2022年高考數(shù)學二輪復習 專題九 選做大題 專題對點練27 不等式選講 文
2022年高考數(shù)學二輪復習 專題九 選做大題 專題對點練27 不等式選講 文
1. (2018全國Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
2.(2018全國Ⅲ,文23)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)畫出y=f(x)的圖象;
(2)當x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
3.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.
求證:(1)ab+bc+ac≤;
(2)≥1.
4.已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
專題對點練27答案
1.解 (1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集為.
(2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.
若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集為0<x<,所以≥1,故0<a≤2.
綜上,a的取值范圍為(0,2].
2.解 (1)f(x)=
y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a≥3且b≥2時,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值為5.
3.證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c.
所以≥1.
4.解 (1)當a=1時,f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當x≤-1時,不等式化為x-4>0,無解;
當-1<x<1時,不等式化為3x-2>0,解得<x<1;
當x≥1時,不等式化為-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設(shè)可得f(x)=
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
故△ABC的面積為 (a+1)2.
由題設(shè)得 (a+1)2>6,
故a>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).
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