習(xí)題五 5-1 振動和波動有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動曲線和波形曲線有什么不同? 解: (1)振動是指一個孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運動，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程，此時介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置，又是時間的函數(shù)，即． (2)在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間，它描述的是介質(zhì)中一個質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個獨立變量，即坐標(biāo)位置和時間，它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時間變化的規(guī)律． 當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)不斷地振動又是產(chǎn)生波動的必要條件之一． (3)振動曲線描述的是一個質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．每一幅圖只能給出某一時刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖． 5-2 波動方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos ()，又是什么意思?如果和均增加，但相應(yīng)的［()+］的值不變，由此能從波動方程說明什么? 解: 波動方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元的振動落后于原點的時間；則表示處質(zhì)元比原點落后的振動位相；設(shè)時刻的波動方程為 則時刻的波動方程為 其表示在時刻，位置處的振動狀態(tài)，經(jīng)過后傳播到處．所以在中，當(dāng)，均增加時，的值不會變化，而這正好說明了經(jīng)過時間，波形即向前傳播了的距離，說明描述的是一列行進中的波，故謂之行波方程． 5-3 波在介質(zhì)中傳播時，為什么介質(zhì)元的動能和勢能具有相同的位相，而彈簧振子的動能和勢能卻沒有這樣的特點? 解: 我們在討論波動能量時，實際上討論的是介質(zhì)中某個小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動動能當(dāng)然是指質(zhì)元振動動能，其與振動速度平方成正比，波動勢能則是指介質(zhì)的形變勢能．形變勢能由介質(zhì)的相對形變量(即應(yīng)變量)決定．如果取波動方程為，則相對形變量(即應(yīng)變量)為.波動勢能則是與的平方成正比．由波動曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動動能有極小(此處振動速度為零)，而在該處的應(yīng)變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動勢能也為極小；在平衡位置處波動動能為極大(該處振動速度的極大)，而在該處的應(yīng)變也是最大(該處是曲線的拐點)，當(dāng)然波動勢能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動動能與波動勢能是同步變化的，即具有相同的量值． 題5-3圖 對于一個孤立的諧振動系統(tǒng)，是一個孤立的保守系統(tǒng)，機械能守恒，即振子的動能與勢能之和保持為一個常數(shù)，而動能與勢能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動能和勢能不可能同步變化． 5-4 波動方程中，坐標(biāo)軸原點是否一定要選在波源處? =0時刻是否一定是波源開始振動的時刻? 波動方程寫成=cos()時，波源一定在坐標(biāo)原點處嗎?在什么前提下波動方程才能寫成這種形式? 解: 由于坐標(biāo)原點和開始計時時刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動方程中，坐標(biāo)原點不一定要選在波源處，同樣，的時刻也不一定是波源開始振動的時刻；當(dāng)波動方程寫成時，坐標(biāo)原點也不一定是選在波源所在處的．因為在此處對于波源的含義已做了拓展，即在寫波動方程時，我們可以把介質(zhì)中某一已知點的振動視為波源，只要把振動方程為已知的點選為坐標(biāo)原點，即可得題示的波動方程． 5-5 在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上，描述各質(zhì)點振動的什么物理量不同，什么物理量相同? 解: 取駐波方程為，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上，描述各質(zhì)點的振幅是不相同的，各質(zhì)點的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長上，各質(zhì)點的振動位相則是相同的，即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段，同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點都有相同的振動位相，而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點振動位相則相反． 5-6 波源向著觀察者運動和觀察者向波源運動都會產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng)，這兩種情況有何區(qū)別? 解: 波源向著觀察者運動時，波面將被擠壓，波在介質(zhì)中的波長，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完整數(shù)目()會增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運動時，波面形狀不變，但觀察者測到的波速增大，即，因而單位時間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會增多，即接收頻率也將增高．簡單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長)使頻率增高，后者則是觀察者的運動使得單位時間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率． 題5-6 圖多普勒效應(yīng) 5-7 一平面簡諧波沿軸負向傳播，波長=1.0 m，原點處質(zhì)點的振動頻率為=2. 0 Hz，振幅＝0.1m，且在=0時恰好通過平衡位置向軸負向運動，求此平面波的波動方程． 解: 由題知時原點處質(zhì)點的振動狀態(tài)為，故知原點的振動初相為,取波動方程為則有 5-8 已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長； (2)寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程； (3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差． 解: (1)已知平面簡諧波的波動方程 () 將上式與波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 比較，可知： 波振幅為，頻率， 波長，波速， 波動周期． (2)將代入波動方程即可得到該點的振動方程 (3)因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為 將，及代入上式，即得 ． 5-9 沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=0.05cos(10)，式中,以米計，以秒計．求： (1)波的波速、頻率和波長； (2)繩子上各質(zhì)點振動時的最大速度和最大加速度； (3)求=0.2m處質(zhì)點在=1s時的位相，它是原點在哪一時刻的位相?這一位相所代表的運動狀態(tài)在=1.25s時刻到達哪一點? 解: (1)將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式 相比，得振幅，頻率，波長，波速． (2)繩上各點的最大振速，最大加速度分別為 (3)m處的振動比原點落后的時間為 故,時的位相就是原點()，在時的位相， 即 π． 設(shè)這一位相所代表的運動狀態(tài)在s時刻到達點，則 5-10 如題5-10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時刻的波形曲線．(1)若波沿軸正向傳播，該時刻，，，各點的振動位相是多少?(2)若波沿軸負向傳播，上述各點的振動 位相又是多少? 解: (1)波沿軸正向傳播，則在時刻，有 題5-10圖 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ (取負值：表示點位相，應(yīng)落后于點的位相) (2)波沿軸負向傳播，則在時刻，有 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ 對于點：∵，∴ (此處取正值表示點位相超前于點的位相) 5-11 一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5ms-1，波長為2m，原點處質(zhì)點的振動曲線如題5-11圖所示． (1)寫出波動方程； (2)作出=0時的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點的振動曲線． 解: (1)由題5-11(a)圖知，m，且時，，∴， 又，則 題5-11圖(a) 取 ， 則波動方程為 (2) 時的波形如題5-11(b)圖 題5-11圖(b) 題5-11圖(c) 將m代入波動方程，得該點處的振動方程為 如題5-11(c)圖所示． 5-12 如題5-12圖所示，已知=0時和=0.5s時的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b) ，波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求： (1)波動方程； (2)點的振動方程． 解: (1)由題5-12圖可知，，，又，時，，∴，而，，∴ 故波動方程為 (2)將代入上式，即得點振動方程為 題5-12圖 5-13 一列機械波沿軸正向傳播，=0時的波形如題5-13圖所示，已知波速為10 ms -1，波長為2m，求： (1)波動方程； (2) 點的振動方程及振動曲線； (3) 點的坐標(biāo)； (4) 點回到平衡位置所需的最短時間． 解: 由題5-13圖可知，時，，∴，由題知， ，則 ∴ (1)波動方程為 題5-13圖 (2)由圖知，時，，∴(點的位相應(yīng)落后于點，故取負值) ∴點振動方程為 (3)∵ ∴解得 (4)根據(jù)(2)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題5-13圖(a)，則由點回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角 題5-13圖(a) ∴所屬最短時間為 5-14 如題5-14圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點的振動方程為=cos()． (1)分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動方程； (2)寫出距點距離為的點的振動方程． 解: (1)如題5-14圖(a)，則波動方程為 如圖(b)，則波動方程為 題5-14圖 (2) 如題5-14圖(a)，則點的振動方程為 如題5-14圖(b)，則點的振動方程為 5-15 已知平面簡諧波的波動方程為(SI)． (1)寫出=4.2 s時各波峰位置的坐標(biāo)式，并求此時離原點最近一個波峰的位置，該波峰何時通過原點? (2)畫出=4.2 s時的波形曲線． 解:(1)波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足 解得 (…) 所以離原點最近的波峰位置為． ∵ 故知, ∴ ，這就是說該波峰在前通過原點，那么從計時時刻算起，則應(yīng)是，即該波峰是在時通過原點的． 題5-15圖 (2)∵，∴，又處，時， 又，當(dāng)時，，則應(yīng)有 解得 ，故時的波形圖如題5-15圖所示 5-16 題5-16圖中(a)表示=0時刻的波形圖，(b)表示原點(=0)處質(zhì)元的振動曲線，試求此波的波動方程，并畫出=2m處質(zhì)元的振動曲線． 解: 由題5-16(b)圖所示振動曲線可知,，且時，， 故知,再結(jié)合題5-16(a)圖所示波動曲線可知，該列波沿軸負向傳播， 且，若取 題5-16圖 則波動方程為 5-17 一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強度為18.010-3Jm-2s-1，頻率為300 Hz，波速為300ms-1，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)兩個相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量? 解: (1)∵ ∴ (2) 5-18 如題5-18圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求： (1) 外側(cè)各點的合振幅和強度； (2) 外側(cè)各點的合振幅和強度 解：（1）在外側(cè)，距離為的點，傳到該點引起的位相差為 （2）在外側(cè).距離為的點，傳到該點引起的位相差. 5-19 如題5-19圖所示，設(shè)點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為;點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為，本題中以m計，以s計．設(shè)＝0.4m，＝0.5 m，波速=0.2ms-1，求： (1)兩波傳到P點時的位相差； (2)當(dāng)這兩列波的振動方向相同時，處合振動的振幅； *(3)當(dāng)這兩列波的振動方向互相垂直時，處合振動的振幅． 解: (1) 題5-19圖 (2)點是相長干涉，且振動方向相同，所以 (3)若兩振動方向垂直，又兩分振動位相差為，這時合振動軌跡是通過Ⅱ，Ⅳ象限的直線，所以合振幅為 5-20 一平面簡諧波沿軸正向傳播，如題5-20圖所示．已知振幅為，頻率為波速為． (1)若=0時，原點處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運動，寫出此波的波動方程； (2)若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動方程，并求軸上 因入射波與反射波干涉而靜止的各點的位置． 解: (1)∵時，，∴故波動方程為 m 題5-20圖 (2)入射波傳到反射面時的振動位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為 若仍以點為原點，則反射波在點處的位相為 ，因只考慮以內(nèi)的位相角，∴反射波在點的位相為，故反射波的波動方程為 此時駐波方程為 故波節(jié)位置為 故 (…) 根據(jù)題意，只能取，即 5-20 一駐波方程為=0.02cos20cos750(SI)，求： (1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速； (2)相鄰兩波節(jié)間距離． 解: (1)取駐波方程為 故知 ，則， ∴ (2)∵所以相鄰兩波節(jié)間距離 5-22 在弦上傳播的橫波，它的波動方程為=0.1cos(13+0.0079) (SI) 試寫出一個波動方程，使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波，并在=0處為波 節(jié)． 解: 為使合成駐波在處形成波節(jié)，則要反射波在處與入射波有的位相差，故反射波的波動方程為 5-23 兩列波在一根很長的細繩上傳播，它們的波動方程分別為 =0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)． (1)試證明繩子將作駐波式振動，并求波節(jié)、波腹的位置； (2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大? 解: (1)它們的合成波為 出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動． 令，則，k=0,1，2…此即波腹的位置； 令,則，…，此即波節(jié)的位置． (2)波腹處振幅最大，即為m；處的振幅由下式?jīng)Q定，即 5-24 汽車駛過車站時，車站上的觀測者測得汽笛聲頻率由1200Hz變到了1000 Hz，設(shè)空氣中聲速為330ms-1，求汽車的速率． 解: 設(shè)汽車的速度為，汽車在駛近車站時，車站收到的頻率為 汽車駛離車站時，車站收到的頻率為 聯(lián)立以上兩式，得 5-25 兩列火車分別以72kmh-1和54 kmh-1的速度相向而行，第一列火車發(fā)出一個600 Hz的汽笛聲，若聲速為340 ms-1，求第二列火車上的觀測者聽見該聲音的頻率在相遇前和相遇后分別是多少? 解: 設(shè)鳴笛火車的車速為，接收鳴笛的火車車速為，則兩者相遇前收到的頻率為 兩車相遇之后收到的頻率為