2022年高中數(shù)學(xué)必修一教案：2-2-1《一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象》 教學(xué)目標(biāo) 1.進一步認(rèn)識一次函數(shù)，會借助圖象分析其性質(zhì)，理解其定義； 2.掌握利用兩個適當(dāng)?shù)狞c畫出一次函數(shù)的圖象； 3.提高探索新問題的能力，動手能力及現(xiàn)代化操作技術(shù)能力． 教學(xué)重難點 重點：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì). 難點：對一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0)中k,b的數(shù)與形的聯(lián)系的理解. 教學(xué)過程 探究點一:一次函數(shù)的概念 問題1　在初中我們學(xué)過一次函數(shù)，那么一次函數(shù)是如何定義的？定義域和值域又是什么？ 答：　函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函數(shù)，它的定義域為R，值域為R. 問題2　一次函數(shù)的圖象是什么，表達式中的k，b的幾何意義又是什么？ 答：　一次函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)的圖象是直線，其中k叫做該直線的斜率，b叫做該直線在y軸上的截距．一次函數(shù)又叫做線性函數(shù)． 注意：　只有當(dāng)k≠0時，函數(shù)y＝kx＋b才是一次函數(shù)，若已知y＝kx＋b是一次函數(shù)，則隱含著條件k≠0.要判斷一個多項式函數(shù)是不是一次函數(shù)只需要兩個條件：未知數(shù)x的最高次為1次，x的系數(shù)不為0. 跟蹤訓(xùn)練1　函數(shù)y＝2mx＋3－m是正比例函數(shù)，則m＝_____. 解析：　由正比例函數(shù)的定義可知，2m≠0，且3－m＝0，所以m＝3. 探究點二:一次函數(shù)的性質(zhì) 問題1 一次函數(shù)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值與一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中的哪個量相等？請說明原因？ 答：函數(shù)值的改變量Δy＝y(tǒng)2－y1與自變量的改變量Δx＝x2－x1的比值等于直線的斜率k. 在直線y＝kx＋b (k≠0)上任取兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b， 兩式相減，得y2－y1＝k(x2－x1)， 即＝＝k或Δy＝kΔx (x2≠x1)． 問題2　斜率k的符號與一次函數(shù)單調(diào)性有怎樣的關(guān)系？ 答：當(dāng)k>0時，一次函數(shù)是增函數(shù)； 當(dāng)k<0時，一次函數(shù)是減函數(shù)． 問題3　在一次函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)中，b的取值對函數(shù)的奇偶性有怎樣的影響？ 答：　當(dāng)b＝0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，是奇函數(shù)； 當(dāng)b≠0時，它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 問題4　一次函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)的圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)是怎樣的？ 答：直線y＝kx＋b與x軸的交點為，與y軸的交點為(0，b)． 例:已知一次函數(shù)y＝3x＋12. 求：(1)一次函數(shù)y＝3x＋12的圖象與兩條坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)； (2)x取何值時， y<0? (3)當(dāng)y的取值限定在(－6,6)內(nèi)時，x允許的取值范圍． 解：(1)當(dāng)y＝0時，x＝－4；當(dāng)x＝0時，y＝12. 所以一次函數(shù)y＝3x＋12的圖象與兩條坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為(－4,0)、(0,12)． (2)由3x＋12<0，得x<－4. (3)由－6<3x＋12<6，得－6<x<－2. 跟蹤訓(xùn)練:已知一次函數(shù)y＝2x＋1， (1)當(dāng)y≤3時，求x的范圍； (2)當(dāng)y∈[－3,3]時，求x的范圍； (3)求圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積． 解:(1)由題意知，2x＋1≤3， 解之，得x≤1； (2)因y∈[－3,3]，所以－3≤2x＋1≤3， 解之，得－2≤x≤1； (3)一次函數(shù)y＝2x＋1與兩個坐標(biāo)軸的交點分別為(,0)、(0,1)， 所以圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S＝××1=. 新知答辯 1.一次函數(shù)的概念：函數(shù)y＝kx＋b(k≠0) 叫做一次函數(shù)，它的定義域為R ，值域為R . 2.一次函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)的圖象是直線，其中k叫做該直線的斜率，b叫做該直線在y軸上的 截距 .一次函數(shù)又叫做 線性函數(shù) . 3.一次函數(shù)的性質(zhì)：(1)函數(shù)值的改變量 Δy＝y(tǒng)2－y1 與自變量的改變量Δx＝x2－x1 的比值等于直線的斜率k. (2)當(dāng)k>0時，一次函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，一次函數(shù)是 減函數(shù) . (3)當(dāng)b＝0 時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，是奇函數(shù)；當(dāng) b≠0 時，它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (4)直線y＝kx＋b與x軸的交點為，與y軸的交點為(0，b) . 課堂鞏固 1.過點(3，m)、(m，－4)的一次函數(shù)的斜率為，則實數(shù)m的值是 (　　) A．2 B．－4 C．0 D．－ 解析：　由＝＝，得m＝－2. 2.對于函數(shù)y＝5x＋6，y的值隨x的值減小而________． 解析：　由于一次函數(shù)的斜率5>0， 所以一次函數(shù)是增函數(shù)， 所以y值隨x的減小而減?。? 課堂小結(jié) 1.正比例函數(shù)y＝kx(k為常數(shù)，k≠0)的圖象的畫法：過原點與點(1，k)的直線即所求的圖象． 2.一次函數(shù)y＝kx＋b (k，b為常數(shù)，k≠0)圖象的畫法：在y軸上取點(0，b)，在x軸上取點，過這兩點的直線即為所求的圖象． 3.正比例函數(shù)y＝kx (k為常數(shù)，k≠0)與一次函數(shù)y＝kx＋b (k，b為常數(shù)，k≠0)的單調(diào)性為：當(dāng)k>0時，是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，是減函數(shù).