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1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正習(xí)題與解答 5-1 試求題5-75圖(a)、(b)網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。 (a) (b)圖5-75 R-C網(wǎng)絡(luò) 解 （a)依圖： (b)依圖： 5-2 某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題5-76圖所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 （1） （2） 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 圖5-76 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖頻率特性: 幅頻特性: 相頻特性: 系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù): 則 （1）當(dāng)時(shí), ，rm=1則 （2） 當(dāng) 時(shí): 5-3 若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 試求系統(tǒng)頻率特性。 解 則 頻率特性為 5-4 繪制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線： 解 幅頻特性如圖解5-4(a)。 幅頻特

2、性如圖解5-4(b)。 圖解5-4 幅頻特性如圖解5-4(c)。5-5 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試分別計(jì)算 和 時(shí)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值和相角。解 計(jì)算可得 5-6 試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線。 (1) (2) 解 (1) 取為不同值進(jìn)行計(jì)算并描點(diǎn)畫圖，可以作出準(zhǔn)確圖形三個(gè)特殊點(diǎn)： =0時(shí)， =0.25時(shí), =時(shí), 幅相特性曲線如圖解5-6（1）所示。 圖解5-6（1）Nyquist圖 圖解5-6（2） Nyquist圖(2) 兩個(gè)特殊點(diǎn)： =0時(shí)， =時(shí), 幅相特性曲線如圖解5-6（2）所示。5-7 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)輸入為單位速度信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1。試寫出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特

3、性表達(dá)式。解 先繪制的幅相曲線，然后順時(shí)針轉(zhuǎn)180即可得到幅相曲線。的零極點(diǎn)分布圖及幅相曲線分別如圖解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲線如圖解5-7(c)所示。依題意有： ， ，因此。 另有： 可得： ，。所以： 5-8 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線。解 的零極點(diǎn)分布圖如圖解5 -8(a)所示。變化時(shí)，有分析平面各零極點(diǎn)矢量隨的變化趨勢(shì)，可以繪出開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖解5-8(b)所示。5-9 繪制下列傳遞函數(shù)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。(1) ； (2) ； (3) (4) (5) 解 (1) 圖解5-9（1） Bode圖 Nyquist圖(2) 圖解5-9（2） Bod

4、e圖 Nyquist圖(3) 圖解5-9（3） Bode圖 Nyquist圖 (4) 圖解5-9（4） Bode圖 Nyquist圖 (5) 圖解5-9（5） Bode圖 Nyquist圖 5-10 若傳遞函數(shù) 式中，為中，除比例和積分兩種環(huán)節(jié)外的部分。試證 式中，為近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線最左端直線（或其延長(zhǎng)線）與0dB線交點(diǎn)的頻率，如圖577所示。證 依題意，G(s)近似對(duì)數(shù)頻率曲線最左端直線(或其延長(zhǎng)線)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為。題意即要證明的對(duì)數(shù)幅頻曲線與0db交點(diǎn)處的頻率值。因此，令，可得 , 故 ，證畢。 5-11 三個(gè)最小相角系統(tǒng)傳遞函數(shù)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-78(a)、(b)和

5、(c)所示。要求： （1）寫出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)；（2）概略繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。圖 578 511題圖解 (a) 依圖可寫出：其中參數(shù)： ，則： 圖解5-11（a） Bode圖 Nyquist圖 (b) 依圖可寫出 圖解5-11（b） Bode圖 Nyquist圖 (c) 圖解5-11（c） Bode圖 Nyquist圖 5-12 已知、和均為最小相角傳遞函數(shù)，其近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-79所示。試概略繪制傳遞函數(shù) 的對(duì)數(shù)幅頻、對(duì)數(shù)相頻和幅相特性曲線。 解：(1) 則： 圖5-79 5-12題圖 (2) , (3) (4) 將代入得：對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖解5-12(a)所示,幅相特性曲

6、線如圖解5-12(b)所示：圖解5-12 (a) Bode圖 (b) Nyquist圖5-13 試根據(jù)奈氏判據(jù)，判斷題5-80圖(1)(10)所示曲線對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知曲線(1)(10)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下（按自左至右順序）。解 題5-13計(jì)算結(jié)果列表題號(hào)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定性備注10-12不穩(wěn)定2000穩(wěn)定30-12不穩(wěn)定4000穩(wěn)定50-12不穩(wěn)定6000穩(wěn)定7000穩(wěn)定811/20穩(wěn)定9101不穩(wěn)定101-1/22不穩(wěn)定 5-14 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定的條件：； （1）時(shí)，值的范圍；（2）時(shí)，值的范圍；（3）值的范圍。 解 令 ，解出，代入表達(dá)式

7、并令其絕對(duì)值小于1 得出： 或 （1）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）值的范圍如圖解5-14中陰影部分所示。 5-15 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制幅相特性曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-15（a）所示。的起點(diǎn)、終點(diǎn)為： 與實(shí)軸的交點(diǎn)： 令 可解出代入實(shí)部 概略繪制幅相特性曲線如圖解5-15（b）所示。根據(jù)奈氏判據(jù)有 所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-16 某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-81 (a)、(b)所示。圖中 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并決定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)。 解 內(nèi)回路開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù): 大致畫出的幅相曲線如圖解5-16所示。可見(jiàn)不會(huì)包圍（-1

8、,j0）點(diǎn)。 即內(nèi)回路小閉環(huán)一定穩(wěn)定。內(nèi)回路小閉環(huán)極點(diǎn)（即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）在右半S平面的個(gè)數(shù)為0。 由題5-16圖(b)看出:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性包圍（-1,j0）點(diǎn)的圈數(shù) N=-1。根據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在右半S平面。5-17 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)奈氏判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-17(a)所示。 的起點(diǎn)、終點(diǎn)為： 幅相特性曲線與負(fù)實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)。由于慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，小于不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，故呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì)。繪出幅相特性曲線如圖解5-17(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-18 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，

9、試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-18(a)所示。當(dāng)變化時(shí)，的變化趨勢(shì)： 繪出幅相特性曲線如圖解5-18(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-19 已知反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (1) (2) (3) (4) 試用奈氏判據(jù)或?qū)?shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 畫Bode圖得： 圖解5-19 (1) Bode圖 Nyquist圖 (2) 畫Bode圖判定穩(wěn)定性：Z=P-2N=0-2(-1)=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。由Bode圖得：令： 解得 令： 解得 圖解5-19 (2) Bode圖 Nyquist圖(3) 畫B

10、ode圖得： 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 圖解5-19 (3) Bode圖 Nyquist圖 (4) 畫Bode圖得： 圖解5-19(4) Bode圖 系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-20 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試確定相角裕度為45時(shí)的值。 解 開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖所示。以原點(diǎn)為圓心作單位圓，在點(diǎn)： 即： (1)要求相位裕度 即： (2)聯(lián)立求解（1）、（2）兩式得：， 。 5-24 某最小相角系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-82所示。要求（1） 寫出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)；（2） 利用相角裕度判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3） 將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解（1）由題5-29圖可以寫出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函

11、數(shù)如下： （2）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)相頻特性為 截止頻率 相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程后，可得系統(tǒng)新的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)其截止頻率 而相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定性不變。由時(shí)域指標(biāo)估算公式可得 =所以，系統(tǒng)的超調(diào)量不變，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快。5-25 對(duì)于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)，試確定截止頻率和相角裕度。解 依題意，可設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-25所示，得5-26 對(duì)于典型二階系統(tǒng)，已知=15，試計(jì)算相角裕度。 解 依題意，可設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 依題 聯(lián)立求解 有 繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-26所示，得 5-27 某單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳

12、遞函數(shù) 試應(yīng)用尼柯?tīng)査箞D線，繪制閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db交接頻率： , , 應(yīng)用尼柯?tīng)査骨€得：0.010.050.10.30.631020304050607080100|G|db-15-241319241572-3-7-10-13-16-208885837054-23-94-127-143-151-156-160-163-164-166M (db)-15-4.5-2-.75-0.6-0.501.84.32.3-3.4-7.5-11-16-20694830125-1-11-28-53-110-140-152-158-162-165圖

13、解5-27 Bode圖 Nyquist圖 5-28 某控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖5-83所示，圖中 圖5-83 某控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖試按以下數(shù)據(jù)估算系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)和ts。 （1）和c （2）Mr和c（3）閉環(huán)幅頻特性曲線形狀 解 (1) 查圖5-56 得 秒 (2) 根據(jù),估算性能指標(biāo)當(dāng) =5 時(shí): L()=0, ()=-111找出: , =6 查圖5-62 得 秒 (3) 根據(jù)閉環(huán)幅頻特性的形狀 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10L(db) 36 18 9.5 5 3 0 -2 -4 -5 -7 -20()-142.5 -130-118.5 -114 -111 -111-112.5-11

14、5.5 -118.5 -124 -148M(db) 0 0.68 1 1.05 0 1.1 -2.1 -3.3 -4 -5.5 -19.3令 或 秒5-29 已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-84所示。當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 。試確定系統(tǒng)的參數(shù)。解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 令 聯(lián)立求解可得 ，。采用串聯(lián)遲后校正。試探，使取 取 取 取 過(guò)作，使；過(guò)畫水平線定出；過(guò)作-20dB/dec線交0dB線于?？梢远ǔ鲂Ｕb置的傳遞函數(shù) 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 驗(yàn)算： 5-35 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）若要求校正后系統(tǒng)的相角裕度為30，幅值裕度為1012(dB)，試設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置； （2）若要求

15、校正后系統(tǒng)的相角裕度為50，幅值裕度為3040(dB)，試設(shè)計(jì)串聯(lián)遲后校正裝置。 解 (1) 依題作圖未校正系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-35(a)所示校正前： , (系統(tǒng)不穩(wěn)定） 超前校正后截止頻率大于原系統(tǒng)，而原系統(tǒng)在之后相角下降很快，用一級(jí)超前網(wǎng)絡(luò)無(wú)法滿足要求。(2) 設(shè)計(jì)遲后校正裝置 經(jīng)試算在處有 取 對(duì)應(yīng) 在 以下24.436dB畫水平線，左延10dec到對(duì)應(yīng)=處,作線交0dB線到E：，因此可得出遲后校正裝置傳遞函數(shù)： 試算： 由Bode圖： 幅值裕度h不滿足要求。為增加，應(yīng)將高頻段壓低。重新設(shè)計(jì)：使滯后環(huán)節(jié)高頻段幅值衰減40dB()。求對(duì)應(yīng)處的 查慣性環(huán)節(jié)表,在處： 以交0dB線

16、于E：（），得出滯后校正裝置傳遞函數(shù)： 在處: 驗(yàn)算： （滿足要求）因此確定： 5-36 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 要求校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)v5(rad/s)，截止頻率c2(rad/s)，相角裕度45，試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。解 在以后，系統(tǒng)相角下降很快，難以用超前校正補(bǔ)償；遲后校正也不能奏效，故采用遲后-超前校正方式。根據(jù)題目要求，取 ， 原系統(tǒng)相角裕度 最大超前角 查教材圖5-65(b) 得： ， 過(guò)作，使；過(guò)作20dB/dec線并且左右延伸各3倍頻程，定出、，進(jìn)而確定、點(diǎn)。各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為： 有 驗(yàn)算： 5-37 已知一單位反饋控制系統(tǒng)，其被控對(duì)象G0(s)和串聯(lián)校正裝置Gc(s

17、)的對(duì)數(shù)幅頻特性分別如圖5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求： （1）寫出校正后各系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)； （2）分析各對(duì)系統(tǒng)的作用，并比較其優(yōu)缺點(diǎn)。解 (a) 未校正系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 采用遲后校正后 畫出校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖解5-37(a)所示。有 ， 可見(jiàn) (b) 未校正系統(tǒng)頻率指標(biāo)同(a)。采用超前校正后畫出校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖解5-37(b)所示?？梢?jiàn) (c) 校正前系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，可見(jiàn)采用串聯(lián)滯后超前校正后 5-38 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) （1）如果要求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的超調(diào)量=20，試確定值；

18、（2）根據(jù)所求得的值，求出系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的調(diào)節(jié)時(shí)間，以及靜態(tài)速度誤差系數(shù)； （3）設(shè)計(jì)一串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)的，17，減小到校正前系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間的一半以內(nèi)。 (1) 由式(5-81): （1）由(6-8), （2）又 （3）式(2)、(3)聯(lián)立： 解出： , (舍去） 開(kāi)環(huán)增益 (2) 依式(5-82)： 依題有： (3) 依題要求 由第(2)步設(shè)計(jì)結(jié)果 對(duì)應(yīng)于。由頻域時(shí)域的反比關(guān)系（一定時(shí)），應(yīng)取: 作出的原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-38所示： （系統(tǒng)不穩(wěn)定）在處，原系統(tǒng)相角儲(chǔ)備：需采用遲后超前校正方法。超前部分需提供超前角查課本圖5-65(b),對(duì)應(yīng)超前部分應(yīng)滿足：在處定出

19、使，過(guò)作+20dB/dec直線（D、E相距10倍頻，C位于D、E的中點(diǎn)），交出D、E，得定F點(diǎn)使,過(guò)F作-20dB/dec斜率直線交頻率軸于G，得 驗(yàn)算： 查圖5-61 （符合要求） 得出滿足要求的串聯(lián)校正裝置傳遞函數(shù)： 5-39 圖5-87為三種推薦的串聯(lián)校正網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)幅頻特性，它們均由最小相角環(huán)節(jié)組成。若原控制系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試問(wèn)： （1）這些校正網(wǎng)絡(luò)中，哪一種可使校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定程度最好？ （2）為了將12Hz的正弦噪聲削弱左右，你確定采用哪種校正網(wǎng)絡(luò)？解 （1）(a) 采用遲后校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39

20、中曲線所示：截止頻率 相角裕度 （系統(tǒng)不穩(wěn)定）(b) 采用超前校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39中曲線所示：截止頻率 相角裕度 (c) 采用遲后-超前校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39中曲線所示：截止頻率 相角裕度 可見(jiàn)，采用遲后校正時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定；采用遲后-超前校正時(shí)穩(wěn)定程度最好，但響應(yīng)速度比超前校正差一些。（2）確定使12Hz正弦噪聲削弱10倍左右的校正網(wǎng)絡(luò) 時(shí)， 對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，高頻段的閉環(huán)幅頻特性與開(kāi)環(huán)幅頻特性基本一致。從Bode圖上看，在處，有 衰減倍數(shù)，可見(jiàn)，采用遲后-超

21、前校正可以滿足要求。5-40 某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-88所示，其中虛線表示校正前的，實(shí)線表示校正后的。要求（1） 確定所用的是何種串聯(lián)校正方式，寫出校正裝置的傳遞函數(shù)；（2） 確定使校正后系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益范圍；（3） 當(dāng)開(kāi)環(huán)增益時(shí)，求校正后系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。解（1）由系統(tǒng)校正前、后開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可得校正裝置的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-40所示。從而可得所用的是串聯(lián)遲后-超前校正方式。（2）由圖5-88中實(shí)線可寫出校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 校正后系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 列勞思表110001101000K(11000-1000K)/110 K0所以有 。 （3）當(dāng)時(shí)，由圖5-88可看出所以有 113