考查，且圖形中的動點(diǎn)問題為重點(diǎn)考查對象，注意解決此類問題常會用到分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，并且一次函數(shù)中的動點(diǎn)問題難度會有所降低． ,中考重難點(diǎn)突破) 　一次函數(shù)中的動點(diǎn)問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】 (2013河北中考)如圖，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長度的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線l：y＝－x＋b也隨之移動，設(shè)移動時間為t秒． (1)當(dāng)t＝3時，求l的解析式； (2)若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍； (3)直接寫出t為何值時，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上． 【解析】(1)，(2)求出直線與y軸的交點(diǎn)，以及P點(diǎn)坐標(biāo)與t之間的關(guān)系，用對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，即可求出答案；(3)過點(diǎn)M作l的垂線，求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后再來計算即可． 【學(xué)生解答】(1)直線y＝－x＋b交y軸于點(diǎn)P(0，b)，由題意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t，當(dāng)t＝3時，b＝4.∴y＝－x＋4；(2)當(dāng)直線y＝－x＋b過M(3，2)時，2＝－3＋b，解得b＝5，∵5＝1＋t，∴t＝4.當(dāng)直線y＝－x＋b過N(4，4)時，4＝－4＋b，解得b＝8.∵8＝1＋t，∴t＝7.∴當(dāng)點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)時，4＜t＜7；(3)t＝1時，落在y軸上；t＝2時，落在x軸上． 【方法指導(dǎo)】k、b對一次函數(shù)圖象y＝kx＋b的影響：①當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減??；②k決定著一次函數(shù)圖象的傾斜程度，|k|越大，其圖象與x軸的夾角就越大；③b決定著直線與y軸的交點(diǎn)，當(dāng)b大于0時，交點(diǎn)在y軸正半軸；當(dāng)b小于0時，交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸；④直線y＝kx＋b可以看作由直線y＝kx平移|b|個單位長度得到(當(dāng)b＞0時，向上平移；當(dāng)b＜0時，向下平移)；⑤直線y＝k1x＋b1、y＝k2x＋b2的幾種位置關(guān)系：平行：k1＝k2，b1≠b2；重合：k1＝k2，b1＝b2；關(guān)于y軸對稱：k1＋k2＝0，b1＝b2；關(guān)于x軸對稱：k1＋k2＝0，b1＋b2＝0；垂直：k1k2＝－1. 1．(2016邯鄲二十五中一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，5), (0，2)，(4，2)，直線l的解析式為y ＝ kx＋5－4k(k> 0)． (1)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B時，求一次函數(shù)的解析式； (2)通過計算說明：不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)D; (3)直線l與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段DM上的一點(diǎn)， 且△NBD為等腰三角形，試探究： ①當(dāng)函數(shù)y ＝ kx＋5－4k為正比例函數(shù)時，點(diǎn)N的個數(shù)有________個； ②點(diǎn)M在不同位置時，k的取值會相應(yīng)變化，點(diǎn)N的個數(shù)情況可能會改變，請直接寫出點(diǎn)N所有不同的個數(shù)情況以及相應(yīng)的k的取值范圍． 解：(1)將點(diǎn)B(0，2)代入y＝kx＋5－4k，得k＝.∴直線l的解析式為y＝x＋2； (2)由題意可得，點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，5)，把x＝4代入y＝kx＋5－4k，得y＝5，∴不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)D； (3)①2；②當(dāng)k≥2時，有3個點(diǎn)；當(dāng)<k<2時，有2個點(diǎn)；當(dāng)k＝時，有0個點(diǎn)；當(dāng) 0<x<時，有1個點(diǎn)． 2．(2016承德二中二模)如圖，直線y＝kx－4與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，且tan∠OBC＝. (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及k的值； (2)若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)直線y＝kx－4上一動點(diǎn)，則當(dāng)△AOB的面積為6時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； (3)在(2)成立的條件下，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得∠APC＝90，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝kx－4＝－4，∴C(0，－4)，則OC＝4.又∵tan∠OBC＝＝，∴OB＝3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3.0)．將x＝3，y＝0代入y＝kx－4，得0＝3k－4，解得k＝； (2)已知點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，由題意得S△AOB＝OBAH＝3AH＝6，∴AH＝4，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.將y＝4代入y＝x－4，解得x＝6，∴當(dāng)△AOB的面積為6時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，4)； (3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)或(－2，0)或(8，0)． 3．(2016長沙中考)如圖，直線l：y＝－x＋1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是直線l上的兩個動點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，Q在第四象限，∠POQ＝135. (1)求△AOB的周長； (2)設(shè)AQ＝t＞0，試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)動點(diǎn)P，Q在直線l上運(yùn)動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時，記tan∠AOQ＝m，若過點(diǎn)A的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c同時滿足以下兩個條件： ①6a＋3b＋2c＝0； ②當(dāng)m≤x≤m＋2，函數(shù)y的最大值等于，求二次項系數(shù)a的值． 解：(1)對函數(shù)y＝－x＋1，令x＝0，則y＝1，∴B(0，1)，令y＝0，則x＝1，∴A(1，0)，則OA＝1，OB＝1，AB＝，△AOB周長為1＋1＋＝2＋； (2)∵OA＝OB，故∠ABO＝∠BAO＝45，∴∠PBO＝∠QAO＝135，設(shè)∠POB＝x，則∠OPB＝∠AOQ＝180－135－x＝45－x，∴△PBO∽△OAQ，故＝，∴PB＝＝，過點(diǎn)P作PH⊥OB于H點(diǎn)，則△PHB為等腰直角三角形．∵PB＝，則PH＝HB＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為； (3)由(2)知△PBO∽△OAQ，若它們周長相等，則相似比為1，即△AOQ≌△BPO，則AQ＝OB＝1，∴t＝1，同(2)中做法，得Q，∴m＝＝－1.∵m≤x≤m＋2，∴－1≤x≤＋1，∵拋物線過A點(diǎn)，∴a＋b＋c＝0，而6a＋3b＋2c＝0，∴b＝－4a，c＝3a，故二次函數(shù)為y＝ax2－4ax＋3a，∴對稱軸為x＝2，取值范圍是－1≤x≤＋1.Ⅰ.若a>0，則開口向上，在x＝－1取最大值ymax＝a(－1)2－4a(－1)＋3a＝(10－6)a，又∵ymax＝＝＝2＋2，∴(10－6)a＝2＋2.解得a＝.Ⅱ若a<0，則開口向下，在x＝2取最大值2＋2，即4a＋2b＋c＝2＋2，解得a＝－2－2.綜上，所求a的值為或－2－2. 　二次函數(shù)中的動點(diǎn)問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】(2011河北中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動t(t＞0)秒，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)為A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)． (1)求c、b；(用含t的代數(shù)式表示) (2)當(dāng)4＜t＜5時，設(shè)拋物線分別與線段AB、CD交于點(diǎn)M，N. ①在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，S＝； (3)在矩形ABCD的內(nèi)部(不含邊界)，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍． 【解析】(1)由拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P，將點(diǎn)O與點(diǎn)P的坐標(biāo)代入方程即可求得c，b；(2)①當(dāng)x＝1時，y＝1－t，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，則可求得∠AMP的度數(shù)；②由S＝S四邊形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得關(guān)于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；(3)根據(jù)圖形，即可直接求得答案，分別分析左邊有4，3，2，1，0個好點(diǎn)時，t的取值范圍． 【學(xué)生解答】(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0，再把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0，∵t＞0，∴b＝－t；(2)①不變，∵拋物線的解析式為：y＝x2－tx，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，∴當(dāng)x＝1時，y＝1－t，M(1，1－t)，∴AM＝|1－t|＝t－1，∵OP＝t，∴AP＝t－1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90，∴∠AMP＝45；②S＝S四邊形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形DNMA－S△PAM＝(t－4)(4t－16)＋[(4t－16)＋(t－1)]3－(t－1)(t－1)＝t2－t＋6.解t2－t＋6＝，得t1＝，t2＝，∵4＜t＜5，∴t1＝(舍去)，∴t＝；(3)①左邊4個好點(diǎn)在拋物線上方，右邊4個好點(diǎn)在拋物線下方：無解；②左邊3個好點(diǎn)在拋物線上方，右邊3個好點(diǎn)在拋物線下方，則有－4＜y2＜－3，－2＜y3＜－1，即－4＜4－2t＜－3，－2＜9－3t＜－1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；③左邊2個好點(diǎn)在拋物線上方，右邊2個好點(diǎn)在拋物線下方：無解；④左邊1個好點(diǎn)在拋物線上方，右邊1個好點(diǎn)在拋物線下方：無解；⑤左邊0個好點(diǎn)在拋物線上方，右邊0個好點(diǎn)在拋物線下方：無解；綜上所述，t的取值范圍是＜t＜. 4．(2016保定八中三模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個端點(diǎn)A(0，2)，B(1，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段BD，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D. (1) 如圖①，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a＝－. ①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式； ②連接CD，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； (2)如圖②，若該拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若符合條件的Q點(diǎn)的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍. 解：(1)①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F, ∵∠DBF＋∠ABO＝90，∠BAO＋∠ABO＝90，∴∠DBF＝∠BAO.又∵∠AOB＝∠BFD＝90， AB＝BD，∴△AOB≌△BFD(AAS)，∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，1). 根據(jù)題意得a＝－，c＝0，且a32＋b3＋c＝1, 解得b＝， ∴拋物線的解析式y(tǒng)＝－x2＋x. ②∵點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)都為1, ∴CD∥x軸．∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO與∠BCD互余. 若要使得∠POB和∠BCD互余，則只要滿足∠POB＝∠BAO. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋x), i．當(dāng)點(diǎn)P1在x軸上方時，如答圖，過點(diǎn)P1作P1G⊥x軸于點(diǎn)G, 則tan∠P1OB＝tan∠BAO，即＝.∴＝，解得x1＝，x2＝0(舍去). ∴將x＝代入得－x2＋x＝. ∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(，). ii.當(dāng)點(diǎn)P2在x軸下方時，如答圖，過點(diǎn)P2作BH⊥x軸于點(diǎn)H, 則tan∠P2OB＝tan∠BAO，即＝. ∴＝，解得x1＝0(舍去)．x2＝.將 x＝代入拋物線解析式得－x2＋x＝－. ∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，－). 綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，－)；(2)∵該拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，D(3，1)，∴拋物線的解析式為ax2－4ax＋3a＋1.若要使得∠QOB和∠BCD互余，則只要滿足∠QOB＝∠BAO，據(jù)此分a<0和a>0兩種情況討論．a(chǎn)的取值范圍為a<－或a>. 5．(2016河北中考)如圖，拋物線L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常數(shù)t>0)與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A, 過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y＝(k>0，x>0)于點(diǎn)P，且OAMP＝12. (1)求k值； (2)當(dāng)t＝1時，求AB長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離； (3)把L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點(diǎn))記為G，用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)； (4)設(shè)L與雙曲線有個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，且滿足4≤x0≤6，通過L位置隨t變化的過程，直接寫出t的取值范圍． 解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則MP＝y(tǒng)，由OA的中點(diǎn)為M知OA＝2x，代入OAMP＝12，得2xy＝12，即xy＝6，∴k＝xy＝6； (2)當(dāng)t＝1時，令y＝0，0＝－(x－1)(x＋3)，∴x1＝1，x2＝－3，∴由B在A左邊，得B(－3，0)，A(1，0)，∴AB＝4.∵L的對稱軸為x＝－1，而M為(，0)，∴MP與L對稱軸的距離為； (3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，∴L的對稱軸為x＝t－2，又MP為x＝.當(dāng)t－2≤，即t≤4時，頂點(diǎn)(t－2，2)就是G的最高點(diǎn)；當(dāng)t－2>即t>4時，L與MP的交點(diǎn)(，－t2＋t)就是G的最高點(diǎn)；(4)5≤t≤8－或7≤t≤8＋. 　與圖形中的動態(tài)問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2016河北中考)如圖，A(－5，0)，B(－3，0)．點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO＝45，CD∥AB，∠CDA＝90.點(diǎn)P從點(diǎn)Q(4，0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒． (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)當(dāng)∠BCP＝15時，求t的值； (3)以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P 的運(yùn)動而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時，求t的值． 【學(xué)生解答】(1)∵∠BCO＝∠CBO＝45，∴OC＝OB＝3.又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)； (2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，如答圖①.若∠BCP＝15，得∠PCO＝30. ∴OP＝OCtan30＝，此時t＝4＋.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時，如答圖②，由∠BCP＝15，得∠PCO＝60，∴t的值為4＋或4＋3； (3)由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切，有以下三種情況：①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時，有∠BCP＝90，從而∠OCP＝45，得到OP＝3，此時t＝1.②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合， 此時t＝4.③當(dāng)⊙P與AD相切時，由題意，∠DAO＝90，∴點(diǎn)A為切點(diǎn)．PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2，于是(9－t)2＝(t－4)2＋32，解得t＝5.6，∴t的值為1或4或5.6. 【方法指導(dǎo)】本題涉及到的知識有矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的切線的相關(guān)知識，需要學(xué)生根據(jù)題目的條件進(jìn)行分類討論，從而確定問題的完整答案． 6．(2016石家莊四十一中二模)如圖，已知∠MON＝90，A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥ON，垂足為點(diǎn)B，AB＝3 cm，OB＝4 cm，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以1.5 cm/s的速度沿ON方向運(yùn)動，點(diǎn)F以2 cm/s的速度沿OM方向運(yùn)動，EF與OA交于點(diǎn)C，連接AE，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t s(t＞0)． (1)當(dāng)t＝1 s時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由； (2)在運(yùn)動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA.為什么？ (3)連接AF，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使得S△AEF＝S四邊形AEOF？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)相似．理由如下：當(dāng)t＝1，OE＝1.5 cm，OF＝2 cm，則OE∶OF＝3∶4.∵AB∶OB＝3∶4，∴OE∶OF＝AB∶OB.∵∠FOE＝∠ABO＝90，∴△EOF∽△ABO； (2)無論t為何值，在運(yùn)動過程中，△EOF∽△ABO，則∠FEO＝∠OAB.∵∠AOB＋∠OAB＝90，則∠AOB＋∠FEO＝90，∴∠OCE＝90，即EF⊥OA； (3)存在．∵S四邊形AEOF＝S△AEF＋S△EOF，∴S△AEF＝S△EOF.∵EF⊥OA，∴S△EOF＝EFOC，S△AEF＝EFAC，∴OC＝AC，∴EF垂直平分OA，∴OE＝AE.∵OE＝t，BE＝4－t，在Rt△ABE中，∵AB2＋BE2＝AE2，∴32＋(4－t)2＝t2，解得t＝，∴當(dāng)t＝時，S△AEF＝S四邊形AEOF. 7．(2016廣東中考)如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC與Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC 完全重合，且頂點(diǎn)B，D分別在AC的兩旁，∠ABC＝∠ADC＝90，∠CAD＝30， AB＝BC＝4 cm. (1) 填空：AD＝________cm，DC＝________cm； (2) 點(diǎn)M，N分別從A點(diǎn)，C點(diǎn)同時以每秒1 cm的速度等速出發(fā)，且分別在AD，CB上沿A→D, C→B的方向運(yùn)動，當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時，M，N兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接MN，求當(dāng)M，N點(diǎn)運(yùn)動了x秒時，點(diǎn)N到AD的距離；(用含x的式子表示) (3) 在(2)的條件下，取DC中點(diǎn)P，連接MP，NP，設(shè)△PMN的面積為y(cm2)，在整個運(yùn)動過程中，△PMN的面積y存在最大值，請求出這個最大值. (參考數(shù)據(jù)：sin75＝，sin15＝) 解：(1)2；2. (2)過點(diǎn)N作NE⊥AD于點(diǎn)E，作NF⊥DC的延長線于點(diǎn)F，則NE＝DF.∵∠ACD＝60，∠ACB＝45，∴∠NCF＝75，∠CNF＝15，∴FC＝x，∴NE＝DF＝x＋2，∴點(diǎn)N到AD的距離為(x＋2)cm； (3)∵sin75＝，F(xiàn)N＝x，∵PD＝CP＝，PF＝x＋，S△PMN＝S梯形FNMD－S△MPD－S△NPF，∴y＝(x＋2－x)(x＋2)－(2－x)－(x＋)(x)．即y＝x2＋x＋2，即y是x的二次函數(shù)：∵<0，∴當(dāng)x＝－＝時，y最大值＝. 　二次函數(shù)與幾何圖形 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2016益陽中考)如圖，頂點(diǎn)為A(，1)的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)B. (1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式； (2)過B作OA的平行線交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，求證：△OCD≌△OAB； (3)在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解析】(1)可設(shè)頂點(diǎn)求解析式；(2)可先利用函數(shù)分別求出C，D坐標(biāo)，從而利用SSS來證明兩三角形全等；(3)可利用軸對稱求出C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再利用相似或直線C′D與x軸交點(diǎn)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)． 【學(xué)生解答】解：(1)∵拋物線頂點(diǎn)為A(，1)，設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－)2＋1，將原點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)代入解析式，得a＝－，∴拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為：y＝－x2＋x；(2)將y＝0代入y＝－x2＋x中，得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y＝kx，將A(，1)代入解析式y(tǒng)＝kx中，得k＝，∴直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y＝x.∵BD∥AO，設(shè)直線BD對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y＝x＋b，將B(2，0)代入y＝x＋b中，得b＝－2，∴直線BD對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y＝x－2.由得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－，－3)，將x＝0代入y＝x－2中，得C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－2)，由勾股定理，得：OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2＝OD.在△OAB與△OCD中，∴△OAB≌△OCD；(3)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(0，2)，則C′D與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，它使得△PCD的周長最小．過點(diǎn)D作DQ⊥y軸，垂足為點(diǎn)Q，則PO∥DQ，∴△C′PO∽△C′DQ，∴＝，即＝，∴PO＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，0)． 8．(2016張家口九中二模)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝2. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)設(shè)P為對稱軸上一動點(diǎn)，求△APC周長的最值． 解：(1)∵AB＝2，對稱軸為直線x＝2，∴A(1，0)，B(3，0)．∵拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A，B，∴1，3是方程x2＋bx＋c＝0的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得1＋3＝－b，13＝c，∴b＝－4，c＝3，∴拋物數(shù)的函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋3； (2)連接AC，BC，BC交對稱軸于點(diǎn)P，連接PA.由(1)知拋物線的函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋3，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，0)，(3，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，∴BC＝＝3，AC＝＝.∵點(diǎn)A，B關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC，此時，PB＋PC＝BC，當(dāng)P點(diǎn)在對稱軸上運(yùn)動時，PA＋PC的最小值等于BC，∴△APC周長的最小值為AC＋AP＋PC＝AC＋BC＝3＋. 　直角三角形、等腰三角形、特殊四邊形性質(zhì)問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例5】(2016漳州中考)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3，0)，與 y軸交于點(diǎn)C(0，3)． (1)求拋物線的解析式； (2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN//y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線MN的最大值； (3)在(2)的條件下，當(dāng)MN取最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)可利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；(2)要先求出MN關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用函數(shù)性質(zhì)求出MN的最大值；(3)注意要分類討論各種情況． 【學(xué)生解答】(1)∵點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)，在拋物線y＝x2＋bx＋c上，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝x2－4x＋3； (2)令x2－4x＋3＝0，則x1＝1，x2＝3，設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)＝kx＋b.∵點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)在直線BC上，∴直線BC的解析式y(tǒng)＝－x＋3，設(shè)N(x，－x＋3)，則M(x，x2－4x＋3)(1<x<3)，∴MN＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝＋，∴當(dāng)x＝時，MN的最大值為；(3)存在．所有點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是：P1，P2，P3，P4，P5. 9．(2016石家莊四十二中模擬)如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(0，－3)，B(，)，對稱軸為直線x＝－，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，在四邊形PMON上分別截取PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP. (1)求此二次函數(shù)的解析式； (2)求證：以C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形CDEF是平行四邊形； (3)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線y＝－，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a(x＋)2＋k.∵點(diǎn)A(0，－3)，B(，)在拋物線上，∴解得∴拋物線的解解析式為y＝(x＋)2－，即y＝x2＋x－3； (2)連接CD，DE，EF，F(xiàn)C.∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，∴四邊形PMON為矩形，∴PM＝ON，PN＝OM.∵PC＝MP，OE＝ON，∴PC＝OE.∵M(jìn)D＝OM，NF＝NP，∴MD＝NF，∴PF＝OD.在△PCF與△OED中，∴△PCF≌△OED(SAS)，∴CF＝DE，同理可證：△CDM≌△EFN，∴CD＝EF.∵CF＝DE，CD＝EF，∴四邊形CDEF是平行四邊形；(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形，設(shè)矩形PMON的邊長PM＝ON＝m，PN＝OM＝n，則PC＝m，MC＝m，MD＝n，PF＝n.若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF＝90，易證△PCF∽△MDC，∴＝，即＝，化簡得m2＝n2，∴m＝n，即矩形PMON為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線y＝x2＋x－3與坐標(biāo)象限角平分線y＝x或y＝－x的交點(diǎn)．將y＝x代入y＝x2＋x－3，解得x1＝，x2＝－，∴P1(，)，P2(－，－)．將y＝－x代入y＝x2＋x－3，解得x1＝－3，x2＝1，∴P3(－3，3)，P4(1，－1)，∴拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形，這樣的點(diǎn)有四個，在四個坐標(biāo)象限內(nèi)各一個，其坐標(biāo)分別為：P1(，)，P2(－，－)，P3(－3，3)，P4(1，－1)． 10．(2016唐山模擬)如圖，邊長為1的正方形ABCD一邊AD在x負(fù)半軸上，直線l：y＝x＋2經(jīng)過點(diǎn)B(x，1)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)H，F(xiàn)，拋物線y＝－x2＋bx＋c的頂點(diǎn)E在直線l上． (1)求A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線經(jīng)過A，D兩點(diǎn)時的解析式； (2)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)E(m，n)在直線l上運(yùn)動時，連接EA，ED，試求△EAD的面積S與m之間的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍； (3)設(shè)拋物線與y軸交于Q點(diǎn)，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動時，以A，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由. 解：(1)∵直線l：y＝x＋2經(jīng)過點(diǎn)B(x，1)，∴1＝x＋2，解得x＝－2，∴B(－2，1)，∴A(－2，0)，D(－3，0)．∵拋物線經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，∴解得，∴∴拋物線經(jīng)過A，D兩點(diǎn)時的解析式為y＝－x2－5x－6；(2)連接EA，ED，∵頂點(diǎn)E(m，n)在直線l上，∴n＝m＋2，∴S＝1(m＋2)＝m＋1，即S＝m＋1(m≠4)；(3)如圖，若以A，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，則AC＝EQ，AC∥EQ，作EM∥y軸交過Q點(diǎn)平行于x軸的直線于點(diǎn)M，則EM⊥QM，△EMQ≌△CDA，∴QM＝AD＝1，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1.∵頂點(diǎn)E在直線l上，∴y＝(－1)＋2＝，或y＝1＋2＝，∴E(－1，)或(1，)．又∵當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(1，)時，以A，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形不能成為平行四邊形，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，)． 11．(2016濰坊中考)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(－9，10)，AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)把點(diǎn)A(0，1)，B(－9，10)的坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c，得解得所以，拋物線的解析式是y＝x2＋2x＋1；(2)∵AC∥x軸，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0，∴C(－6，1)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，由解得則直線AB的解析式是y＝－x＋1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2＋2m＋1)，則點(diǎn)E為坐標(biāo)為(m，－m＋1)．則EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m.∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝ACEF＋ACPF＝AC(EF＋PF)＝ACEP＝6(－m2－3m)＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.又∵－6<m<0，則當(dāng)m＝－時，四邊形AECP面積的最大值是，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－，－)；(3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－3，－2)，此時PF＝y(tǒng)F－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，則在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45，同理可求∠EAF＝45，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直線AC上存在滿足條件的點(diǎn)Q，使△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.可求AB＝9，AC＝6，CP＝3，①當(dāng)△CPQ1∽△ABC時，設(shè)Q1(t1，1)，由＝，得＝，解得t1＝－4.②當(dāng)△CQ2P∽△ABC時，設(shè)Q2(t2，1)，由＝，得＝，解得t2＝3.綜上，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個，坐標(biāo)分別是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．