專(zhuān)題三　三角函數(shù)及解三角形第2講　三角恒等變換及解三角形 真題試做 1．(2020·廣東高考，文6)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，則AC＝(　　)． A．4 B．2 C. D. 2．(2020·江西高考，文4)若＝，則tan 2α＝(　　)． A．－ B. C．－ D. 3．(2020·重慶高考，文5)＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 考向分析 本部分主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識(shí)．近幾年高考題目中每年有1～2個(gè)小題，一個(gè)大題，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考查，有時(shí)也與不等式、函數(shù)最值結(jié)合在一起，但難度不大，而三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合，更是考向的主要趨勢(shì)．三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查利用各種三角函數(shù)進(jìn)行求值與化簡(jiǎn)，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn)，切化弦、角的變換是?？嫉娜亲儞Q思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：①邊和角的計(jì)算；②三角形形狀的判斷；③面積的計(jì)算；④有關(guān)的范圍問(wèn)題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可小視． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　三角恒等變換及求值 【例1】(2020·山東淄博一模，17)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－sin x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若α為第二象限角，且f＝，求的值． 規(guī)律方法 明確“待求和已知三角函數(shù)間的差異”是解決三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題的關(guān)鍵．三角恒等變換的常用策略有： (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項(xiàng)的分拆與角的配湊： ①二倍角只是個(gè)相對(duì)概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等； ②＝－，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特點(diǎn)，正用或逆用都要靈活，特別對(duì)以下幾種變形更要牢記并會(huì)靈活運(yùn)用： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝等． (3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪． (4)角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 變式訓(xùn)練1 (2020·山東濟(jì)寧模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期為6π. (1)求f的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 熱點(diǎn)二　三角函數(shù)、三角形與向量等知識(shí)的交會(huì) 【例2】(2020·山東煙臺(tái)適用性測(cè)試一，理17)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n. (1)求角A的大??； (2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的值域． 規(guī)律方法 以解三角形為命題形式考查三角函數(shù)是“眾望所歸”：正余弦定理的應(yīng)用，難度適中，運(yùn)算量適度，方向明確(化角或化邊)．(1)利用正弦定理，將角化為邊時(shí)，實(shí)際上是把角的正弦替換為所對(duì)邊與外接圓直徑的比值．(2)求角的大小一定要有兩個(gè)條件：①是角的范圍；②是角的某一三角函數(shù)值．用三角函數(shù)值判斷角的大小時(shí)，一定要注意角的范圍及三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．(3)三角形的內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性．在三角形中，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余．銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任意兩角的和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方． 變式訓(xùn)練2 (2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文16)在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a＝2csin A. (1)求角C； (2)若c＝2，△ABC的面積為，求a，b的值． 熱點(diǎn)三　正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 【例3】某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB.現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線(xiàn)段．現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問(wèn)把A，B分別設(shè)在公路上離市中心O多遠(yuǎn)處才能使A，B之間的距離最短？并求最短距離．(結(jié)果保留根號(hào)) 規(guī)律方法 (1)三角形應(yīng)用題主要是解決三類(lèi)問(wèn)題：測(cè)高度、測(cè)距離和測(cè)角度． (2)在解三角形時(shí)，要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法，同時(shí)，不可將正弦定理與余弦定理割裂開(kāi)來(lái)，有時(shí)需綜合運(yùn)用． (3)在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題意，正確畫(huà)出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸納到三角形中解決．要明確先用哪個(gè)公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法．在演算過(guò)程中，要算法簡(jiǎn)練、算式工整、計(jì)算正確，還要注意近似計(jì)算的要求． (4)在畫(huà)圖和識(shí)圖過(guò)程中要準(zhǔn)確理解題目中所涉及的幾種角，如仰角、俯角、方位角，以防出錯(cuò)． (5)有些時(shí)候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等． 變式訓(xùn)練3 (2020·安徽名校聯(lián)考，文8)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　)． A．25 m B. m C．50 m D．50 m 思想滲透 化歸轉(zhuǎn)化思想——解答三角恒等變換問(wèn)題 求解恒等變換問(wèn)題的思路： 一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化的思想“去異求同”的過(guò)程，具體分析如下： (1)變角：首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心； (2)變名：其次看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系，通常“切化弦”，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用； (3)結(jié)構(gòu)：再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，降冪與升冪，巧用“1”的代換等． 【典型例題】(2020·福建高考，文20)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解法一：(1)選擇②式，計(jì)算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 1．(2020·安徽名校聯(lián)考，文2)已知sin θ＝－，且θ∈，則的值等于(　　)． A. B. C．－ D．－ 2．在△ABC中，如果0＜tan Atan B＜1，那么△ABC是(　　)． A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 3．(2020·山東煙臺(tái)適用性測(cè)試一，5)已知傾斜角為α的直線(xiàn)l與直線(xiàn)x－2y＋2＝0平行，則tan 2α的值為(　　)． A. B. C. D. 4．(2020·江西南昌二模，5)已知cos＝－，則cos x＋cos的值是(　　)． A．－ B．± C．－1 D．±1 5．(2020·山東淄博一模，10)在△ABC中，已知bcos C＋ccos B＝3acos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，則cos B的值為(　　)． A. B．－ C. D．－ 6．已知sin x＝，則sin 2＝______. 7．(2020·湖南長(zhǎng)沙模擬，18)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x. (1)若f(α)＝5，求tan α的值； (2)設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域． 8．(2020·安徽江南十校聯(lián)考，文16)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x. (1)若f(x)＝2f(－x)，求的值； (2)求函數(shù)F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2. 2．B　解析：因?yàn)椋剑? 所以＝，解方程得tan α＝－3. 于是根據(jù)倍角公式可得tan 2α＝＝，故選B. 3．C　解析：因?yàn)閟in 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝＝sin 30°＝，故選C. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 解：(1)∵f(x)＝1＋cos x－sin x ＝1＋2cos， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. 又∵－1≤cos≤1， ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,3]． (2)∵f＝， ∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. ∵＝ ＝＝， 又∵α為第二象限角，且cos α＝－， ∴sin α＝. ∴原式＝＝＝. 【變式訓(xùn)練1】 解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2 ＝2sin. ∵函數(shù)f(x)的最小正周期為6π， ∴T＝＝6π，即ω＝. ∴f(x)＝2sin. ∴f＝2sin＝2sin＝. (2)f＝2sin＝2sin α＝－， ∴sin α＝－. f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cos β＝， ∴cos β＝. ∵α，β∈， ∴cos α＝＝， sin β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 【例2】 解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0， ∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0， 2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C ＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B. 在銳角三角形ABC中，sin B＞0， ∴cos A＝，故A＝. (2)在銳角三角形ABC中，A＝， 故＜B＜. ∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin. ∵＜B＜，∴＜2B－＜. ∴＜sin≤1，＜y≤2. ∴函數(shù)y＝2sin2B＋cos的值域?yàn)? 【變式訓(xùn)練2】 解：(1)∵a＝2csin A，∴sin A＝2sin Asin C， ∵sin A≠0，∴sin C＝， ∵0＜C＜，∴C＝. (2)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積等于， ∴absin C＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. 【例3】 解：在△AOB中，設(shè)OA＝a，OB＝b. 因?yàn)镺A為正西方向，OB為東北方向， 所以∠AOB＝135°. 又O到AB的距離為10， 所以S△ABO＝absin 135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab. 設(shè)∠OAB＝α，則∠OBA＝45°－α. 因?yàn)閍＝，b＝， 所以ab＝·＝ ＝＝ ＝≥. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝22°30′時(shí)，“＝”成立． 所以|AB|≥×＝20(＋1)． 當(dāng)且僅當(dāng)α＝22°30′時(shí)，“＝”成立． 所以，當(dāng)a＝b＝＝10時(shí)， A，B之間的距離最短，且最短距離為20(＋1) km. 即當(dāng)A，B分別在OA，OB上離市中心O 10 km處時(shí)，能使A，B之間的距離最短，最短距離為20(＋1) km. 【變式訓(xùn)練3】 C　解析：易得∠B＝30°，根據(jù)正弦定理可知AB＝50 m. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．A　解析：sin 2θ＝2sin θcos θ，＝2tan θ＝2×＝. 2．C　解析：由題意0＜A＜π，0＜B＜π，tan Atan B＞0，則A，B兩角為銳角， 又tan(A＋B)＝＞0，則A＋B為銳角，則角C為鈍角，故選C. 3．B　解析：已知傾斜角為α的直線(xiàn)l與直線(xiàn)x－2y＋2＝0平行， 則tan α＝，tan 2α＝＝＝. 4．C　解析：cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1. 5．A　解析：因?yàn)閎cos C＋ccos B＝3acos B， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B，即cos B＝. 6．2－　解析：sin 2＝sin＝－cos 2x ＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1 ＝2×2－1＝3－－1＝2－. 7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sin αcos α＋5cos2α＝5， ∴3·＋sin 2α＋5·＝5. ∴sin 2α＋cos 2α＝1，即sin 2α＝1－cos 2α2sin αcos α＝2sin2α，∴sin α＝0或tan α＝. ∴tan α＝0或tan α＝. (2)由＝，得＝， 則cos B＝，即B＝. 又f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋4＝2sin＋4， 由0＜x≤，可得≤sin≤1， 故5≤f(x)≤6，即所求值域是[5,6]． 8．解：(1)∵f(x)＝sin x＋cos x， ∴f(－x)＝cos x－sin x. 又∵f(x)＝2f(－x)， ∴sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)且cos x≠0tan x＝. ∴＝＝＝. (2)由題知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1. ∴當(dāng)sin＝1時(shí)，F(xiàn)(x)max＝＋1. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，解得單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．