會(huì)計(jì)學(xué)1D1211常數(shù)常數(shù)(chngsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共24頁(yè)。引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積用圓內(nèi)接正多邊形面積(min j)逼近圓面積逼近圓面積(min j).依次(yc)作圓內(nèi)接正邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。小球從 1 米高處自由落下(lu xi), 每次跳起的高度減少一半(ybn), 問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說(shuō)明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程知?jiǎng)t小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211)21(1limnn第2頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。給定一個(gè)(y )數(shù)列將各項(xiàng)依即稱(chēng)上式為無(wú)窮(wqing)級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和；次相加, 簡(jiǎn)記為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和序列。它也有收斂的問(wèn)題通項(xiàng)第3頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。當(dāng)級(jí)數(shù)(j sh)收斂時(shí), 稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)(j sh)的余項(xiàng).則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散 .顯然機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nuuuu321收斂收斂 ,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和和,記作第4頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。 (又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù)(j h j sh)( q 稱(chēng)為(chn wi)公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。2). 若因此級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散 ;因此(ync)n 為奇數(shù)(j sh)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 。則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。解解: (1) 所以級(jí)數(shù)(j sh) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧(jqio):利用 “分項(xiàng)抵消分項(xiàng)抵消” 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。所以級(jí)數(shù)(j sh) (2) 收斂, 其和為 1 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第8頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。判別(pnbi)級(jí)數(shù)的斂散性 .解解:故原級(jí)數(shù)(j sh)收斂 , 其和為機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂(shulin)于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,證證: 令則這說(shuō)明1nnuc收斂 , 其和為 c S . 說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。則級(jí)數(shù)(j sh)也收斂(shulin), 其和為證證: 令,1nkknuS則這說(shuō)明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。說(shuō)明說(shuō)明(shumng):(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂(shulin)一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散(fsn) . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, (1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 皆發(fā)散.收斂.第12頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。在級(jí)數(shù)(j sh)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)(j sh)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)(j sh)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。收斂級(jí)數(shù)(j sh)加括弧后所成的級(jí)數(shù)(j sh)仍收斂于原級(jí)數(shù)(j sh)的和.證證: 設(shè)收斂設(shè)收斂(shulin)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子序列,推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。定理：設(shè)收斂定理：設(shè)收斂(shulin)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則必有證證: 可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般(ybn)項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。并非級(jí)數(shù)(j sh)收斂的充分條件.例如例如(lr), 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但與題設(shè)矛盾!所以假設(shè)不真 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。解解: 考慮考慮(kol)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散(fsn) ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 調(diào)和級(jí)數(shù)第17頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。解解: (1) 令則故從而(cng r)這說(shuō)明級(jí)數(shù)(j sh)(1) 發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。因進(jìn)行進(jìn)行(jnxng)分分項(xiàng)抵消項(xiàng)抵消這說(shuō)明(shumng)原級(jí)數(shù)收斂 ,其和為(2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第19頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。211212nn1212nn這說(shuō)明原級(jí)數(shù)(j sh)收斂, 其和為 3 .(3) 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。的充要條件是:定理定理(dngl).有證證: 設(shè)所給級(jí)數(shù)(j sh)部分和數(shù)列為因?yàn)樗? 利用數(shù)列 的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。解解: ,Zp對(duì)任意有利用柯西審斂原理(yunl)判別級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共24頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)。當(dāng) nN 時(shí),Zp對(duì)任意都有由柯西審斂原理可知(k zh), 級(jí)數(shù) 第二節(jié) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)/共24頁(yè)第二十四頁(yè)，共24頁(yè)。