2.4.1 函數(shù)的零點(diǎn) 教案 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識目標(biāo)：理解函數(shù)零點(diǎn)的意義，能判斷二次函數(shù)零點(diǎn)的存在性，會求簡單函數(shù)的零點(diǎn)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 . 2、能力目標(biāo)：體驗(yàn)函數(shù)零點(diǎn)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想方法研究問題，提高數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力. 3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生初步體會事物間相互轉(zhuǎn)化以及特殊到一般的辨證思想. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 教學(xué)過程： 一．自主達(dá)標(biāo) 1．如果函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）在實(shí)數(shù)處的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，則ｘ叫做　　　　?。? ２．把一個函數(shù)的圖像與　　　　　叫做這個函數(shù)的零點(diǎn)． ３．二次函數(shù)ｙ＝ａ＋ｂｘ＋ｃ（ａ０），當(dāng) Δ＝－４ａｃ＞０時，二次函數(shù)有　　　個零點(diǎn)； Δ＝－４ａｃ＝０時，二次函數(shù)有　　　個零點(diǎn)； Δ＝－４ａｃ＜０時，二次函數(shù)有　　　個零點(diǎn)． ４．二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)： （１）二次函數(shù)的圖像是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時（不是二重零點(diǎn)）， 　　　　　　　　　　　?。? （２）在相鄰的兩個零點(diǎn)之間所有　　　　　　?。? 二。典例解析 例１．若函數(shù)ｆ（ｘ）＝＋ａｘ＋ｂ的兩個零點(diǎn)是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函數(shù)ｆ（ｘ）＝＋ａｘ＋ｂ的兩個零點(diǎn)是２和－４，也就是方程＋ａｘ＋ｂ＝０的兩個根是２和－４，由根與系數(shù)的關(guān)系可知得ａ＝２，ｂ＝－８． 評析：反常的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系以及反常的根與系數(shù)的關(guān)系是本體解決關(guān)鍵． 例２．求證：方程５－７ｘ－１＝０的一個根在（－１，０）上，另一個根在（１，２）上． 例2、證明：設(shè)ｆ（ｘ）＝５－７ｘ－１，則ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函數(shù)ｆ（ｘ）＝５－７ｘ－１是連續(xù)的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分別有零點(diǎn)． 即方程５－７ｘ－１＝０的根一個在（－１，０）上，另一個（１，２）在上． 評析：判斷函數(shù)是否在（ａ，ｂ）上存在零點(diǎn)，除驗(yàn)證ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０是否成立外，還需考察函數(shù)是否在（ａ，ｂ）上連續(xù)．若判斷根的個數(shù)問題，還須結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性． 例３：學(xué)校請了３０名木工，要制作２００把椅子和１００張桌子．已知制作一張桌子與制作一把椅子的工時數(shù)之比為１０：７，問３０名工人應(yīng)當(dāng)如何分組（一組制桌子，另一組制椅子），能使完成全部任務(wù)最快？ 例3、解：設(shè)名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一個工人在一個單位時間里可制７張桌子或１０把椅子，所以 制作１００張桌子所需時間為函數(shù)ｐ（ｘ）＝，制作２００把椅子所需時間為函數(shù)ｑ（ｘ）＝，完成全部任務(wù)所需時間為ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． ＝，解得ｘ＝１２．５，考慮到人數(shù)，考察ｐ（１２）與ｑ（１３），ｐ（１２）＝１．１９，ｑ（１３）＝１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任務(wù)最快． 評析：對于本題要用變化的觀點(diǎn)分析和探求具體問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后將這些內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學(xué)知識聯(lián)想建立函數(shù)關(guān)系式或列出方程，利用函數(shù)性質(zhì)或方程觀點(diǎn)來解，則可使應(yīng)用問題化生為熟，盡快得到解決． 三、達(dá)標(biāo)練習(xí)： １．已知函數(shù)ｆ（ｘ）在區(qū)間（ａ，ｂ）上單調(diào)且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，則函數(shù)ｆ（ｘ）在區(qū)間（ａ，ｂ）上（　?。? Ａ．至少有一個零點(diǎn)　Ｂ．至多有一個零點(diǎn)?。茫疀]有零點(diǎn)　Ｄ．必有唯一零點(diǎn) ２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函數(shù)ｆ（ｘ）的兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ａ，ｂ，α，β的大小關(guān)系可能是（　?。? Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β?。拢幔鸡粒鸡拢迹狻。茫。迹幔迹猓鸡隆? Ｄ．ａ＜ａ＜β＜ｂ ３．函數(shù)ｆ（ｘ）＝，則函數(shù)ｆ（ｘ）－０．２５的零點(diǎn) 　　　　　　　　?。? ４．如果函數(shù)f（x）=+ｍx＋（ｍ＋３）至多有一個零點(diǎn)，則ｍ的取值范圍　　　　　　　?。? ５．對于函數(shù)ｆ（ｘ）；若存在Ｒ，使ｆ（）＝成立，則稱為ｆ（ｘ）的不動點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=a+（b＋１）x＋（ｂ－１）（ａ０）． （１）當(dāng)ａ＝１，ｂ＝－２時，求函數(shù)ｆ（ｘ）的不動點(diǎn)； （２）若對任意實(shí)數(shù)ｂ，函數(shù)ｆ（ｘ）恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求ａ的取值范圍． 參考答案： １．Ｄ?。玻谩。常。矗? ５．（１）當(dāng)ａ＝１，ｂ＝－２時，ｆ（ｘ）＝－ｘ－３，由題意可知ｘ＝－ｘ－３ 解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故當(dāng)ａ＝１，ｂ＝－２時ｆ（ｘ）的兩個相異的不動點(diǎn)為－１，３． ?。ǎ玻ゝ（x）=a+（b＋１）x＋（ｂ－１）恒有兩個相異的不動點(diǎn)． ｘ＝a+（b＋１）x＋（ｂ－１），即ａ＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有兩個相異的實(shí)數(shù)根，得Δ＝恒成立，即恒成立，于是＝，解得０＜ａ＜１．故當(dāng)，ｆ（ｘ）恒有兩個相異的不動點(diǎn)時，ａ取值范圍為０＜ａ＜１．