課后限時(shí)集訓(xùn)29 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．設(shè)平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b等于(　　) A．(6,3)　　　　　　 B．(－2，－6) C．(2,1) D．(7,2) B　[2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．] 2．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) D　[由題意可知a與b不共線(xiàn)，即3m－2≠2m，∴m≠2.故選D.] 3．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為(　　) A．c＝a＋b B．c＝－a－b C．c＝a＋b D．c＝a－b A　[設(shè)c＝xa＋yb，易知 ∴ ∴c＝a＋b.故選A.] 4.如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2等于(　　) A. B. C．1 D. A　[法一：＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝－， 所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝， 故選A. 法二：本題也可以用特例法，如取ABCD為正方形，解略．] 5．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，則t＝(　　) A．0 B. C．－2 D．－3 C　[由題意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t,2＋2t)．因?yàn)?a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，故選C.] 6．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)－b B.a－b C．a(chǎn)＋b D.a＋b D　[連接CD(圖略)，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD∥AB且＝＝a， 所以＝＋＝b＋a.] 7．(2019·廈門(mén)模擬)已知||＝1，||＝，·＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，則的值為(　　) A．2 B. C．3 D．4 C　[∵·＝0，∴⊥， 以所在直線(xiàn)為x軸，所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)， ＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)． ∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故選C.] 二、填空題 8．在ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (－3，－5)　[∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝－＝(－3，－5)．] 9．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且＝(＋－)，則||＝________. 2　[由＝(＋－)＝(＋)知，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，故D(2,2)，所以＝(－2,2)． 故||＝＝2.] 10．平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，則＝________.(用e1，e2表示) －e1＋e2　[如圖，＝－＝＋2＝＋ ＝－＋(－) ＝－e2＋(e2－e1) ＝－e1＋e2.] 1．如圖，向量e1，e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則向量a可用基底e1，e2表示為(　　) A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 B　[以e1的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，e1所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，由題意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3,1)，因?yàn)閍＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，則解得 故a＝－2e1＋e2.] 2. (2019·南充模擬)如圖，原點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，則＝(　　) A．－ B. C．－ D. D　[由題可得A(2,0)，B，C.因?yàn)椋溅耍?，所以由向量相等的坐?biāo)表示可得解得所以＝， 故選D.] 3．已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足＋＋＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 3　[由已知條件得＋＝－，M為△ABC的重心，∴＝(＋)， 即＋＝3，則m＝3.] 4．如圖，已知ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別是K，L，且＝e1，＝e2，則＝________；＝________.(用e1，e2表示)． －e1＋e2?。璭1＋e2　[設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝， 得 ①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2， 所以＝－e1＋e2. 同理可得y＝(－2e1＋e2)， 即＝－e1＋e2.] 1．已知G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)MN與AB，AC交于點(diǎn)M，N，且＝x，＝y(tǒng)(x，y＞0)，則3x＋y的最小值是(　　) A. B.＋ C. D. B　[設(shè)BC的中點(diǎn)為D， 則＝＝＋＝＋. ∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴＋＝1. 又x＞0，y＞0， ∴3x＋y＝(3x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝＋時(shí)取等號(hào)， ∴3x＋y的最小值是＋.故選B.] 2．矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為_(kāi)_______． 　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)． ∵AP＝，∴x2＋y2＝. 點(diǎn)P滿(mǎn)足的約束條件為 ∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)， ∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)， ∴∴x＋y＝λ＋μ. ∵x＋y≤＝＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)， ∴λ＋μ的最大值為.] - 6 -