課時(shí)作業(yè)(六十六) 一、選擇題 1．下列隨機(jī)變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是(　　) A．從10只編號(hào)的球(0號(hào)到9號(hào))中任取一只，被取出的球的號(hào)碼ξ B．拋擲兩個(gè)骰子，所得的最大點(diǎn)數(shù)ξ C．[0,10]區(qū)間內(nèi)任一實(shí)數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值ξ D．一電信局在未來某日內(nèi)接到的電話呼叫次數(shù)ξ 答案　C 解析　僅C項(xiàng)中的差值ξ不是離散型隨機(jī)變量． 2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，則a的值是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案　B 解析　1＝p(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＋p(ξ＝3) ＝a[＋()2＋()3] 解得a＝. 3．已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，)，即P(ξ＝2)等于(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 答案　D 解析　已知ξ～B(6，)，P(ξ＝k)＝Cnkpkqn－k， 當(dāng)ξ＝2，n＝6，p＝時(shí)， 有P(ξ＝2)＝C62()2(1－)6－2 ＝C62()2()4＝. 4．一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了ξ次球，則P(ξ＝12)等于(　　) A．C1210()10·()2 B．C119()9()2· C．C119()9·()2 D．C119()9·()2 答案　B 解析　P(ξ＝12)表示第12次為紅球，前11次中有9次為紅球，從而P(ξ＝12)＝C119·()9()2×. 5．在初三一個(gè)班中，有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出5名學(xué)生，那么，其中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)ξ～B(5，)，則p(k；5，)取最大值的k值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　C5k()5－k()k≥C5k－1()5－(k－1)()k－1 C5k()5－k()k≥C5k＋1()5－(k＋1)()k＋1 ∴解得≤k≤　∴k＝1，故選B 二、填空題 6．從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有ξ個(gè)紅球，則隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 答案　 ξ 0 1 2 P 三、解答題 7．(09·安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)，B肯定是受A感染的．對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫出X的分布列(不要求寫出計(jì)算過程)． 解析　隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 P 8.(2020·北京東城區(qū))有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員，通過對(duì)他們過去成績(jī)的統(tǒng)計(jì)，在一場(chǎng)比賽中，甲對(duì)乙、丙、丁取勝的概率分別為0.6,0.8,0.9. (1)若四名運(yùn)動(dòng)員每?jī)扇酥g進(jìn)行一場(chǎng)比賽，求甲恰好勝兩場(chǎng)的概率； (2)若四名運(yùn)動(dòng)員每?jī)扇酥g進(jìn)行一場(chǎng)比賽，設(shè)甲獲勝場(chǎng)次為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Eξ. 解析　(1)記“甲勝乙”、“甲勝丙”、“甲勝丁”三個(gè)事件分別為A、B、C，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.8，P(C)＝0.9.則四名運(yùn)動(dòng)員每?jī)扇酥g進(jìn)行一場(chǎng)比賽，甲恰好勝兩場(chǎng)的概率為 P(A·B·＋A··C＋·B·C)＝P(A)·P(B)·[1－P(C)]＋P(A)·[1－P(B)]·P(C)＋[1－P(A)]·P(B)·P(C)＝0.6×0.8×0.1＋0.6×0.2×0.9＋0.4×0.8×0.9＝0.444. (2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝0.4×0.2×0.1＝0.008； P(ξ＝1)＝0.6×0.2×0.1＋0.4×0.8×0.1＋0.4×0.2×0.9＝0.116； 由(1)得P(ξ＝2)＝0.444； P(ξ＝3)＝0.6×0.8×0.9＝0.432. ∴隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.008 0.116 0.444 0.432 Eξ＝0×0.008＋1×0.116＋2×0.444＋3×0.432＝2.3 9．(09·天津)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (Ⅰ)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (Ⅱ)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率． 解析　(Ⅰ)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C103，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰好有k件一等品的結(jié)果數(shù)為C3kC73－k，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (Ⅱ)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而 P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 10．有5支不同標(biāo)價(jià)的圓珠筆，分別標(biāo)有10元、20元、30元、40元、50元．從中任取3支，若以ξ表示取到的圓珠筆中的最高標(biāo)價(jià)，試求ξ的分布列． 解析　ξ的可能取值為30,40,50. P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝40)＝＝， P(ξ＝50)＝＝，分布列為 ξ 30 40 50 P 11.某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì)，共邀請(qǐng)50名一線教師參加，使有不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示： 版本 人教A版 人教B版 蘇教版 北師大版 人數(shù) 20 15 5 10 (1)從這50名教師中隨機(jī)選出2名，求2人所使用版本相同的概率； (2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的教師發(fā)言，設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 解析　(1)從50名教師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為C502＝1225. 選出2人使用版本相同的方法數(shù)為 C202＋C152＋C52＋C102＝350. 故2人使用版本相同的概率為：P＝＝. (2)∵P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 12.(2020·海淀區(qū))某種家用電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器的無故障使用時(shí)間T(單位：年)有關(guān)．若T≤1，則銷售利潤(rùn)為0元；若1<T≤3，則銷售利潤(rùn)為100元；若T>3，則銷售利潤(rùn)為200元，設(shè)每臺(tái)該種電器的無故障使用時(shí)間T≤1,1<T≤3及T>3這三種情況發(fā)生的概率分別為p1、p2、p3，又知p1，p2是方程25x2－15x＋a＝0的兩個(gè)根，且p2＝p3. (1)求p1，p2，p3的值； (2)記ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，求ξ的分布列； (3)求銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和的平均值． 解析　(1)由已知得p1＋p2＋p3＝1. ∵p2＝p3，∴p1＋2p2＝1. ∵p1，p2是方程25x2－15x＋a＝0的兩個(gè)根， ∴p1＋p2＝. ∴p1＝，p2＝p3＝. (2)ξ的可能取值為0,100,200,300,400. p(ξ＝0)＝×＝， p(ξ＝100)＝2××＝， p(ξ＝200)＝2××＋×＝， p(ξ＝300)＝2××＝， p(ξ＝400)＝×＝. 隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 100 200 300 400 p (3)銷售利潤(rùn)總和的平均值為 Eξ＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＝240. ∴銷售兩臺(tái)這種家用電器的利潤(rùn)總和的平均值為240元． 13．(2020·滄州七校聯(lián)考)亞洲聯(lián)合館(一)與歐洲聯(lián)合館(一)分別位于上海世博展館的A片區(qū)與C片區(qū)：其中亞洲聯(lián)合館(一)包括馬爾代夫館、東帝汶館、吉爾吉斯斯坦館、孟加拉館、塔吉克斯坦館、蒙古館等6個(gè)展館；歐洲聯(lián)合館(一)包括馬耳他館、圣馬力諾館、列支敦士登館、塞浦路斯館等4個(gè)展館．某旅游團(tuán)擬從亞洲聯(lián)合館(一)與歐洲聯(lián)合館(一)中的10個(gè)展館中選擇4個(gè)展館參觀，參觀每一個(gè)展館的機(jī)會(huì)是相同的． (1)求選擇的4個(gè)展館中恰有孟加拉館與列支敦士登館的概率； (2)記X為選擇的4個(gè)展館中包含有亞洲聯(lián)合館(一)的展館的個(gè)數(shù)，寫出X的分布列并求X的數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)旅游團(tuán)從亞洲聯(lián)合館一與歐游聯(lián)合館一中的10個(gè)展館中選擇4個(gè)展館參觀的總結(jié)果數(shù)為C104＝210，記事件A為選擇的4個(gè)展館中恰有孟加拉館與列支敦士登館，依題意可知我們必須再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)展館中選擇2個(gè)展館，其方法數(shù)是C82＝28，所以P(A)＝＝. (2)根據(jù)題意可知X可能的取值為0,1,2,3,4. X＝0表示只參觀歐洲聯(lián)合館一中的4個(gè)展館，不參觀亞洲聯(lián)合館一中的展館，這時(shí)P(X＝0)＝＝， X＝1表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的3個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的1個(gè)展館，這時(shí)P(X＝1)＝＝， X＝2表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的2個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的2個(gè)展館，這時(shí)P(X＝2)＝＝， X＝3表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的1個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的3個(gè)展館，這時(shí)P(X＝3)＝＝， X＝4表示參觀亞洲聯(lián)合館中的4個(gè)展館，這時(shí)P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望為EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.