函數(shù)的奇偶性 一、知識梳理：（閱讀教材必修1第33頁—第36頁） 1、 函數(shù)的奇偶性定義： 2、 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟 （1） 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱； （2） 確定與的關(guān)系； （3） 作出相應(yīng)結(jié)論 3、 奇偶函數(shù)的性質(zhì)： （1）定義域關(guān)于原點對稱； （2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； （3）為偶函數(shù) （4）若奇函數(shù)的定義域包含0，則 （5）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； （6）牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性； （7）判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式： 4、一些重要類型的奇偶函數(shù) （1）、f(x)= (a>0,a) 為偶函數(shù); f(x)= (a>0,a) 為奇函數(shù); （2）、f(x)= （3）、f(x)= （4）、f(x)=x+ （5）、f(x)=g(|x|)為偶函數(shù); 二、題型探究 [探究一]：判斷函數(shù)的奇偶性 例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性 1. 【15年北京文科】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)，C選項定義域為不具有奇偶性，D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B. 考點：函數(shù)的奇偶性. 2. 【15年廣東文科】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】 試題分析：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)．故選A． 考點：函數(shù)的奇偶性． 3. 【15年福建文科】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：函數(shù)和是非奇非偶函數(shù)； 是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D． 考點：函數(shù)的奇偶性． [探究二]：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性解題 例3、【2020高考湖南卷改編】 已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則( ) A. B. C. 1 D. 3 例4：已知函數(shù)f(x)=- - 若f(a)=b ,則f(-a) = 三、方法提升 1、 判斷函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴(yán)格按照奇偶性的定義經(jīng)過化、整理、將f(x)與f-(x)比較，得出結(jié)論。 2、 利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題，轉(zhuǎn)化到研究部分（一半）區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑。 3、 函數(shù)的奇偶性常與函數(shù)的其它性質(zhì)及不等式結(jié)合 出題，運用函數(shù)的奇偶性就是運用函數(shù)的對稱性。 4、 要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)特征，圖像特征，運用數(shù)形結(jié)合，定向轉(zhuǎn)化，分類討論思想，整體代換的手段，從而簡化解決問題的程序，既快又準(zhǔn)。 四、反思感悟 五、課時作業(yè) 1．【2020全國1高考改編】設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．是偶函數(shù) 　　　 B． 是奇函數(shù) C.． 是奇函數(shù) D．是奇函數(shù) 2．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解析：當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8， 又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8， ∴f(x)＝.∴f(x－2)＝， 或，解得x>4或x<0.故選B. 答案：B 3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對于任意α，β∈R，總有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2020，則下列說法正確的是(　　) A．f(x)－1是奇函數(shù) B．f(x)＋1是奇函數(shù) C．f(x)－2020是奇函數(shù) D．f(x)＋2020是奇函數(shù) 解析：依題意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2020；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2020，f(－x)＋2020＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2020]，因此函數(shù)f(x)＋2020是奇函數(shù)，選D. 答案：D 4、設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________． 解析：設(shè)g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(0)＝0，解得a＝－1. 答案：－1 5．已知函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x－1)是偶函數(shù)，且f(0)＝2，則f(4)＝________. 解析：依題意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2. 答案：－2 6．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為________ ①若f(x)是奇函數(shù)，則f(x－1)的圖象關(guān)于點A(1,0)對稱； ②若對x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱； ③若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則f(x)為偶函數(shù)； ④函數(shù)y＝f(1＋x)與函數(shù)y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 解析：f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，又f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x－1)的圖象關(guān)于點A(1,0)對稱，故①正確； 由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期為2，無法判斷其對稱軸，故②錯誤； f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則f(x)關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)，③正確； y＝f(1＋x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向左平移一個單位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱后再向右平移一個單位而得到，兩者圖象關(guān)于y軸對稱，故④錯誤． 答案：①③ 7．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a、b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函數(shù)定義求得a；(2)先分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號f，然后用判別式解決恒成立問題． 解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 即＝0?b＝1，所以f(x)＝， 又由f(1)＝－f(－1)知＝－?a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)． 又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式： f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t2－2t>k－2t2， 即對t∈R有：3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0?k<－. 8．【2020師大附中精典題庫】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意的實數(shù)x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，求證：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 證明：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)． (2)設(shè)x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，則x2－x1＞0， ∵當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵對于任意的實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)為奇函數(shù)，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．