第12講　函數(shù)模型及其應用 1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較 　　　　函數(shù) 性質(zhì)　　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增減性 單調(diào) 　　　  單調(diào) 　　　  單調(diào) 　　　  增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 2.常見的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) 反比例函數(shù)模型 f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 對數(shù)函數(shù)模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 冪函數(shù)模型 f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0) 常用結(jié)論 1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ab,+∞)上單調(diào)遞增. 2.直線上升、對數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸. 題組一　常識題 1.[教材改編] 函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長速度的大小關(guān)系是　　　　.(填關(guān)于y1,y2,y3的關(guān)系式)  圖2-12-1 2.[教材改編] 在如圖2-12-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是　　　　.  3.[教材改編] 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S表示為x的函數(shù)是　　　　　　.  4.[教材改編] 已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是　　　　.  題組二　常錯題 ◆索引:審題不清致錯;忽視限制條件;忽視實際問題中實際量的單位、含義、范圍等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位. 5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是　　　　　.  6.某物體一天中的溫度T是關(guān)于時間t的函數(shù),且T=t3-3t+60,時間單位是小時,溫度單位是℃,當t=0時表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時該物體的溫度是　　　　.  7.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)關(guān)于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000·ln1+Mm.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的　　　　倍時,火箭的最大速度可達12千米/秒.  8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地,在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù)表達式是　　　　　　.  探究點一　一次、二次函數(shù)模型 例1 某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓,其中培訓機構(gòu)費用成本為12 000元.公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓的員工人數(shù)不超過30人,則每人的培訓費用為850元;若公司參加培訓的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多一人,培訓費減少10元,但參加培訓的員工人數(shù)最多為70.已知該公司最多有60位員工可參加培訓,設參加培訓的員工人數(shù)為x,每位員工的培訓費為y元,培訓機構(gòu)的利潤為Q元. (1)寫出y與x(x>0,x∈N*)之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)當公司參加培訓的員工有多少人時,培訓機構(gòu)可獲得最大利潤?并求出最大利潤.             [總結(jié)反思] 在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時,一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應用問題時,最后還要還原到實際問題中. 變式題 整改校園內(nèi)一塊長為15 m,寬為11 m的長方形草地(如圖2-12-2),將長減少1 m,寬增加1 m,問草地面積是增加了還是減少了?假設長減少x m,寬增加x m(x>0),試研究以下問題: x取什么值時,草地面積減少?x取什么值時,草地面積增加? 圖2-12-2         探究點二　指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 例2 大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為x,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3x100(x≥100)成正比,且當x=300時,v=12. (1)求出v關(guān)于x的函數(shù)解析式. (2)計算一條鮭魚的游速是32 m/s時耗氧量的單位數(shù). (3)當鮭魚的游速增加1 m/s時,其耗氧量是原來的幾倍?     [總結(jié)反思] 與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題,在求解時,要先學會合理選擇模型.(1)在兩類函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型.(2)在解決這兩類函數(shù)模型時,一般先要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖像求解最值問題. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 變式題 將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設過5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再過m min后甲桶中的水只有a4 L,則m的值為 (　　) A.5 B.8 C.9 D.10 探究點三　分段函數(shù)模型 例3 某群體的人均通勤時間是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時,某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當S中x%(0<x<100)的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間(單位:分鐘)為f(x)=30,0<x≤30,2x+1800x-90,30<x<100,而公交群體的人均通勤時間不受x影響,恒為40分鐘.試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題: (1)當x在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間? (2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式,討論g(x)的單調(diào)性,并說明其實際意義.       [總結(jié)反思] (1)某些實際問題中的變量關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成,所以應建立分段函數(shù)模型;(2)構(gòu)建分段函數(shù)時,要力求準確、簡捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值). 變式題 某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系式:w=12x2+1(0≤x≤2),4-31+x(2<x≤5).此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元). (1)求L(x)的函數(shù)表達式. (2)當投入的肥料費用為多少時,該棵水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?         第12講　函數(shù)模型及其應用 考試說明 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.遞增　遞增　遞增 對點演練 1.y3>y1>y2　[解析] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關(guān)系可得. 2.[10,30]　[解析] 設矩形的另一邊長為y m,由相似三角形的性質(zhì)可得x40=40-y40(0<x<40),解得y=40-x(0<x<40), ∴矩形的面積S=x(40-x). ∵矩形花園的面積不小于300 m2,∴x(40-x)≥300,即(x-10)(x-30)≤0, 解得10≤x≤30,滿足0<x<40, 故其邊長x(單位:m)的取值范圍是[10,30]. 3.S=800x+x8　[解析] 由題意知,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是800x元,倉儲費用是x8×1元,所以每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S=800x+x8. 4.12,+∞　[解析] 物體的溫度總不低于2攝氏度,即Q≥2恒成立, 即m·2t+22t≥2恒成立,即m≥212t-122t恒成立. 令12t=x,則0<x≤1,m≥2(x-x2), 由于當0<x≤1時,x-x2≤14,所以m≥12. 因此,當物體的溫度總不低于2攝氏度時,m的取值范圍是12,+∞. 5.[0,26]　[解析] 令h≥0,解得0≤t≤26,故所求定義域為[0,26]. 6.8 ℃　[解析] 由題意知,上午8時即t=-4,因此所求溫度T=(-4) 3-3×(-4)+60=8(℃). 7.e6-1　[解析] 由題意可得12 000=2000ln1+Mm,則ln1+Mm=6,解得1+Mm=e6,所以Mm=e6-1,故填e6-1. 8.S=60t(0≤t≤2.5),150(2.5<t≤3.5),325-50t(3.5<t≤6.5)　[解析] 當0≤t≤2.5時,S=60t;當2.5<t≤3.5時,S=150;當3.5<t≤6.5時,S=150-50(t-3.5)=325-50t. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)根據(jù)題意,分0<x≤30(x∈N*)和30<x≤60(x∈N*)兩種情況考慮;(2)利潤是用每人的培訓費用乘培訓人數(shù)再減去成本,根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最大值,然后比較即可. 解:(1)依題意得,當0<x≤30時,y=850; 當30<x≤60時,y=850-10(x-30)=-10x+1150. ∴y=850,0<x≤30,x∈N*,-10x+1150,30<x≤60,x∈N*. (2)當0<x≤30,x∈N*時,Q=850x-12 000, 當x=30時,Q取得最大值,即Qmax=13 500. 當30<x≤60,x∈N*時, Q=(-10x+1150)x-12 000=-10x2+1150x-12 000 =-10x-11522+42 1252, 當x=57或58時,Q取得最大值,即Qmax=21 060. ∵21 060>13 500, ∴當公司參加培訓的員工人數(shù)為57或58時,培訓機構(gòu)可獲得最大利潤21 060元. 變式題　解:原草地面積S1=11×15=165(m2), 整改后草地面積為S=14×12=168(m2), ∵S>S1,∴整改后草地面積增加了. 研究:長減少x m,寬增加x m后,草地面積為 S2=(11+x)(15-x). ∵S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x, ∴當0<x<4時,x2-4x<0,即S1<S2; 當x=4時,x2-4x=0,即S1=S2; 當x>4時,x2-4x>0,即S1>S2. 綜上所述,當0<x<4時,草地面積增加; 當x=4時,草地面積不變; 當x>4時,草地面積減少. 例2　[思路點撥] (1)用待定系數(shù)法求解;(2)將v=32代入解析式,解方程求x即可;(3)設原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,分別代入解析式后,兩式消去v0,整理可得. 解:(1)設v=klog3x100(k≠0), 當x=300時,v=12,解得k=12, ∴v關(guān)于x的函數(shù)解析式為v=12log3x100(x≥100). (2)當游速為32 m/s時,由解析式得32=12log3x100, ∴l(xiāng)og3x100=3,∴x100=27,解得x=2700, 即耗氧量的單位數(shù)為2700. (3)設原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x, 則v0=12log3x0100,① v0+1=12log3x100,② ②-①得1=12log3x100-12log3x0100=12log3xx0, ∴l(xiāng)og3xx0=2,∴xx0=32=9,∴耗氧量是原來的9倍. 變式題　A　[解析] ∵5 min后甲桶和乙桶中的水量相等, ∴函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a, 可得n=15ln12. 設k min后甲桶中的水只有a4 L, 則f(k)=14a,即15ln12·k=ln14, 即15ln12·k=2ln12,解得k=10, 故m=10-5=5.故選A. 例3　[思路點撥] (1)求出f(x)>40時x的取值范圍即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判斷g(x)的單調(diào)性,再說明其實際意義. 解:(1)由題意知,當30<x<100時, 由f(x)=2x+1800x-90>40, 即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45, ∴當x∈(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間. (2)當0<x≤30時, g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-x10; 當30<x<100時, g(x)=2x+1800x-90·x%+40(1-x%)=x250-1310x+58. ∴g(x)=40-x10(0<x≤30),x250-1310x+58(30<x<100). 當0<x<32.5時,g(x)單調(diào)遞減; 當32.5<x<100時,g(x)單調(diào)遞增. 說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞減的;有大于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞增的;當自駕人數(shù)為32.5%時,人均通勤時間最少. 變式題　解:(1)L(x)=16w-2x-x=8x2+16-3x(0≤x≤2),64-481+x-3x(2<x≤5). (2)當0≤x≤2時,L(x)max=L(2)=42; 當2<x≤5時,L(x)=67-48x+1+3(x+1)≤67-248x+1×3(x+1)=43, 當且僅當48x+1=3(x+1),即x=3時等號成立.由于42<43,所以當投入的肥料費用為300元時,該棵水果樹獲得的利潤最大,最大利潤為4300元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1為一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題,需要分情況討論求最值;例2是一道指數(shù)函數(shù)模型應用問題,需要兩邊取對數(shù)求解;例3為分段函數(shù)模型,需要對函數(shù)求導得最值,運算量較大. 例1　[配合例1使用] 旅行社為某旅游團包飛機去旅游,其中旅行社的包機費為15 000元.旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團人數(shù)不多于30,則飛機票每張收費900元;若旅游團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票費每張減少10元,但旅游團人數(shù)最多為75. (1)寫出飛機票的價格關(guān)于旅游團人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式. (2)旅游團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤? 解:(1)設旅游團人數(shù)為x,飛機票價格為y元,依題意知,當1≤x≤30,且x∈N*時,y=900;當30<x≤75,且x∈N*時,y=900-10(x-30)=-10x+1200. 所以所求函數(shù)關(guān)系式為 y=900,1≤x≤30,x∈N*,-10x+1200,30<x≤75,x∈N*. (2)設利潤為f(x)元,則由(1)知 f(x)=y·x-15 000 =900x-15 000,1≤x≤30,x∈N*,-10x2+1200x-15 000,30<x≤75,x∈N*. 當1≤x≤30,且x∈N*時,f(x)max=f(30)=12 000; 當30<x≤75,且x∈N*時,f(x)max=f(60)=21 000.因為21 000>12 000, 所以旅游團人數(shù)為60時,旅行社可獲得最大利潤. 例2　[配合例2使用] 衣柜里的樟腦丸隨著時間推移會揮發(fā),從而體積變小,若它的體積V隨時間t的變化規(guī)律是V=V0e110t(e為自然對數(shù)的底數(shù)),其中V0為初始值.若V=V03,則t的值約為　　　　.(運算結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.477 1,lg e≈0.434 3)  [答案] 11 [解析] 由題知V0e110t=V03,即e110t=13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10×lg3lg e≈10×0.477 10.434 3≈11. 例3　[配合例3使用] 某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當每臺電子產(chǎn)品的利潤為x(單位:元,x>0)時,銷售量q(x)(單位:百臺)與x之間的關(guān)系滿足:若x不超過25,則q(x)=2400x+11;若x大于或等于225,則銷售量為零;當25≤x≤225時,q(x)=a-bx(a,b為實常數(shù)). (1)求函數(shù)q(x)的表達式. (2)當x為多少時,總利潤(單位:元)最大?并求出該最大值. 解:(1)當25≤x≤225時,由a-b·25=400,a-b·225=0,得a=600,b=40. 故q(x)=2400x+11,0<x≤25,600-40x,25<x≤225,0,x>225. (2)設總利潤為f(x),則f(x)=100q(x)·x, 由(1)得f(x)=240 000xx+11,0<x≤25,60 000x-4000xx,25<x≤225,0,x>225. 當0<x≤25時,f(x)=240 000xx+11=240 000x+11-11x+11,f(x)在(0,25]上單調(diào)遞增, 所以當x=25時,f(x)有最大值1 000 000. 當25<x≤225時,f(x)=60 000x-4000xx,f'(x)=60 000-6000x, 令f'(x)=0,得x=100, 當25<x<100時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, 當100<x≤225時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減, 所以當x=100時,f(x)有最大值2 000 000. 當x>225時,f(x)=0. 故當x為100時,總利潤最大,為2 000 000元. 11