一 數(shù)學歸納法 ,　　　　　　　　[學生用書P56]) [A　基礎(chǔ)達標] 1．數(shù)學歸納法證明中，在驗證了n＝1時命題正確，假定n＝k時命題正確，此時k的取值范圍是(　　) A．k∈N　　 B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋ 解析：選C.數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1. 2．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A． B．＋ C．＋ D．＋＋ 解析：選D.因為f(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 3．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成(　　) A．假設(shè)當n＝k(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 B．假設(shè)當n＝2k(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 C．假設(shè)當n＝2k＋1(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 D．假設(shè)當n＝2k－1(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 答案：D 4．用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)”時，從n＝k到n＝k＋1，等式左邊需要增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1 B． C．2(2k＋1) D． 解析：選C.當n＝k時，等式左邊為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 當n＝k＋1時，等式左邊為 (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·， 即增乘了＝2(2k＋1)． 5．在用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第(ii)步中，假設(shè)n＝k時原等式成立，那么在n＝k＋1時需要證明的等式為(　　) A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) 解析：選D.因為用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n時， 當n＝1時左邊所得的項是1＋2； 假設(shè)n＝k時，命題成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k， 則當n＝k＋1時，左端為1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)， 所以1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故選D. 6．用數(shù)學歸納法證明時，設(shè)f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則f(k＋1)＝________． 解析：f(k＋1)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋ (k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 答案：(k＋1)(k＋2)2 7．用數(shù)學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應(yīng)得到________． 解析：因為n＝k時，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， 所以n＝k＋1時，為使用歸納假設(shè)， 應(yīng)寫成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．已知平面上有n(n∈N＋，n≥3)個點，其中任何三點都不共線，過這些點中任意兩點作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________． 解析：當n＝k時，有f(k)條直線．當n＝k＋1時，增加的第k＋1個點與原k個點共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k＋1)＝f(k)＋k. 又f(2)＝1， 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 答案：3　6　10　n 9．用數(shù)學歸納法證明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝(n∈N＋)． 證明：(1)當n＝1時，左邊＝1×2×3＝6，右邊＝＝6，等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時等式成立，即 1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2) ＝， 那么當n＝k＋1時，1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)． 即當n＝k＋1時等式成立． 綜合上述(1)(2)得，對一切正整數(shù)n，等式都成立． 10．證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)． 證明：(1)當n＝4時，四邊形有兩條對角線，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命題成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥4，n∈N＋)時命題成立， 即f(k)＝k(k－3)，那么，當n＝k＋1時，增加一個頂點，凸多邊形的對角線增加k－1條，則f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 即當n＝k＋1時命題也成立． 根據(jù)(1)(2)，可知命題對任意的n≥4，n∈N＋都成立． [B　能力提升] 1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 解析：選C.因為f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36， 所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除． 證明如下：n＝1，2時，由上得證，設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k ＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2， 故f(k＋1)能被36整除． 因為f(1)不能被大于36的數(shù)整除， 所以所求最大的m值等于36. 2．用數(shù)學歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是________． 解析：n＝k時等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝， n＝k＋1時等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝. 所以n＝k＋1時等式左邊比n＝k時等式左邊增加了k2＋(k＋1)2. 答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1) 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當n∈N＋時，an＋2＝an＋1＋an，求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(m∈N＋)能被3整除． 證明：(1)當m＝1時， a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即當m＝1時，第4m＋1項能被3整除． (2)假設(shè)當m＝k(k≥1，k∈N＋)時，a4k＋1能被3整除，則當m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除． 所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即當m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1也能被3整除． 由(1)和(2)知，對于n∈N＋，數(shù)列{an}中的第4m＋1項能被3整除． 4．求證：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當n＝2時，左邊＝tan α·tan 2α， 右邊＝－2＝·－2＝－2 ＝＝＝tan α·tan 2α， 等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立，即有： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k. 當n＝k＋1時， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)． 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 6