第1講　基礎(chǔ)小題部分 一、選擇題 1．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為 (　　) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 解析：依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1，故選A. 答案：A 2．若橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且|PF|＝4，則該橢圓的離心率為 (　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)P(x，y)，由題意，得F(1,0)，因?yàn)閨PF|＝x＋1＝4，所以x＝3，y2＝12，則＋＝1，且a2－1＝b2，解得a2＝11＋4，即a＝＋2，則該橢圓的離心率e＝＝＝.故選A. 答案：A 3．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.＋y2＝1 B.＋y2＝1或＋＝1 C.＋＝1 D．以上答案都不對(duì) 解析：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(－2,0)， 由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案：B 4．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為 (　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)P(xP，yP)，結(jié)合拋物線的定義及|PF|＝4，可知xP＝3，代入拋物線方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2. 答案：C 5．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為 (　　) A. B. C. D．2 解析：因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 答案：A 6．(2018·高考北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cos θ，sin θ)到直線x－my－2＝0的距離．當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由題意可得d＝ ＝ ＝ ＝(其中cos φ＝，sin φ＝)， ∵－1≤sin(θ－φ)≤1， ∴≤d≤，＝1＋， ∴當(dāng)m＝0時(shí)，d取最大值3，故選C. 答案：C 7．橢圓C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PF1，PF2的中點(diǎn)分別為M，N.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為2，則△PF1F2的周長是 (　　) A．2(＋) B.＋2 C.＋ D．4＋2 解析：因?yàn)镺，M分別為F1F2和PF1的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2，且|OM|＝|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|，所以四邊形OMPN為平行四邊形，由題意知，|OM|＋|ON|＝，故|PF1|＋|PF2|＝2，即2a＝2，a＝，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2c＝2，故△PF1F2的周長為2a＋2c＝2＋2，選A. 答案：A 8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為 (　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c，0)． 設(shè)E(0，m)，由PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， ∴e＝＝.故選A. 答案：A 9．已知點(diǎn)F是拋物線C：y＝ax2(a≠0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，則以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是 (　　) A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定 解析：拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)(a≠0)，焦點(diǎn)為F(0，)．過點(diǎn)A作準(zhǔn)線y＝－的垂線，垂足為A1，AA1交x軸于點(diǎn)A2(圖略)，根據(jù)拋物線的定義得|AA1|＝|AF|.由梯形中位線定理得線段AF的中點(diǎn)到x軸的距離為d＝(|OF|＋|AA2|)＝(＋|AA1|－)＝|AF|，故以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相切，故選C. 答案：C 10．(2018·高考天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以b＝3.因?yàn)殡p曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. 答案：C 11．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝ (　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：因?yàn)閑＝＝，y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以c＝2，a＝4，故橢圓方程為＋＝1，將x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6. 答案：B 二、填空題 12．若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：由于拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x＋1＝10，所以x＝9.故M到y(tǒng)軸的距離是9. 答案：9 13．已知拋物線Γ：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，P是Γ的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q是直線PF與Γ的一個(gè)交點(diǎn)．若＝2，則直線PF的方程為________________． 解析：由拋物線y2＝4x可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1， 設(shè)P(－1，yP)，Q(xQ，yQ)，由＝2， 得又因?yàn)閥＝4xQ， 則易知yP＝±2，即P(－1,2)或P(－1，－2)．當(dāng)P(－1,2)時(shí)，直線PF的方程為x＋y－＝0，當(dāng)P(－1，－2)時(shí)，直線PF的方程為x－y－＝0，所以直線PF的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0. 答案：x＋y－＝0或x－y－＝0 14．(2018·高考浙江卷)已知點(diǎn)P(0,1)，橢圓＋y2＝m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足＝2，則當(dāng)m＝________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得 即x1＝－2x2，y1＝3－2y2. 因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以 得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以當(dāng)m＝5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為2. 答案：5 15．(2018·高考全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________. 解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝. 設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點(diǎn)， ∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 答案：2 7