第9講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【課程要求】 1．了解指數(shù)冪的含義、掌握冪的運(yùn)算． 2．理解指數(shù)函數(shù)的概念、理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與其圖象特征并能靈活應(yīng)用． 3．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 對應(yīng)學(xué)生用書p23 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉?#215;”) (1)＝()n＝a(n∈N*)．(　　) (2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為個(gè)a相乘．(　　) (3)函數(shù)y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數(shù)函數(shù)．(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(　　) (5)函數(shù)y＝2－x在R上為單調(diào)減函數(shù)．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．[必修1p59A組T4]化簡(x＜0，y＜0)＝________． [答案]－2x2y 3．[必修1p59A組T7]已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是____________． [解析]∵y＝是減函數(shù)， ∴>>， 即a>b>1， 又c＝<＝1， ∴c<b<a. [答案]c<b<a 4．已知函數(shù)f(x)＝ax－1＋4的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0) [解析]函數(shù)f(x)＝ax－1＋4的圖象恒過定點(diǎn)P.即這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不隨a的改變而改變，只需要讓a不起作用即可，令x－1＝0?x＝1，此時(shí)y＝5，故圖象恒過(1，5)． [答案]A 5．計(jì)算：×＋8×－＝____________． [解析]原式＝×1＋2×2－＝2. [答案]2 6．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，則a的值為____________． [解析]當(dāng)0<a<1時(shí)，a－a2＝， ∴a＝或a＝0(舍去)． 當(dāng)a>1時(shí)，a2－a＝， ∴a＝或a＝0(舍去)． 綜上所述，a＝或. [答案]或 【知識要點(diǎn)】 1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在條件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于__0__；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪__沒有意義__． (2)根式的性質(zhì)： ①a的n(n>1，n∈N*)次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有一個(gè)n次方根為____；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a>0，有兩個(gè)互為相反數(shù)的n次方根為__±__，若a＝0，其n次方根為__0__，若a<0，則無實(shí)數(shù)根． ②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝__a__； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝____． (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝__ar＋s__，(ar)s＝__ars__，(ab)r＝__arbr__，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì) y＝ax a>1 0<a<1 圖象 定義域 (1)R 值域 (2)__(0，＋∞)__ 性質(zhì) (3)過定點(diǎn)__(0，1)__ (4)當(dāng)x>0時(shí)，__y>1__；當(dāng)x<0時(shí)，__0<y<1__ (5)當(dāng)x>0時(shí)，__0<y<1__；當(dāng)x<0時(shí)，__y>1__ (6)在(－∞，＋∞)上是__增函數(shù)__ (7)在(－∞，＋∞)上是__減函數(shù)__ 3．基本結(jié)論 (1)指數(shù)函數(shù)圖象的畫法 畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，. (2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大． (3)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來研究． 對應(yīng)學(xué)生用書p24 指數(shù)冪的運(yùn)算 例1　求值與化簡： (1)÷； (2)(1.5)－2＋(－9.6)0－＋＋. [解析] (1)原式＝ab＝4a； (2)原式＝＋1－＋4－π＋π－2＝＋1－＋2＝3. [小結(jié)]指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則： (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算． (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)． 1．(多選)若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2)－2＝4B．2a－3＝ C．(－2)0＝1D.＝ [解析]對于A，(－2)－2＝，故A錯(cuò)誤；對于B，2a－3＝，故B錯(cuò)誤；對于C，(－2)0＝1，故C正確；對于D，＝，故D正確． [答案]CD 2．化簡：＝__________． [解析]原式＝＝a－－－·b＋－＝. [答案] 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2　(1)若函數(shù)y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0，1) D．無法確定 [解析]因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1)，故選C. [答案]C (2)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)y＝x2與y＝ax(a>0)的圖象有交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A.B. C.D. [解析]當(dāng)a>1時(shí)，如圖①所示，使得兩個(gè)函數(shù)圖象在[1，2]上有交點(diǎn)，需滿足·22≥a2，即1<a≤； 當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖②所示，需滿足·12≤a1，即≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，y＝x2與y＝1在[1，2]上有交點(diǎn)(，1)，滿足條件．綜上可知，a∈. [答案]B (3)(多選)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　) A．b<0 B．a(chǎn)<0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 [解析]作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象如圖中實(shí)線所示， ∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)， 結(jié)合圖象知0<f(a)<1，a<0，0<c<1， ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a， 且1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1， 又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2. [答案]BD [小結(jié)](1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除． (2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論． (3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解． (4)判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較． 3．函數(shù)f(x)＝2|x－1|的圖象是(　　) [解析]由題意知f(x)＝結(jié)合圖象知選B. [答案]B 4．如圖，過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y＝2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過B作y軸的垂線交函數(shù)y＝4x的圖象于點(diǎn)C，若AC平行于y軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________． [解析]設(shè)A(n，2n)，B(m，2m)，則C，因?yàn)锳C平行于y軸，所以n＝，所以A，B(m，2m)，又因?yàn)锳，B，O三點(diǎn)共線，所以kOA＝kOB，所以＝，即n＝m－1，又由n＝，解得n＝1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)． [答案] (1，2) 5．若函數(shù)f(x)＝2|x＋a|(a∈R)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在區(qū)間[m，n]上的最大值記為f(x)max，最小值記為f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，則n－m的取值范圍是__________． [解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2|x＋a|(a∈R)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以a＝－1，所以f(x)＝2|x－1|. 作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示． 當(dāng)m＜n≤1或1≤m＜n時(shí)，離對稱軸越遠(yuǎn)，n－m差越小，由y＝2x－1與y＝21－x的性質(zhì)知極限值為0.當(dāng)m＜1＜n時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，n]上的最大值與最小值的差為f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，則n－m取得最大值是2－(－2)＝4，所以n－m的取值范圍是(0，4]． [答案] (0，4] 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例3　(1)已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，當(dāng)x＞0時(shí)，1＜bx＜ax，則(　　) A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜aD．1＜a＜b [解析]∵x＞0時(shí)，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0時(shí)，bx＜ax，∴x＞0時(shí)，＞1. ∴＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故選C. [答案]C (2)已知函數(shù)f(x)＝的值域是[－8，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，0) C．[－3，－1] D．{－3} [解析]當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)∈[－8，1]， 當(dāng)a≤x＜0時(shí)，f(x)∈， ∴?[－8，1]， 即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3，0)． [答案]B (3)已知函數(shù)y＝b＋ax2＋2x(a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)在區(qū)間上有最大值3，最小值，則a，b的值為__________． [解析]令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵x∈，∴t∈[－1，0]． ①若a>1，函數(shù)f(t)＝at在[－1，0]上為增函數(shù)， ∴at∈，b＋ax2＋2x∈， 依題意得解得 ②若0<a<1，函數(shù)f(t)＝at在[－1，0]上為減函數(shù)， ∴at∈，b＋ax2＋2x∈， 依題意得解得 綜上知，a＝2，b＝2或a＝，b＝. [答案]a＝2，b＝2或a＝，b＝ [小結(jié)](1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則． (2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷． 6．已知a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)<b<cB．c<b<a C．c<a<bD．b<c<a [解析]∵y＝在R上為減函數(shù)，>，∴b<c. 又∵y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，>，∴a>c， ∴b<c<a. [答案]D 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． [解析]當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為－7<1， 即<8，即<， ∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0. 當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)<1可化為<1. ∴0≤a<1， 綜上，a的取值范圍是(－3，1)． [答案] (－3，1) 8．已知函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系是__________． [解析]因?yàn)閨x＋1|≥0，函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以a＞1.由于函數(shù)f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，則函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)． [答案]f(－4)＞f(1) 對應(yīng)學(xué)生用書p25 (2019·全國卷Ⅰ理)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<b C．c<a<bD．b<c<a [解析]a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1， 0<c＝0.20.3<0.20＝1，即0<c<1， 則a<c<b，故選B. [答案]B 11