2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)綜合檢測(cè)：專(zhuān)題三 三角函數(shù)與平面向量 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若＝，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)． A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1 [答案]　D [解析]　∵|a|＝|b|即兩向量的模相等，但方向不確定，∴①不正確；對(duì)于②，當(dāng)b＝0時(shí)，其方向是任意的，∴a∥c不對(duì)；對(duì)于④，當(dāng)＝時(shí)，A、B、C、D有可能共線，即不能構(gòu)成四邊形，∴只有③正確，故選D. 2．函數(shù)f(x)＝tan(－x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z B．(kπ－，kπ＋)，k∈Z C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z [答案]　B [解析]　f(x)＝tan(－x)＝－tan(x－)， 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足不等式 －＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，即 －＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，故選B. 3．(2020·新課標(biāo)全國(guó)文，10)若cosα＝－，α是第三象限的角，則sin(α＋)＝(　　) A．－ B. C．－ D. [答案]　A [解析]　本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式，在解題時(shí)要注意正確計(jì)算各個(gè)三角函數(shù)的值，題目定位是中檔題． 由題知，cosα＝－，α是第三象限的角， 所以sinα＝－，由兩角和的正弦公式可得 sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin ＝(－)×＋(－)×＝－，故選A. 4．(2020·大綱全國(guó)卷理，5)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx(ω>0)，將y＝f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于(　　) A. B．3 C．6 D．9 [答案]　C [解析]　由題意知，＝·k，∴ω＝6k， 令k＝1，∴ω＝6. 5．(2020·山東理，6)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，則ω＝(　　) A．3 B．2 C. D. [答案]　C [解析]　依題意y＝sinωx的周期T＝4×＝π， 又T＝，∴＝π，∴ω＝. 故選C(亦利用y＝sinx的單調(diào)區(qū)間來(lái)求解) 6．(2020·濰坊二模)函數(shù)y＝cos(2x＋)－2的圖象F按向量a平移到F′，F(xiàn)′的函數(shù)解析式為y＝f(x)，當(dāng)y＝f(x)為奇函數(shù)時(shí)，向量a可以等于(　　) A．(－，－2) B．(－，2) C．(，－2) D．(，2) [答案]　B [解析]　函數(shù)y＝cos(2x＋)－2按向量a＝(m，n)平移后得到y(tǒng)′＝cos(2x－2m＋)＋n－2.若平移后的函數(shù)為奇函數(shù)，則n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－時(shí)適合． 7．在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且＝，則B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° [答案]　B [解析]　∵＝＝， ∴sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB， 移項(xiàng)得sin(B＋C)＝2sinA·cosB， ∴sinA＝2sinA·cosB，∵sinA≠0，∴cosB＝， ∴B＝60°.故選B. 8．(2020·全國(guó)大綱理，12)設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值等于(　　) A．2 B. C. D．1 [答案]　A [解析]　如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a－c，＝b－c. ∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1. 又∵a·b＝－， ∴|a|·|b|·cos∠AOB＝－， ∴cos∠AOB＝－.∴∠AOB＝120°. ∴O、A、C、B四點(diǎn)共圓．∴當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°， ∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2. 9．在△ABC中，若2cosB·sinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 [答案]　C [解析]　法一：∵C＝π－(A＋B)， ∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA. ∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. ∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B. 方法二：由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝， 代入條件式得2··＝， ∴a2＝b2.故a＝b. 10．設(shè)F1、F2是橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2的面積為1時(shí)，·的值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 [答案]　A [解析]　設(shè)P(x，y)，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3. ∵△F1PF2的面積S＝|||y|＝·2·|y|＝|y|＝1， ∴y2＝.由于點(diǎn)P在橢圓上， ∴＋y2＝1.∴x2＝. ∴·＝x2＋y2－3＝＋－3＝0.故選A. 11．(文)(2020·新課標(biāo)文，11)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，則(　　) A．y＝f(x)在(0，)單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) B．y＝f(x)在(0，)單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．y＝f(x)在(0，)單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) D．y＝f(x)在(0，)單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) [答案]　D [解析]　此類(lèi)題目應(yīng)先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式再求解． f(x)＝sin＋cos＝sin ＝cos2x. 則函數(shù)在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于x＝對(duì)稱(chēng)． (理)(2020·新課標(biāo)理，11)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則(　　) A．f(x)在(0，)單調(diào)遞減 B．f(x)在(，)單調(diào)遞減 C．f(x)在(0，)單調(diào)遞增 D．f(x)在(，)單調(diào)遞增 [答案]　A [解析]　依題意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ＝sin(ωx＋φ＋)， 又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ＋) 又f(x)為偶函數(shù)，∴φ＋＝kπ＋(k∈Z)， 即φ＝kπ＋. 又|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x. 又y＝cosx在x∈[0，π)單調(diào)遞減， 則由0<2x<π得0<x<. 即f(x)＝cos2x在(0，)單調(diào)遞減，故選A. 12．(2020·山東理，12)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ (λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，則稱(chēng)A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下面說(shuō)法正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上 [答案]　D [解析]　依題意：C(c,0)，D(d,0)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則有： ＝λ，＝μ，即(c,0)＝λ(1,0)＝(λ，0)， (d,0)＝μ(1,0)＝(μ，0)，∴c＝λ，d＝μ， 又＋＝2，∴＋＝2. 對(duì)于A，若C為AB中點(diǎn)，則c＝，又＋＝2， ∴d不存在，A錯(cuò)誤．同理B錯(cuò)誤． 若C正確，則0<c≤1,0<d≤1，∴0<λ≤1,0<μ≤1. ∴≥1，≥1，又λ，μ不能同時(shí)取1， ∴＋>2.∴C錯(cuò)誤．故選D. 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填寫(xiě)在題中橫線上．) 13．(2020·南京二模)函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cosx)(x∈R)的最小正周期是________． [答案]　π [解析]　因?yàn)閒(x)＝cosx(sinx＋cosx) ＝sin2x＋＝sin＋， 所以最小正周期為T(mén)＝π. 14．(2020·北京理，9)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，則sinA＝________；a＝________. [答案]　；2 [解析]　依題意：0<A<π，tanA＝2， ∴sinA＝＝. 由正弦定理得：a＝·sinA＝5××＝2. 15．(文)(2020·上海文，12)在正三角形ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，若AB＝3，BD＝1，則·＝________. [答案]　 [解析]　·＝(＋)＝2＋· ＝32＋3×1×cos120°＝9－＝. (理)(2020·浙江理，14)若平面向量α、β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是________． [答案]　[，] [解析]　平行四邊形面積S＝||||sinθ＝， ∵|α|≤1，|β|≤1， ∴sinθ≥，又θ∈[0，π]，∴θ∈[，] 16．(2020·吉林高三質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝3sin的圖像為C，如下結(jié)論中正確的是________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))． ①圖像C關(guān)于直線x＝π對(duì)稱(chēng)； ②圖像C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ③函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)； ④由y＝3sin2x的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖像C. [答案]?、佗冖? [解析]?、佟遞＝3sin ＝3sinπ＝－3，∴x＝π為對(duì)稱(chēng)軸． ②∵f＝3sin＝3sinπ＝0， ∴為f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心． ③由－<x<?－<2x－<， 由于函數(shù)y＝3sinx在內(nèi)單調(diào)遞增， 故函數(shù)f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增． ④∵f(x)＝3sin2， 由y＝3sin2x的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝3sin2＝3sin，故答案為①②③. 三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)(2020·重慶理，16)設(shè)a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)滿足f(－)＝f(0)，求函數(shù)f(x)在[，]上的最大值和最小值． [解析]　f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x ＝sin2x－cos2x， 由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2. ∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)， 當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為增函數(shù)． 當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為減函數(shù)． ∴f(x)在[，]上的最大值為f()＝2， 又f()＝，f()＝， ∴f(x)的最小值為f()＝. 18．(本小題滿分12分)(2020·安徽文，16)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高． [解析]　如圖所示 ∵cos(B＋C)＝－cosA， 1＋2cos(B＋C)＝0 ∴1－2cosA＝0，即cosA＝， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA ∵a＝，b＝，∴3＝2＋c2－2××c×， 即c2－c－1＝0， ∵c>0，∴c＝， 設(shè)BC邊長(zhǎng)的高為h，S△ABC＝bcsinA＝·a·h， 即×·＝·h ∴h＝＝，即BC邊上的高為. 19．(本小題滿分12分)(2020·江西文，19)已知函數(shù)f(x)＝(1＋cotx)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)． (1)若tanα＝2，求f(α)； (2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍． [解析]　(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx) ＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x f(α)＝ ＝＝＝. (2)由(1)f(x)＝cos2x＋sinxcosx ＝＋＝sin(2x＋)＋， ≤x≤?≤2x＋≤ ?－≤sin(2x＋)≤1?0≤f(x)≤， ∴f(x)∈[0，]． 20．(本小滿分12分)(2020·重慶一診)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)． (1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若∠ABC為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解析]　(1)∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)， ∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)， 由三點(diǎn)共線知3(1－m)＝2－m，解得m＝. (2)由題設(shè)知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)， ∵∠ABC為銳角，∴·＝3＋3m＋m>0， 解得m>－. 又由(1)可知，當(dāng)m＝時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線， 故m∈(－，)∪(，＋∞)． 21．(本小滿分12分)(2020·浙江文，18)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S＝(a2＋b2－c2)． (1)求角C的大??； (2)求sinA＋sinB的最大值． [解析]　(1)由題意可知，absinC＝·2abcosC， ∴tanC＝， 又∵0< C<π.∴C＝. (2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A) ＝sinA＋sin(－A) ＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA ＝sin(A＋)≤. 當(dāng)且僅當(dāng)A＋＝，即A＝， 即當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào)， ∴sinA＋sinB的最大值是. 22．(本小滿分14分)(2020·浙江五校二模)已知向量m＝1，sinωx＋，n＝(其中ω為正常數(shù))． (1)若ω＝1，x∈，求m∥n時(shí)tanx的值； (2)設(shè)f(x)＝m·n－2，若函數(shù)f(x)的圖像的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為，求f(x)在區(qū)間上的最小值． [解析]　(1)m∥n時(shí)，sin＝sin， sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin， 則sinx－cosx＝sinx＋cosx. ∴sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋. (2)f(x)＝2sinsin ＝2sincos ＝2sincos＝sin. (或f(x)＝2sinsin ＝2 ＝2 ＝－sin2ωx＋sin2ωx＝sin.) ∵函數(shù)f(x)的圖像的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為， ∴f(x)的最小正周期為π，又ω為正常數(shù)， ∴＝π，解得ω＝1.故f(x)＝sin. 因?yàn)閤∈，所以－≤2x－≤. 故當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最小值－.