第十七章勾股定理,本章總結提升,本章總結提升,知識框架,,,,,本章總結提升,,,,互逆定理,,,,如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．,,類型之一運用勾股定理進行計算或求值,本章總結提升,整合提升,勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，所以運用勾股定理的前提條件是所給的三角形是直角三角形．它把直角三角形這一“形”轉化為三邊的“數(shù)”，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結合”的數(shù)學思想．,本章總結提升,76,本章總結提升,[解析]在Rt△A′BC中，BC＝5，A′C＝62＝12，根據(jù)勾股定理，得A′B2＝BC2＋A′C2＝52＋122＝169，所以A′B＝13.因為A′A＝6，所以A′B＋A′A＝13＋6＝19，所以這個“風車”的外圍周長是194＝76.,,本章總結提升,【歸納總結】在直角三角形中，如果已知兩邊長，那么可以直接利用勾股定理求出第三邊長；若題目中的條件不能確定兩邊長，但能確定兩邊之間的關系，這時可以引入未知數(shù)，借助方程思想求解．在題目中如果沒有直角三角形，那么需要通過作高或作垂線，構造直角三角形，再利用勾股定理求解．,本章總結提升,【針對訓練】,C,本章總結提升,本章總結提升,[點評]解有關“折疊”問題時，首先要弄清楚折疊圖形的前后聯(lián)系，并與勾股定理、方程聯(lián)系起來，將待求線段與有關線段歸結到同一個直角三角形中，用勾股定理構造方程使問題得以解決．,本章總結提升,本章總結提升,類型之二操作驗證勾股定理,勾股定理的證明方法已多達400余種(其中大部分是利用面積關系來證明的)，這些證明方法不僅驗證了勾股定理，而且還豐富了研究數(shù)學問題的思想，促進了數(shù)學的發(fā)展.近年來，動手操作驗證勾股定理的考題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷中．,本章總結提升,例2操作題：剪裁出若干張大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長分別記為a，b，c，如圖17－T－4①.(1)拼圖一：分別用4張直角三角形紙片拼成如圖17－T－4②③的形狀，觀察圖②③可發(fā)現(xiàn)，圖②中兩個小正方形的面積之和________(填“大于”“小于”或“等于”)圖③中小正方形的面積，用關系式表示為______________；,等于,a2＋b2＝c2,本章總結提升,圖17－T－4,本章總結提升,(2)拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖17－T－4④的形狀，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，圖中共有________個正方形，它們的面積之間的關系是_____________________________________________________，用關系式表示為_______________________．,3,兩個較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積,a2＋b2＝c2,本章總結提升,[解析]首先認真觀察圖形的變化，然后用圖形割補、拼接，由面積不變證明．(1)圖②中兩個小正方形的邊長分別是a，b，所以它們的面積之和為a2＋b2，圖③中小正方形的邊長為c，所以它的面積為c2，由圖①得a2＋b2＝c2.(2)圖④中共有3個正方形，它們的面積之間的關系是兩個較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積，用關系式表示為a2＋b2＝c2.,本章總結提升,【歸納總結】驗證勾股定理常用的方法是利用圖形面積之間的恒等變形，其關鍵是通過面積之間的相等關系，將“形”的問題轉化為“數(shù)”的問題．,本章總結提升,本章總結提升,本章總結提升,解：(1)如圖所示，直角梯形．,本章總結提升,本章總結提升,本章總結提升,(3)能，答案不唯一，如圖所示．,本章總結提升,類型之三利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,勾股定理的逆定理是通過同一個三角形中三條線段之間的平方關系來確定線段是否垂直．在應用該定理時，若條件中的三條線段不在同一個三角形中，應設法通過三角形全等、等腰三角形、長方形、正方形以及圖形的軸對稱變換等將它們轉化到同一個三角形中再判斷．,本章總結提升,,本章總結提升,,[解析]可以根據(jù)△ABE的面積和DE的長度，求出AB的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C的度數(shù)是90.,本章總結提升,4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則()A．∠A為直角B．∠C為直角C．∠B為直角D．△ABC不是直角三角形,,A,[解析]∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即c2＋b2＝a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊，∴∠A為直角．故選A.,【針對訓練】,本章總結提升,本章總結提升,本章總結提升,類型之四二次根式的混合運算,勾股定理是直角三角形的性質，是根據(jù)角的度數(shù)得出了三邊的關系，是“以角定邊”；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，是根據(jù)三角形邊的特殊關系得出直角，是“以邊定角”．在解題時，不要將兩者弄混．有些問題，需要綜合運用這一組互逆定理才能解決．,本章總結提升,[解析]先根據(jù)△BCD的三邊長，判斷出△BCD為直角三角形，然后在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理列方程求AC的長，從而求△ABC的周長．,本章總結提升,本章總結提升,[歸納總結]此題綜合應用了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理是數(shù)形結合的典范，當知道三角形的三邊長時，一般要用勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形.一定要注意最長邊所對的角為直角．另外，在運用勾股定理時，應注意引進未知數(shù)，列方程求解．,本章總結提升,【針對訓練】,本章總結提升,本章總結提升,類型之五勾股定理及其逆定理在實際生活中的應用,勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，在實際生活中有著廣泛的應用．其關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題，然后建立三角形數(shù)學模型，利用直角三角形來解決問題．在此過程中，有時還需要建立方程來求解．勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要定理，它常應用于生活中的直角作圖問題．,本章總結提升,例5在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時8海里的速度前進，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你能知道乙船沿哪個方向航行嗎？,本章總結提升,[解析]根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示．可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了．,本章總結提升,解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示．BM＝82＝16(海里)，BP＝152＝30(海里)，MP＝34海里．因為162＋302＝342，即BM2＋BP2＝MP2，所以△MBP是直角三角形，∠MBP＝90.因為甲船沿北偏東60的方向航行，所以∠PBC＝30，即乙船沿南偏東30的方向航行．,本章總結提升,【針對訓練】,本章總結提升,[解析]因為票價與路程成正比，故可將票價視為路程來處理，即AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝12.5，CD＝4.5，利用勾股定理求解．,本章總結提升,